《直线的一般式方程》

1、3.2.3 3.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程问题提出问题提出 1. 1.直线方程有点斜式、斜截式、直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式分别是什么方程的外在形式分别是什么? ? (一)填空名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线(x0,y0) , kk,y轴上截距b(x1,y1)(x2,y2)x轴上截距ay轴上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1过点 与x

2、轴垂直的直线可表示成 ， 过点 与y轴垂直的直线可表示成 。）（00, yx）（00, yx0 xx 0yy 2.从事物的个性与共性，对立与统一的观点看问题，从事物的个性与共性，对立与统一的观点看问题，我们希望这些直线方程能统一为某个一般形式，我们希望这些直线方程能统一为某个一般形式，对此我们从理论上作些探究对此我们从理论上作些探究.上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？? x+ ? y+ ? =0)(11xxkyy bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0) 1(11 kxyykx0) 1( bykx0)()()()(121211211

3、2 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述四式都可以写成直线方程的上述四式都可以写成直线方程的一般一般形式：形式：Ax+By+C=0, A、B不同时为不同时为0。 知识探究（三）：直线方程的一般式知识探究（三）：直线方程的一般式思考思考1:1:直线的点斜式、斜截式、两直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于点式、截距式方程都是关于x x，y y的的方程，这些方程所属的类型是什么？方程，这些方程所属的类型是什么？思考思考2:2:二元一次方程的一般形式是二元一次方程的一般形式是什么？什么？Ax+By+CAx+By+C=0=0讲解新课：讲解新课：直角坐标系中，任何一条直线的方程都是

4、关于直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一的一次方程。次方程。直线和直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角轴相交时：此时倾斜斜角/2，直线的斜，直线的斜率率k存在，直线可表示成存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）（是否是二元一次方程？）直线和直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角轴平行（包括重合）时：此时倾斜角=/2，直线的斜率直线的斜率k不存在，不能用不存在，不能用y =表示，可以表示表示，可以表示为为 x - a=0,亦可看作亦可看作y的系数为的系数为0的二元一次方程的二元一次方程(x-a+0y=0) 。结论：任何一条直线的方程都是关于，的二元一次方程。结论：任

5、何一条直线的方程都是关于，的二元一次方程。任何关于任何关于x，y的一次方程的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）不同时为零）的图象是一条直线的图象是一条直线B0时时，方程化成，方程化成 这是直线的斜截这是直线的斜截 式，式，它表示为斜率为它表示为斜率为 ,纵截距为纵截距为 的直线。的直线。BCxBAy BAkBCB0时，由于时，由于A，B不同时为零所以不同时为零所以A0，此时，此时，Ax+By+C=0可化为可化为x= -C / A，它表示为与，它表示为与Y轴平行（当轴平行（当C=0时）或重合时）或重合（当（当C=0时）的直线。时）的直线。思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？思考

6、：直线与二元一次方程具有什么样的关系？结论结论:(1)直线方程都是关于直线方程都是关于x,y的二元一次方程的二元一次方程 （2）关于）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）不同时为零）叫做叫做直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。一一对应。知识探究（二）：知识探究（二）：一般式方程的变式探究一般式方程的变式探究思考思考1:1:设设A A，B B不同时为不同时为0 0，那么集合，那么集合M=(xM=(x，y)| Ax+By+Cy)| Ax+By+C=

7、0 =0 的几何意义如的几何意义如何？何？思考思考2:2:如何由直线的一般式方程如何由直线的一般式方程Ax+By+CAx+By+C=0=0，求直线的斜率及在两坐，求直线的斜率及在两坐标轴上的截距？标轴上的截距？ 思考2：对于任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？0CByAxB 时,方程变为 y=-ABx-CB 表示过点(0,-CB),斜率为-AB的直线B=0 时,方程变为 x=-CA 表示垂直于x轴的一条直线)0A（思考思考3:3:当当A A，B B，C C分别为何值时，直分别为何值时，直线线Ax+By+CAx+By+C=0=0平行于平行于x x轴？平行于轴？平行于y

8、y轴？轴？与与x x轴重合？与轴重合？与y y轴重合？过原点？轴重合？过原点？思考思考4:4:过点过点P(xP(x0 0，y y0 0) )，且与直线，且与直线l：Ax+By+CAx+By+C=0=0平行的直线方程如何？平行的直线方程如何？探究：在方程探究：在方程 中，中， 1.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴 ；2.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴垂直；轴垂直；3.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴_ ；4.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与y轴重合轴重合 ；5.当当 时，方程表示的直线过原点时，方程表示的直线过原点.平行重

9、合0AxByC000ABC，00ABC， 为任意实数000ABC，000ABC，0, ,0CA B不同时为思考思考5:5:设直线设直线l1 1、 l2 2的方程分别为的方程分别为 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0， 在什么条件下有在什么条件下有l1 1l2 2？A1A2+B1B2=0理论迁移理论迁移 例例1 1 已知直线经过点已知直线经过点A A（6 6，-4-4），），斜率为斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方，求直线的点斜式和一般式方程程. . 例例2 2 把直线把直线l的一般式方程的一般式

10、方程 x-2y+6=0 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线化成斜截式，求出直线l的的斜率以及它在斜率以及它在x x轴与轴与y y轴上的截距，轴上的截距，并画出图形并画出图形. .43注：对于直线方程的一般式，一般作如下注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含约定：一般按含x x项、含项、含y y项、常数项顺序项、常数项顺序排列；排列；x x项的系数为正；项的系数为正；x x，y y的系数和常数的系数和常数项一般不出现分数；无特别说明时，最好项一般不出现分数；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。将所求直线方程的结果写成一般式。 求直线的一般式方程求直线的一般式方程 的斜

11、率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率）直线的斜率 （2）直线在）直线在y轴上的截距轴上的截距b令令x=0，解出，解出 值，则值，则 (3) 直线与直线与x轴的截距轴的截距a令令y=0，解出，解出 值，则值，则0(,AxByCA B在都不为零时)BAkBCyBCbACxACa例例3：设直线：设直线l的方程为（的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定根据下列条件确定m的值（的值（1）l在在x轴上的轴上的截距是截距是-3；（；（2）斜率是）斜率是-1。解解：（：（1）由题意得）由题意得332622 mmm 623322 mmm353 mm或或解解得

12、得032,32 mmm时时而而当当35,3 mm2)由题意得由题意得1323222 mmmm0) 12(3222 mmmm341 mm或或解解得得 例例3 3 已知直线已知直线l1 1：ax+(x+(a+1)y-+1)y-a=0=0和和l2 2：( (a+ +2)x+2(2)x+2(a+1)y-4=0+1)y-4=0，若，若l1 1/l2 2，求求a的值的值. . 例例4 4 已知直线已知直线l1 1：x-x-ay-1=0y-1=0和和l2 2: :a2 2x+y+2=0 x+y+2=0，若，若l1 1l2 2，求，求a的值的值. .巩固训练（二）巩固训练（二）设直线设直线l的方程为的方程为A

13、x+By+c=0（A，B不同时为不同时为零）零）根据下列各位置特征，写出根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的应满足的关系：关系：直线直线l过原点过原点:_直线直线l过点过点(1,1):_直线直线l平行于平行于 轴轴:_直线直线l平行于轴平行于轴:_C=0A+B+C=0A=0,B=0,C=0A=0,B=0,C=02已知直线已知直线Ax+By+C=0 当当B0时，斜率是多少？当时，斜率是多少？当B=0呢？呢？ 系数取什么值时，方程表示通过原点的直系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？线？答：B0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；答：答：C=0时，表示直线过原点。时，表示直线过原点。思考：利用直线方程的一般式，求过点（思考：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围并且与坐标轴围 成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程）代入直线方程得得3B= -C， B= C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B由三角形面积为由三角形面积为6得得122 ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-