第九章阻抗与导纳

1、第第九九章章首首 页页阻抗与导纳阻抗与导纳9-1 复数复数9-2 正弦量正弦量9-3 相量相量9-4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式9-5 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析1. 1. 复数的表示形式复数的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位FbReImaO|F|baFFFj) sinj (cos|e|jbaFjje| FF 下 页上 页代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式9-1 复数复数返 回|e|jFFF几种表示法的关系：几种表示法的关系：)arctan( | 22ab baF或或sin| cos| F bFa2. 2. 复数运算复数运算加减运算加减运算

2、采用代数式采用代数式下 页上 页FbReImaO|F|baFj返 回|e|jFFF则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2图解法图解法下 页上 页F1F2ReImOF1+F2-F2F1ReImOF1-F2F1+F2F2返 回乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式若若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2则则下 页上 页模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减返 回2121)( j21j2j121 eee2121FFFFFFFF e|e|e| | |2121)j(212j2j1221121211|F|FFFFFFFFF例例1-1

3、)226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原式原式569. 0 j47.12解解下 页上 页例例1-2解解2 .126j2 .180原式原式329. 6 j238. 22 .126j2 .180返 回?251047561. 248.12?5 j20j6)(4 j9)(1735220 04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .182旋转因子旋转因子F ejFReImOF ej下 页上 页旋转因子旋转因子返 回复数复数 ej =cos +jsin =1 j)2sin(j)2c

4、os(e ,22jj)2sin(j)2cos(e,22j1)sin(j)cos(e,j +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReImOFFjFjF下 页上 页注意返 回9-2 正弦量正弦量1. 1. 正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w t+)tiOTl周期周期T 和频率和频率f频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位单位: :Hz ( (赫兹赫兹) )单位：单位：s(秒秒) )Tf1正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t

5、+kT )下 页上 页波形波形返 回l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。1.1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。积分运算后仍是同频率的正弦函数。正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页优点返 回2.

6、2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtfw 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页结论返 回(1)(1) 幅值幅值 ( (振幅、最大值振幅、最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3) 初相位初相位Tf22w单位：单位： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正

7、弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+) 下 页上 页返 回同一个正弦量，计时起点不同，初相同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。位不同。 =0 =/2 =/2下 页上 页iOwt注意返 回一般规定一般规定：| | 。例例2-1已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w103rad/s，1.1.写出写出i(t) 表达式；表达式；2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1。tiO10050t1解解)10cos(100)(3tticos100500t3由于最大值发生在计

8、时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3)310cos(100)(3tti有有最最大大值值当当 310 13tms047. 1s10331t下 页上 页返 回3. 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)相位差相位差 ：j = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i下 页上 页等于初相位之差等于初相位之差返 回规定规定： |j | 0， u超前超前i j 角角，或或i 滞后滞后 u j 角角 (u 比比 i 先先到达最大值到达最大值) )。l j 1/wC ，X0， jZ0，电路为感性，电路为感性

9、， 电压超前电流。电压超前电流。下 页上 页相量图：一般选电流为参考相量，相量图：一般选电流为参考相量，CURULUUjZUX电压电压三角三角形形2CL222)(UUUUUURXR等效电路等效电路返 回0ijw LeqXUR+-+-+-RU（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z| jZ 为复数，称复阻抗。为复数，称复阻抗。I（3 3）wL1/wC， X0， jZ U=5，分电压大于总电压。分电压大于总电压。相量图相量图注意ULUCUIRUj-3.4返 回3.3.导纳导纳正弦稳态情况下正弦稳态情况下uiYjUIY 导纳模导纳模导纳角导纳角下 页上 页返 回YYUIY| 定定义义导导纳纳IYU+

10、- -不含独不含独立源线立源线 性网络性网络 IU+- -ZYYZ1 , 1对同一二端网络对同一二端网络: :当无源网络内为单个元件时有当无源网络内为单个元件时有GRUIY1LBLUIYj j1wCBCUIYj jwY 可以是实数，也可以是虚数。可以是实数，也可以是虚数。下 页上 页表明 返 回ICU+-IRU+-ILU+-4. 4. RLC并联电路并联电路由由KCL：CLRIIII j1jUCULUGww )j1j(UCLGww )j(UBBGCL )j(UBG下 页上 页返 回YYBGLCGUIYjwwj1jjiLCRuiLiC+-iRR+- I jwL ULI CI Cwj1RI Y复导

11、纳；复导纳；|Y| 复导纳的模；复导纳的模；jY 导纳角；导纳角； G 电导电导( (导纳的实部导纳的实部) )；B 电纳电纳( (导纳的虚部导纳的虚部) )；转换关系：转换关系： )arctan( | | 22GBBGYY或或G=|Y|cosj YB=|Y|sinj Y导纳三角形导纳三角形|Y|GBjYuiYUIYj下 页上 页返 回（2 2）wC 1/wL，B0，jY 0，电路为容性，电路为容性， 电流超前电压。电流超前电压。相量图：选电压为参考向量，相量图：选电压为参考向量，2222)(LCGBGIIIIIIUGI. CI. IjYLI. 分析分析 R、L、C 并联电路得出：并联电路得出

12、：RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。并联电路会出现分电流大于总电流的现象。IB下 页上 页注意返 回（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y| jY 为复为复数，称复导纳。数，称复导纳。0u（3）wC1/wL，B0，jY0，则则 B0，即仍为感性。，即仍为感性。BGYXRXRXRZj 22jj112222 , XRXXRRBGZY ZY , |1| 下 页上 页ZRjXGjBY注意返 回 |j ZZXRZ|j YYBGY同样，若由同样，若由Y变为变为Z，则有，则有下 页上 页GjBYZRjX返 回YZZY ZYXRXRZZXRZYBGYBGBBGGBGBGBGY , |1| j |j

13、 ,|j 222222 ,jj11例例4-2RL串联电路如图，求在串联电路如图，求在w106rad/s时的等效并时的等效并联电路。联电路。解解RL串联电路的阻抗为串联电路的阻抗为601006. 010 36LXLw1220082. 011GRmH102. 0H0098. 01wL下 页上 页 L返 回R0.06mH502 .501 .78)60j50(jLXRZS )0098. 0 j0082. 0( S2 .500128. 0S2 .501 .7811ZY下 页上 页注意一端口一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，构

14、和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变。其每一部分都是频率的函数，随频率而变。其实部将为负值，其等效电路要设定受控其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部。源来表示实部。返 回一端口一端口N0中如不含受控源，则有中如不含受控源，则有90|Zj或或90|Yj但有受控源时，可能会出现但有受控源时，可能会出现90|Zj或或90|Yj下 页上 页注意1|YZ0YZjj一端口一端口N0的两种参数的两种参数Z和和Y具有同等效用，彼具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为条件为返 回6. 阻抗（导纳）的串联

15、和并联阻抗（导纳）的串联和并联ZIZZZIUUUUnn)(2121UZZUii分压公式分压公式nknkkkkjXRZZ11)(阻抗的串联阻抗的串联下 页上 页Z1+Z2ZnUIZ+- -UI返 回nknkkkkBGYY11)j(分流公式分流公式IYYIii导纳的并联导纳的并联YUYYYUIIIInn)(2121两个阻抗两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为的并联等效阻抗为2121ZZZZZ下 页上 页返 回Y+- -UIY1+Y2YnUI例例4-3求图示电路的等效阻抗，求图示电路的等效阻抗， w105 rad/s 。解解感抗和容抗为感抗和容抗为)100j130( 100)100j100(100j3

16、0jj)j(j221CLCLXRXXRXRZ1001011035LXLw100101 . 0101165CXCw下 页上 页返 回1mH301000.1FR1R2例例4-4图示电路对外呈现感性还是容性？图示电路对外呈现感性还是容性？解解等效阻抗为等效阻抗为下 页上 页电路对外呈现容性。电路对外呈现容性。返 回33j6j45)75. 4 j5 . 5()4 j81 .53256 j3( )4 j3(5)4 j3(56 j3Z例例4-5图为图为RC选频网络，求选频网络，求u1和和u2同相位的条件及同相位的条件及?21UU解解设设：Z1=R+jXC, Z2=R/jXC21212ZZZUU212212

17、11ZZZZZUU实数实数CCCCCCCCCCRXXRRXRXXRRXXRXRRXXRZZ2222221j2j2 jj)j()j(jjCXR 32121UU下 页上 页jXCRRu2u1jXC返 回 j . 5CIUCCw例例4-64-6试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu . 1w05 cos5 . 2tiwmm j . 3CUIwLLLIUX . 4LLILU j . 6wtiCudd . 7UImUmmIUIUCwj1L下 页上 页返 回例例4-7已知电流表读数：已知电流表读数：A18A，下 页上 页6A。A2A1A0Z1Z2UA2,j , . 1 21CXZRZ若

18、若A0?为何参数使为何参数使21 , 2. ZRZ I0max=?A0为何参数使为何参数使2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=?为何参数使为何参数使2L1 ,j . 4 ZXZ ?A2A0 ？ A1解解A10A68 1. 220IA14A)68( 2. max02IRZ，A2A)68( ,j 3. min0C2IXZA16 ,A8 ,j . 4 210C2IIIXZ1,IU2I0I返 回例例4-8)( ),5cos(2120)( titt u求求已知已知解解20j54 jjLX10j02. 051jjCX相量模型相量模型下 页上 页返 回+_15u4H0.02FiUj20-j101I2

19、I3II+_15120 0UA)9 .365cos(210)( tt i下 页上 页CLCLRXUXURUIIIIjj返 回A9 .3610A)6 j8 (A)12j6 j8 (A10j120j1151120Uj20-j101I2I3II+_15例例4-9)( ,A)1510cos(25)( S6tutti求求已知已知解解5 j102 . 0101jj66CXRUI,CU下 页上 页+_5uS0.2Fi相量模型相量模型+_5I-j5UsU返 回V30225V4525155V 5 j5155sCRUUUA155I例例4-10? ,V78 ,V50 BCACABUUU：问问已已知知解解IIIU50

20、)40()30(22ABV40 ,V30 ,A1LRUUI2BC2AC)40()30(78UU22BC(78)(30)40 V32VUI40jI30BCUABUACU下 页上 页返 回j40jXL30CBAI例例4-11图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流总电压与总电流同相位，求同相位，求I、R、XC、XL。解法解法1 1252505LLXX2102502552505CXRR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页返 回UjXC1I2I+_RIjXLUC+-A4525A)5 j5(IA5 j ,A0521II0 CCUU 设设V

21、) j1 (2505j)5 j5(4550RXULU25ICRUU2I1I045LUV50LUU252550LX2105250 RXC下 页上 页画相量图计算。画相量图计算。解法解法2返 回UjXC1I2I+_RIjXLUC+-例例4-12 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后于电源电压压滞后于电源电压/3，问，问R、C应如何选择应如何选择。IXIRUCj s解解1 1ss, jjjCCCCUUIUXRXRX1jsCRUUCw画相量图计算。画相量图计算。360 tanCRwCRCIRIUUCRww/360tanRUsUICU60上 页UjXC+_RI+

22、-CU解解2返 回9-5 正弦稳态电路的相量分析正弦稳态电路的相量分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较电阻电路与正弦电流电路的分析比较GuiRiuui 0 :KVL 0 :KCL 或或 : :元件约束关系元件约束关系: :电阻电路电阻电路 0 :KVL 0 :KCL UYIIZUUI或或 : :元件约束关系元件约束关系: :正弦电路相量分析正弦电路相量分析下 页上 页返 回1.1.引入相量法，引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。的电路定律是相似的。下 页上 页结论2.2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转

23、为直接列写相量形式的代数方程。程转为直接列写相量形式的代数方程。3.3.引入阻抗以后，可将引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的电阻电路中讨论的所有所有网络定理和分析方法都网络定理和分析方法都推广推广应用于应用于正弦稳态正弦稳态的相量分析中。的相量分析中。直流直流（f =0)是一个特例。是一个特例。返 回例例5-1画出电路的相量模型画出电路的相量模型,rad/s314,V100,F10,mH500,10,100021wUCLRR求各支路电流。求各支路电流。已知：已知：解解下 页上 页返 回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2U1I2I3ICw1jLwjR2+_R17 .175 .049 1901

24、047.31847.318j000 1)47.318j(000 11j)1j(3111CRCRZww混联电混联电路路)157j10(j22LRZw下 页)13.289j11.92(3 .7245.0331Z3 .5299.166) 13.132j11.102( )157j1013.289j11.92( 21ZZZZ1Z2U1I2I3ICw1jLwjR2+_R1无源网络可无源网络可等效一阻抗等效一阻抗上 页返 回ZU1I+_下 页上 页返 回Z1Z2U1I2I3ICw1jLwjR2+_R1A3 .526 . 0A3 .5299.16601001ZUIA7057. 0A3 .526 . 07 .1

25、75 .049 1000 1 1j1113ICRRIwA20181. 0 A3 .526 . 07 .175 .049 147.318j1j1j112ICRCIww分分流流列写电路的回路电流方程和结点电压方程。列写电路的回路电流方程和结点电压方程。例例5-2 解解1I2I4I3I回路方程回路方程s3221121)j()j(UIRILRILRRww0)j()j(33112431IRILRILRRRww2332 13 2411(j)0jRRIR IR IICCwws4II下 页上 页返 回+_SuSiLR1R2R3R4CsILwj1j CwsU+_R1R2R3R4回路分析和节点分析法回路分析和节点

26、分析法1nU2nU3nU结点方程结点方程s1nUU011)11j1(3n31n22n321URURURRLRws1n2n33n43j1)j11(IUCURUCRRww下 页上 页返 回sILwj1j CwsU+_R1R2R3R4方法方法1：电源变换：电源变换15j1530j30)30j(30/31ZZ解解例例5-3ZZZZZZII23131s /)/(A4530j15j15)15j15(4j下 页上 页S31)/(IZZZ2Z1/Z3ZI+-Z2sIZ1ZZ3I返 回IZZZZI , 45 , 30 , 30j ,A 904 321s求求电电流流已已知知：A9 .8113. 1 A36.954

27、55.657 电电源源变变换换方法方法2：戴维宁等效变换：戴维宁等效变换求开路电压：求开路电压：求等效电阻：求等效电阻：)45j15(/231eqZZZZ下 页上 页ZeqZoc U+-I+ +- -ocUZ2sIZ1Z3返 回V4586.84 )/(o31socZZIUA9 .8113. 1A 4545j154586.84eqocZZUI有有源源网网络络等等效效相相量量模模型型例例5-4 求图示电路的戴维宁等效电路。求图示电路的戴维宁等效电路。60300j3006030060100200oc111ocUIIIU解解下 页上 页求开路电压：求开路电压：返 回V45230Vj160ocUj300

28、+_60 0ocU+_1 4I1 I5050+_j300+_60 0ocU+_1 200I1 I100求短路电流：求短路电流：A6 . 0A10060scI下 页上 页返 回452506 . 045230scoceqIUZscI+_60 0100+_j300+_60 0ocU+_1 200I1 I100例例5-5 解解:)( )1 (ss短短路路单单独独作作用用 UI 323s2ZZZII下 页上 页Z2sIZ1Z32Is U+-Z2sIZ1Z32I返 回用叠加定理计算电流用叠加定理计算电流 ,2 IV45100 :s U已知已知 s1234 0 A, 50 30 , 5030 IZZZA30

29、31. 2A35030200 A30503050305004 叠叠加加32s2ZZUI : )( )2(ss 开开路路单单独独作作用用IU下 页上 页Z2Z1Z32I s U+-返 回Z2sIZ1Z32Is U+-A35045100 )A135155. 13031. 2( 222 IIIA135155. 1 已知平衡电桥已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jwL3。 求求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2例例5-6解解 |Z1| |Z3|

30、 = |Z2| |Zx| j1 +j3 = j2 +jx 下 页上 页Z1Z2ZxZ3返 回 |Z1| j1 |Z3| j3 = |Z2| j2 |Zx| jx 已知已知：Z=（10+j50） , Z1=（400+j1000）。?90s1相相位位差差和和等等于于多多少少时时问问：UI，11111s)1 (IZIZIZIZU例例5-7解解90 1ss1相相位位差差为为 实实部部为为零零, ,关关系系和和找找出出分分析析：转转，：ZIZUUI)000 15050( j10410)1 ( 11sZZIU41 010410 ，令令90 000 1 j 1s 故故电电流流领领先先电电压压 IU下 页上

31、页 I1 I1 IZZ1+_s U返 回 已知已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32 , f=50Hz。 求：线圈的电阻求：线圈的电阻R2和电感和电感L2 。画相量图分析。画相量图分析。例例5-8解法解法1LRUUUUUU2121下 页上 页I1ULU2RU2U2Ujjcos22122212UUUUU1 .115 4237. 0cosjj返 回R1R2L2+_1UU2U+_+_ I相相量量图图A73. 1A32/4 .55/11RUI9 .641802jH133. 0)2/( 8 .41sin |6 .19 cos | 2 .4673. 1/80/|222222

32、222fXLZXZRIUZ下 页上 页I1ULU2RU2U2Uj返 回jcos115cos804 .55jsin115sin80093.64424. 0 cosjj其余步骤同解法其余步骤同解法1。下 页上 页返 回解法解法2R1R2L2+_1UU2U+_+_ I1255.4 080115UUUjU用相量图分析用相量图分析oo0180 为为移移相相角角，移移相相范范围围例例5-9移相桥电路。当移相桥电路。当R2由由0时时，如何变化?如何变化?ab U解解1UCUCICUCI相相位位改改变变不不变变, ,改改变变当当由由相相量量图图可可知知, ,UUR21 ,ab2当当R2=0， 180；当当R2 ， 0。2URURU1ab2121 2,UUUUUUUUUUUURCRabUabUabb下 页上 页ab1U2UCUCIR2R1R1+_UabU+-+-+-RU+-返 回例例5-10图示电路，图示电路，。、：、212132,5V200A210A10RXXIXRRUIILCL求求解解下 页上 页V1501052001CCCRUUUUUV27522222 LRRCLRCUUUUUUU5 . 7210275 151