D1_1映射与函数(1)

1、目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A任课教师： 胡军其电 话： 65902557电子邮件： 答疑时间： 每周二15：0017：00 答疑地点： 红瓦楼908最终成绩： 考试成绩70%+平日成绩30%交作业时间： （待定）目录 上页 下页 返回 结束 教材教材:主要参考书主要参考书:高等数学上海财经大学应用数学系 主编上海财经大学出版社 高等数学（第六版）同济大学应用数学系 主编高等教育出版社 高等数学习题集 （第二版）杨爱珍、叶玉全主编 高等教育出版社第一章基础内容 函数 极限 连续 函数与极限第一节 函数目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合

2、M , 记作1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .简称集集简称元元集合集合目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0nNn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,NZ qp p 与 q 互质实数集合 Rx

3、 x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa目录 上页 下页 返回 结束 )(aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域a ),(xaUaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域左 邻域 :, ),(aa右 邻域 :. ),(aa ),(xaxa ),(xb bx 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.B

4、A 例如,ZNQZ RQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有目录 上页 下页 返回 结束 OyxAcABB定义定义 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABABx或目录 上页 下页 返回 结束 定义域函数函数1. 函数的概念 定义定义 设数集,RD则称映射RDf :为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )(称为值域 自变量因变量DxxfyyDfRf)

5、,()(DxfDxxfyyDfRyf),()(对应规则) (值域)(定义域)函数相同：fD函数的两个基本要素：定义域 和对应法则 。f定义域定义域 和 对应法则对应法则 都相同。目录 上页 下页 返回 结束 例例 求下列函数的定义域) 12arcsin()4lg() 1 (2xxyxxxy2)2(1022xx 1, 0D02xx)0, 2D042 x1| 12|x02x0|xx目录 上页 下页 返回 结束 例例 判断下列函数是否相同（1）;ln2)(,ln)(2xxgxxf（2）;)()(,)(2xxgxxf（3）.11)(,11)(2xxgxxxf);, 0()0 ,( :fD)., 0(

6、:gD不同);,( :fD)., 0 :gD不同);, 1 () 1 , 1() 1,( :fD)., 1() 1,( :gD不同目录 上页 下页 返回 结束 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy )(DfD平面点集称为函数Dxxfy, )(的图形。函数的表示方法：2）表格法3）图示法1）解析法xy) ,(baD abxyO目录 上页 下页 返回 结束 常见的几类函数常见的几类函数1） 函数定义中，并未要求自变量改变时函数的值函数 y = 2),(D2fR一定改变，因此即使所有的自变量都只对应一个函数值也是可以的。定义域为值域为为常值函数,即常值函数 y = C 。目录 上页

7、下页 返回 结束 2）在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数分段函数 .例例 符号函数xysgn符号函数的定义域是实数集，值域 -1，0，1 。1时，当0 x时，当0 x0.0时当 x1目录 上页 下页 返回 结束 75例例 取整函数 3 15 . 3 x表示不超过 的最大整数，称为 的整数部分。xx0114xy 目录 上页 下页 返回 结束 是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点1xyo例例 狄利克雷函数 ( Dirichlet )目录 上页 下页 返回 结束 0, 10, 12)(2xxxxxf12 xy12 xy例例目录 上页 下页

8、返回 结束 设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf,Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf在 I 上有界. 称 )(xf为有界函数.,Ix,1K使,)(1Kxf称 )(xf在 I 上有上界 .1K,Ix,2K使,)(2Kxf称 )(xf在 I 上有下界 .2K,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称函数的几种特性函数的几种特性无界.)(xf目录 上页 下页 返回 结束 例如例如在定义域21xy. 10 y2xy 注注：xxf1)(xysin与xycos在),(上有界：1|sin|x1|cos|x上有界：1 , 1在定义域上无界.),(

9、函数的有界性与所选的数集有关。上无界，)1 , 0(在上有界.)2, 1(在目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明函数 在 上是有界的1)(2xxxf),(1)(2xxxf证明证明：) 1(222xx对一切),(x),()(xf是有界的。21因为所以都成立，在目录 上页 下页 返回 结束 (2) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,xyOxx则当必有（D 关于原点对称）偶函数的图形关于 y 轴对称奇函数的图形关于

10、原点对称目录 上页 下页 返回 结束 例例 判断下列函数的奇偶性)( xf ,2111)(xaxf0a1a其中且)(xf因此为奇函数。)(xf2111xa211xxaa21111xxaa21111xa1121xa由于解解：目录 上页 下页 返回 结束 例例 判断下列函数的奇偶性)( xf )1ln()(2xxxf由于解解：)1ln(2xx )11ln(2xx )1ln(2xx )(xf)(xf因此为奇函数。目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 给定 ),(),(llxxf则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数偶函数 奇函数奇函数 注注：定义在对称区间),(ll以表示为一个奇

11、函数奇函数和一个偶函数偶函数之和。上的任意函数可目录 上页 下页 返回 结束 (3) 单调性单调性时，2121,xxIxx)()(21xfxf称 )(xf为 I 上的 单调（或严格单调）增加函数 ;1x2xxyO若（或 ）)()(21xfxf)()(21xfxf称 )(xf为 I 上的 单调（或严格单调）减少函数 ;若（或 ）)()(21xfxf目录 上页 下页 返回 结束 例例3xy 3231xx 解：解：)(22212121xxxxxx)(22432221121xxxxx在),(当21xx 恒有,3231xx 3xy 因此函数由于的单调性(严格) 单调增加。时，判断函数目录 上页 下页 返

12、回 结束 (4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,xO2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄利克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0t)(tf22O目录 上页 下页 返回 结束 xxy44cossinxxy44cossinxxxx22222cossin2)cos(sin22sin12x44cos11xx4cos4143例例 求函数的周期解：解： 2T由此因为 的周期为y目录 上页 下页 返回 结束 反函数反函数反函数的概念及性质反函数的概念及

13、性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在一新映射习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 ., 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 严格单调递增,)(1存在xfy且也严格单调递增 性质: ,)(:1DDff使,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf目录 上页 下页 返回 结束 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,exyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .指数函数xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baP目录 上

14、页 下页 返回 结束 注：注：2xy 在定义域,在或内存在反函数.).0(12xxy1xy12 yx可确定出1xy因此函数的反函数为并非所有函数都存在反函数，只有一一对应函数才存在反函数。严格单调的函数必存在反函数。内没有反函数，0, 0例例),0(y目录 上页 下页 返回 结束 gR复合函数复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fgDR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cos xu ,cosarcsinxy R Rx但可定义复合函数21xu时,

15、虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数2,2, )1arcsin(2xxy当改DgfDfyux目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZk02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv约定约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录 上页 下页 返回 结束 例例 分析下列复合函数的复合结构(1)xxey2sin最外层,sin uy 第二层,veu .2xxv最内层(2)1cosln2xy最外层,l

16、n uy 第二层,cosvu 第三层wv . 12 xw最内层目录 上页 下页 返回 结束 ,)(xxf,9)(2 xxg )(xgf例例 设求的定义域。解解:. 9 )(2xxgf由题得, 092x因此得即3x或, 3x所以复合函数的定义域为)., 33,(目录 上页 下页 返回 结束 初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数幂函数幂函数oxy)1 , 1(114xy xy xy1 xy ,xy 为常数由图知定义域随的不同而不同。但在), 0(总有定义。目录 上页 下页 返回 结束 指数函数指数函数) 1, 0(aaayxxay

17、 )1( a)1 ,0( xay )(1a指数函数的定义域为).,(当1a时，xay 为单调增加函数.当10 a时，xay 为单调减少函数.常出现以e为底的指数函数.xey 目录 上页 下页 返回 结束 对数函数对数函数) 1, 0(logaaxya)0 , 1( xyalog xyalog)(1a)1( a)0 , 1 ( 对数函数是指数函数的反函数常用对数函数xylg自然对数函数xyln对数恒等式NaNalog换底公式acbcbalogloglogcbcbaaaloglog)(logcbcbaaaloglog)(logbcbacaloglog目录 上页 下页 返回 结束 三角函数三角函数x

18、ysin 正弦函数xysinxycos余弦函数xycos正割函数xxycos1sec余割函数xxysin1csc定义域：正弦和余弦函数),(余割函数,|Zkkxx周期：正弦、余弦、正割和余割函数2正割函数,2|Zkkxx目录 上页 下页 返回 结束 正切函数xytan余切函数xycot定义域：正切函数,2|Zkkxx余切函数,|Zkkxx周期： 正切和余切函数目录 上页 下页 返回 结束 基本公式, 1cossin22aa,sectan122aa aa22csccot1两角和与差的三角函数 ,sinsincoscos)cos(bababa,sincoscossin)sin(bababababa

19、batantan1tantan)tan(倍角公式,cossin22sinaaaaaa22sincos2cos1cos22a,sin212aaaa2tan1tan22tan目录 上页 下页 返回 结束 半角公式,2cos12sin2aa,2cos12cos2aaaaacos1cos12tan2三角函数积化和差公式)cos()cos(21sinsinbababa)cos()cos(21coscosbababa)sin()sin(21cossinbababa)sin()sin(21sincosbababa目录 上页 下页 返回 结束 三角函数和差化积公式2cos2sin2sinsinbababa2s

20、in2cos2sinsinbababa2cos2cos2coscosbababa2sin2sin2coscosbababa目录 上页 下页 返回 结束 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarccos 反正弦函数xyarcsinxyarccos反余弦函数反正弦函数的定义域为值域为反余弦函数的定义域为值域为 1 , 12,2 1 , 1, 0目录 上页 下页 返回 结束 xyarctanxarcycot反正切函数xyarctanxarcycot反余切函数反正切函数的定义域为),(值域为反余切函数的定义域为),(值域为), 0()2,2(目录 上页 下页 返回 结束 (2) 初等函数初等函数

21、由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.幂指函数：由于所以幂指函数也为初等函数。)()(xgxf)(ln)()()(xfxgxgexf目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyO11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyO412321目录 上页 下页 返回 结束 1 成本函数、(1) 成本函数),(xC它包含固定成本0C和可变成本),(1xC即),()(10 xCCxC而xxCxC)(

22、)(称为平均成本函数。收益函数、利润函数(2) 收益函数),(xR设产品的单价为,如产销平衡，则收益,)(xxR这里的可以是给定的常数，可以是x的函数).(x(3) 利润函数).()()(xCxRxL也常见的经济函数常见的经济函数目录 上页 下页 返回 结束 需求函数需求函数：)(pfQdd价格的单调减函数供给函数供给函数：)(pfQss价格的单调增函数供不应求商品短缺供大于求商品滞销均衡价格2 需求函数和供给函数需求函数和供给函数消费者愿意且有能力购买的该商品的数量生产者愿意出售的该商品的数量OpQ)(pfQdd)(pfQss目录 上页 下页 返回 结束 例例 生产某产品，需固定成本3(万元

23、)，每多生产1 (百台)，解解:)(dQR)(dQC收益 成本 利润 )(dQL)200(dQddQQ220dQpdQ23ddQQ10221)()(ddQCQR38221ddQQ成本增加2 (万元)，已知需求函数为,220pQdp表示价格，单位为万元；(其中表示需求量，单位为百台)，dQ假设产销平衡，试写出利润函数的表达式。)(dQL目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P47 1(2)(3), 2(2)(3),

24、 3(2)(4), 4(2)(4) 5, 6(3)(4), 7(1)(2), 8(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(xf故0 x时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .例例 设补充例题目录 上页 下页 返回 结束 例例 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性解解: : 由于由于0,

25、 10, 1)(33xxxxxf0, 1)(0, 1)(33xxxx0, 10, 133xxxx0, 10, 133xxxx因此因此 是偶函数。是偶函数。)(xf)(xf)( xf 目录 上页 下页 返回 结束 例例 设函数),(, )(xxfy的图形与,ax 均对称, 求证)(xfy 是周期函数.)(babx证证: 由 )(xaf)(xf的对称性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函数 , 周期为)(2abT目录 上页 下页 返回 结束 例例 求y的反函数及其定义域.解解:01x当时

26、,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,eyxy21 x当时,1e2xy则e2,2(,ln12yxy反函数y1,0(,xx0,(,exxe2,2(,ln12xx定义域为e2,2(1,(21,e210 ,ln01, 12xxxxxx212e211, 1,0(, 0,(, e2,2(yOx目录 上页 下页 返回 结束 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 换为 f (x)1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10,13xx1,xx例例.)(xff求解解: 目录 上页 下页 返回 结束 映射映射某校学生的集合某校学生的集合

27、学号的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例. 目录 上页 下页 返回 结束 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像, 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ， Y 的子集)(XfRfXxxf)(称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYfxy.fD定义定义记作目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)(,