函数曲线的凹凸性与拐点

1、数学教研室数学教研室 第四章第四章 第五节第五节曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点数学教研室数学教研室AB一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性图形是凹的图形是凹的;定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,21Ixx 1212()()(),22xxf xf xf也即(1) 若恒有切线位于曲线弧的下方若恒有切线位于曲线弧的下方则称则称的的)(xf(2) 若恒有切线位于曲线弧的上方若恒有切线位于曲线弧的上方1212()()(),22xxf xf xf也即则称则称的的)(xf图形是凸的图形是凸的 .yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 数学教研室数学教研室分析：

2、分析：xy1 M1o2 M2M1xo1 2 yM2x1 M1o2 M2y当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数，( )f xtanx( )fx因此( )0fx数学教研室数学教研室分析：分析：M1xo1 2 yM2x1 M1o2 M2y当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数，( )f xtanx( )fx因此( )0fx1 x2 M2yoM1数学教研室数学教研室定理定理4.12(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 f (x) 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 f (

3、x) 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数数学教研室数学教研室例例1. 判断曲线弧判断曲线弧 的凹凸性的凹凸性xxyarctan解解: 所给曲线在所给曲线在(-,+) 内为连续曲线弧内为连续曲线弧. 由于由于xyarctan 211xy 可知曲线弧可知曲线弧 在在(-,+)内为凹的内为凹的.xxyarctan 221x 2212x 21x xx 2 0 21xx 数学教研室数学教研室例例2. 判断曲线判断曲线3xy 的凹凸性的凹凸性.解解: 所给曲线在所给曲线在(-,+) 内为连续曲线弧内为连续曲线弧. 由于由于23xy 23xyx6 可知

4、，当可知，当 时，时， ，0 x0 y即曲线弧即曲线弧 是凸的是凸的3xy 当当 时，时， ，0 x0 y即曲线弧即曲线弧 是凹的是凹的3xy 数学教研室数学教研室定义定义 . 连续曲线上的凹凸分界点称为拐点拐点 。二、曲线的拐点二、曲线的拐点.yOx拐点数学教研室数学教研室例例. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .Oxy凹凸( )yf x注：,0连续连续在点在点 x0)(0 xf或不存在或不存在,00()xf x则点( ，为可能的拐点。53291=x数学教研室数学教研室说明说明:1)

5、 若某点二阶导数为若某点二阶导数为 0或不存在或不存在 ,2) 根据拐点的定义及凹凸性判断定理根据拐点的定义及凹凸性判断定理, 可得可得拐点的判别拐点的判别法法:若曲线若曲线)(xfy ,0连续连续在点在点 x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .其两侧二阶导数不变号其两侧二阶导数不变号,数学教研室数学教研室例例3. 判定判定M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点是否为下列曲线弧的拐点解解:21(3)yx32yx 23) 1 (xy 3235)2(

6、xy xy6 （是）（是）11335210339yxx （是）（是）（不是）（不是）5331231(1)(2)(3)yxyxyx注：曲线的凹凸性发生改变的点，注：曲线的凹凸性发生改变的点，函数在其有定义，该点才为曲线拐点函数在其有定义，该点才为曲线拐点 .Oxy数学教研室数学教研室求连续曲线弧拐点的一般步骤：求连续曲线弧拐点的一般步骤：求出求出y =f (x)二阶导数为零的点二阶导数为零的点.判断以上点两侧二阶导数是否异号，如果二阶判断以上点两侧二阶导数是否异号，如果二阶导数在导数在xi两侧异号，则点两侧异号，则点(xi , f (xi) 为曲线弧为曲线弧y =f (x)的的拐点；否则，点拐点

7、；否则，点 (xi, f (xi) 不是曲线弧不是曲线弧y =f (x)的的拐点拐点求出求出y =f (x)二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点.确定函数定义域数学教研室数学教研室2436122 xxy)2)(1(12xx对应对应6,321yy例例4. 求求10126234 xxxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求求y 2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,2,121xx3) 列表判别列表判别(-,1)1(1,2)2(2,+)x)(xf )(xfxxxy2418423+0-0凹凹凸凸凹凹拐点拐点(1,-3)拐点拐点(2,6)数学教研室数学教研室4329(51)xx对应对应32556 y例例5. 讨论曲线讨论曲线32)1(xxy 的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求求y 2) 求可疑拐点：求可疑拐点：令令0 y得得51x3) 列表判别列表判别(-,-1/5)-1/5(-1/5,0)0(0,+)x)(xf )(xf0 x0yy 不存在，此时不存在，此时时，时，),(3255651 +-0不存在不存在凹凹凹凹非拐点非拐点拐点拐点凸凸21333253yxx ，14