华南理工大学线性代数与解析几何课件

1、第四章第四章 线性方程组线性方程组4.1 消元法4.2 n维向量空间4.3 向量组的线性相关性4.4 向量组的秩4.5 线性方程组解的结构XAO写成矩阵方程：12,0,0,0nx xx至少有一个解，即解：零11110()0nmmnaaaaOAAn 定理定理1.4 AX = O 必有解，必有解，零解零解总是它的解；总是它的解； AX = O 仅有零解的充分必要条件是仅有零解的充分必要条件是 AX = O 有无穷多解有无穷多解(即有非零解即有非零解)的充分必的充分必要条件是要条件是 对对齐次线性方程组齐次线性方程组 AX = O 有以下结论有以下结论 ：1234123412341234250223

2、0 68023970 xxxxxxxxxxxxxxxx例 求齐次方程组的解：21510212306181023970A解： 213 3 141215100274002740041480rrrrrr 324 2 221510027400000000000rrrr 12342345 0 2740 xxxxxxx212tt（ ， 是任意常数）13423433443142722xxxxxxxxxx ( )24,r A 由于所以方程组有非零解2151002740027400414801122123142314442xttxttxtxt 通解为：4.2 n维向量空间1212, nna aaaaa或 设设

3、= ()， = ()n两个向量相等： = n两个向量的和 + = ()- = (-) - = + ( - ) k = (k kk) 设设 , , 为为 n 维向量维向量 + = + ( + )+ = + ( + + = + (- ) = 1 = k(l ) = (kl) k( + ) = k + k (k + l ) = k + l 以以数域数域 F 中的数为分量的中的数为分量的 n 维向量的全维向量的全体，同时考虑定义在它们上面的体，同时考虑定义在它们上面的加法和数乘加法和数乘，称为数域称为数域 F 上的上的n 维向量空间，记为维向量空间，记为 Fn 。 n 维实向量空间维实向量空间Rn ，

4、n 维复向量空间维复向量空间Cn ，4.3 向量组的线性相关性向量组向量组由若干个同维数的向量由若干个同维数的向量组成的集合。组成的集合。本节介绍向量之间的关系本节介绍向量之间的关系都是都是 n 维向量，维向量，是一组数。是一组数。121, 2 , 0, 1 , 2, 3如：12 2有12 可由，线性表示。1234 ,(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0=,-0,1,0), (03,2,0,0,0,1)5向量例： 12,na ana显然，任意 维向量都是向量组 1234-3205 n n维基本单位向量组维基本单位向量组 1234,可由线性表示： 1212nnaaa的一个线性组合： 1

5、23 ( 1,1,5)=(1,2,3),=(0,1,4), =(2,3., )13 6 证明是向量的例题线性组合。112233123 ,kkkk kk证：设其中是待定的系数。13123123( 1,1,5)(2,23,346)kkkkkkkk13123123 212313465kkkkkkkk 102121313465A10010102001-1 一系列行变换123121kkk 123123, 2 是的线性组合, 即 =123( 1,1,5)(1,2,3)(0,1,4)(2,3,6)kkk123 ( 1,1,5)=(1,2,3),=(0,1,4), =(2,3,6) 3.1 例题证明是向量的线

6、性组合。另一解法：12310212131346,|5TTTT2 2 13 3 1102101130408rrrr 3 4 2102101130044rr 123123,=3TTTTTTTrr123, 是的线性组合。若若若若若若n 线性相关线性相关n 线性无关线性无关1n 线性相关的几何意义线性相关的几何意义n 线性相关的代数意义线性相关的代数意义证：证： (充分性充分性) 不妨设不妨设 m 可由其余向量线性表示，可由其余向量线性表示， 则则 m = k1 1 + k2 2 + + km-1 m-1 得得 k1 1 + k2 2 + + km-1 m-1 -1 m = O 因为因为 k1, k2

7、, , km-1，-1 不全为零，不全为零， 所以，向量组所以，向量组 1 , 2 , m n 定理定理 3.1 证：证： (必要性必要性) 设向量组设向量组 1 , 2 , m 线性相关，线性相关， 则存在不全为零的则存在不全为零的k1, k2, , km，使得，使得 k1 1 + k2 2 + + km m = O不妨设不妨设km 0， 即即 m 可由其余可由其余向量向量 1 , 2 , m 线性表示线性表示n 定理定理 3.1。112121 mmmmmmkkkkkk 123, 1, 1 , 1, , 1 , 1, 1, tttt 当 为何值时例 ，向量组线性相关？123112233, 0

8、k kkkkk：设数,解有使得1231231230 00tkkkktkkkktk其对应的方程组是齐次线性方程组：11= 1111ttt方程组的系数矩阵的行列式2123(1) (2)0,12ttk k ktt 当时，上述齐次方程组有非零解；即或时，向量组线性相关。2(2)(1)tt证：证：若若向量组向量组 1 , 2 , m 中一部分向量中一部分向量线性相关，线性相关，不妨设这部分向量为不妨设这部分向量为 1 , 2 , s 中中(sm) 则存在不全为零的则存在不全为零的k1, k2, , ks，使得，使得 k1 1 + k2 2 + + ks s = O有有k1 1 + k2 2 + + ks

9、 s + 0 s+1 + + 0 m = O 则则 1 , 2 , s , m 线性相关线性相关n 定理定理 3.2。11121211222122 , , ,nnmmmmnaaaaaaaaa 即 若向量组: n维线性无关12111212122211,12,1,21 , , , 1 nnmmnnmmnnmaaaaaaaanaaaa各添加1个分量后得新向量组: 也线性无关。维结论可推广到添加多个分量的情形。n 定理定理 3.3。,12211(,) (,) (1,2,)iiiiiinnniiiaaaaaaima 11 121211,112 122221122122,1,10000mmmmnnnnmm

10、nmnma ka ka ka ka kaka ka ka kkaaakkn 定理定理 3.3。121212,0 , mmmk kkkkk设有数，使成立,有：12120 mmkkk1212,mmk kk 由于线性无关，则必全为零。12,m 所以线性无关。T123222111TTabcabc(，)=例：例：证明下列向量组线性无关：证明下列向量组线性无关： 1= (1, a, a2, b), 2= (1, b, b2, c), 3= (1, c, c2, a) 其中，其中，a, b, c 为互不相等的实数。为互不相等的实数。证：证：将将 1、 2、 3 各自去掉第各自去掉第4个分量，得个分量，得 1= (1, a, a2), 2= (1, b, b2), 3= (1, c, c2) 先先证证 1、 2、 3线性无关。线性无关。 设有数设有数k1, k2