自动控制原理第二章课件数学模型

1、自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1自动控制原理自动控制原理22.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型2.1.1 2.1.1 线性元件的微分方程线性元件的微分方程 1 1、定义定义：描述控制系统内部变量（物理量）之间动态：描述控制系统内部变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。关系的数学表达式。 2 2、建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动自控系统的组成可

2、以是电气的、机械的、液压或气动的等等，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种的等等，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性的运动规律。不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性的运动规律。自动控制原理自动控制原理3 例例2.1 2.1 如图如图RLCRLC电路，试列写以电路，试列写以u ur r(t)(t)为输入量，为输入量，u uc c(t)(t)为输为输出量的网络微分方程。出量的网络微分方程。解：解：RLCi(t)ur(t)uc(t)()()()(tutRitudttdiLrcdttictuc)(1)()()()()(22tutudttdu

3、RCdttudLCrccc自动控制原理自动控制原理4dttdyftF)()(1 )()()()(2122tFtFtFdttydm F y(t)k fm)()()()(22tFtkydttdyfdttydm 整理得：整理得：解：阻尼器的阻尼力：解：阻尼器的阻尼力： 例例2.2 2.2 图为机械位移系统。试列写质量图为机械位移系统。试列写质量m m在外力在外力F F作用下作用下位移位移y(t)y(t)的运动方程。的运动方程。)()(2tkytF 弹簧弹性力：弹簧弹性力：自动控制原理自动控制原理5线性系统微分方程的编写步骤：线性系统微分方程的编写步骤：（1 1）确定系统和各元部件的）确定系统和各元部

4、件的输入量和输出量输入量和输出量。（2 2）对系统中）对系统中每一个元件每一个元件列写出与其输入、输出量有关列写出与其输入、输出量有关的遵循物理定理的微分方程。的遵循物理定理的微分方程。（3 3）对上述方程进行）对上述方程进行适当的简化适当的简化，比如略去一些对系，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。（4 4）从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所）从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中有元部件的方程中消去中间变量消去中间变量，最后得到描述系统输入，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。

5、和输出关系的微分方程。（5 5）变换成标准形式变换成标准形式，将与输入有关的各项放在等号右边，将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列。与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列。自动控制原理自动控制原理2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程n定义：用微分方程来描述系统的运动规律，得到的输入和输出之间的公式。n由于微分是针对时间t的，因此又称为时域模型。n描述线性系统的微分方程是线性微分方程。c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011 -n1 -n1 -nnnnr(t)bdtdr(t)bd

6、tr(t)ddtr(t)db011 -m1 -m1 -mmmmb6l其中，系数 (i=0,1,2,n; j=0,1,2m) 均为实数，它们是由系统本身的结构参数所决定的，与输入输出无关。 b ,aji自动控制原理自动控制原理7例例 建立建立RCRC电路运动方程。电路运动方程。 r(t)输入量（电压）输入量（电压） c(t)输出量（电压）输出量（电压） （RC=T） RC( )i t( )r t( )c t(t)(dtdC(t)TrtCl由于很多物理规律是用微分方程描述的，因此微分方程描述是系统最基本的描述。自动控制原理自动控制原理 传递函数传递函数是经典控制最基本，最重要的概念之一。是经典控制

7、最基本，最重要的概念之一。 定义定义：线性定常系统线性定常系统在在初始条件为零初始条件为零时时，输出量的，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。 设：设：输入输入-r(t)，输出，输出-c(t)，则传递函数：，则传递函数：那么：那么：C(s)=G(s) R(s)。 利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积关系。关系。8R(s) s (CLr(t)Lc(t)G(s)自动控制原理自动控制原理如果系统微分方程为：如果系统微分方程为：对上式两边进行拉氏变换：对上式两边进行拉氏变换：9c(t)adtdc(t)adtc(t)da

8、dtc(t)da011 -n1 -n1 -nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011 -m1 -m1 -mmmmbR(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb) s (Ca) s (sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn 011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s) 可以得到可以得到 控制系统传递函数的分式表达控制系统传递函数的分式表达:自动控制原理自动控制原理jiT和10) 1) 1) 1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsRsCnm（ 121211211212)()1(12

9、)()1()()(njnlpnpnjmimkznkznkillsssssssKsRsC a. 表示成表示成典型环节形式典型环节形式：nmabK 系统的稳态增益； l其中， 称为时间常数，当存在复数时间常数时，常化成二次形式：自动控制原理自动控制原理11 njjmiirpzKK11iz 系统的零点；系统的零点；零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。rKK和和有如下关系有如下关系)()()()()()(2121nmrpspspsszszszsKsRsC jp 系统的极点，系统的极点，个零极点。个零极点。其中有其中有增益因子。增益因子

10、。rKb. 表示成表示成零、极点形式：零、极点形式：自动控制原理自动控制原理 1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述。有特性的描述。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。 3) 传递函数大都是复变量传递函数大都是复变量s的有理真分式函数，即的有理真分式函数，即m n。 （ m 、n分别为分子、分母多项式的次数。）分别为分子、分母多项式的次数。） 4) 若输入为单位脉冲函数，即若输入为单位脉冲函数，即R(s)=Lr(t)=1，则，则 12G(

11、s)G(s)R(s)C(s) 这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。关于传递函数的几点说明：关于传递函数的几点说明：5) 闭环系统传递函数闭环系统传递函数G(s)的分母称为系统的特征多项式，对应的分母称为系统的特征多项式，对应的方程称为特征方程。的方程称为特征方程。 自动控制原理自动控制原理)(jG j13sj系统传递函数中的系统传递函数中的用用得到的得到的 称为称为代替代替,系统系统的频率特性。的频率特性。1212112112 12

12、)() 1( 12)() 1()()(njnlppjmimkzkzkillsssssssKsRsC1212112112 12)() 1()( 12)() 1()()(njnlppjmimkzkzkilljjjjjjjKjRjC传递函数传递函数:频率特性频率特性:自动控制原理自动控制原理例例 建立建立RC电路运动方程。电路运动方程。 r(t)输入量输入量 c(t)输出量输出量 时域时域 ： ( RC=T ) 微分方程微分方程 复域复域: 传递函数传递函数 频域频域: 频率特频率特性性14RC( )i t( )r t( )c t(t)(dtdC(t)TrtC 11R(s)C(s)G(s) Ts1j

13、T11RCj1c)G(j r自动控制原理自动控制原理二二 . . “三域三域”数学模型及其相互关系数学模型及其相互关系微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj15自动控制原理自动控制原理2-1 2-1 数学模型数学模型 微分方程微分方程、传递函数传递函数和频率特性频率特性分别是系统在分别是系统在时间域时间域、复数域复数域和和频率域频率域中的数学模型。人们在研中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型进

14、行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。求解、分析系统的方法称为工程分析法。 一般来说，一般来说，工程分析法工程分析法比比数学分析法数学分析法直观、方直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。因。16自动控制原理自动控制原理2.4 典型环节的数学模型典型环节的数学模型特特 点：点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现

15、象。运动方程运动方程: : c(t)=Kr(t) K放大系数，通常都是有量纲的。放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：传递函数：频率特性：频率特性： 17KR(s)C(s)G(s) K)R(j)C(j)G(j 1 1. .比例环节（又叫放大环节）比例环节（又叫放大环节）自动控制原理自动控制原理例例1： 输入：输入： (t)角度角度 E恒定电压恒定电压 输出：输出：u(t)电压电压18运动方程运动方程： u(t)=K(t) 传递函数传递函数： K比例系数，量纲为伏比例系数，量纲为伏/弧度。弧度。频率特性频率特性： G（j）=K K(s)U(s)G(s) 自动控制原理自动控制原理 例例 2：输入：

16、输入：n1(t)转速转速 Z1主动轮的齿数主动轮的齿数 输出：输出：n2(t)转速转速 Z2从动轮的齿数从动轮的齿数19运动方程运动方程：传递函数传递函数：频率特性频率特性： (t)nzz(t)n1212 Kzz(s)N(s)NG(s)2112 Kzz)(jN)(jN)G(j2112 自动控制原理自动控制原理其它一些比例环节20自动控制原理自动控制原理2 2、微分环节微分环节 21特特 点点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： dtdr(t)KC(t) KSR(s)C(s)G(s)

17、jK)R(j)C(j)G(j自动控制原理自动控制原理例例1 1 RC电路电路 设：输入输入电压电压ur(t) 输出输出电流电流ic(t) 于是得到：于是得到：运动方程：运动方程： 传递函数：传递函数： 频率特性频率特性：G（j ）=jC 22i(t)dtC1(t)ur)(i(t)uC(t)dtiC1(t)ucrcrt或者sC(s)U(s)IG(s)rcur(t)ir(t)注意：同一个系统输注意：同一个系统输入输出的物理量不入输出的物理量不同会有不同的传递同会有不同的传递函数！函数！自动控制原理自动控制原理例例 2 2：测速发电机测速发电机CFCF的数学描述的数学描述 输输 入：入： (t)电动

18、机电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角转子（与测速发电机同轴）的转角输输 出：出： uf(t)测速发电机的电枢电压测速发电机的电枢电压运动方程：运动方程：传递函数：传递函数： G（s）=Ks 频率特性：频率特性： G（j）=jK 23dt(t)dK(t)uf自动控制原理自动控制原理24特特 点：点：输出量的变化速度和输入量成正比。输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性频率特性： ttrtcd)(K)(sKG(s)jK)G(j自动控制原理自动控制原理例：例：如右电路如右电路 运动方程：运动方程： 传递函数：传递函数： （T=R1C） 频率特性：频率特性

19、： jTK)R(j)C(j)G(j25r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)i输入为输入为r(t)，输出为输出为c(t)自动控制原理自动控制原理其它其它举例举例26自动控制原理自动控制原理 4 4、惯性环节、惯性环节( (又叫非周期环节又叫非周期环节) ) 特点特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：

20、27Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTK)G(j自动控制原理自动控制原理例1：直流电机：直流电机输入量输入量: ud 电枢电压电枢电压输出量：输出量： id 电枢电流电枢电流因为因为运动方程：运动方程：传递函数传递函数: 式中式中 Ld 电枢回路电感；电枢回路电感； Rd 电枢回路电阻；电枢回路电阻； d 电枢绕组的时间常数；电枢绕组的时间常数；dddRL 28ddddduiRidtdL ddddRuidtd 11)()(G(s) sRsUsIdddd 自动控制原理自动控制原理其他一些惯性环节例子其他一些惯性环节例子 29自动控制原理自动控制原理 5 5、振荡环节、振荡环

21、节 特点：特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数： 式中：式中： 阻尼比，阻尼比， T振荡环节的时间常数。振荡环节的时间常数。频率特性：频率特性： TjTjRjCjG2)1(1)()()(22 30Kr(t)c(t)dtdc(t)T2dtc(t)dT222 自动控制原理自动控制原理例例1：RLC电路电路jRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j22 31 i(t)dtC1c(t)i(t)dt

22、C1ri(t)dtdi(t)Lr(t)解：解： 消去中间变量消去中间变量i(t)得到运动方程：得到运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性： r(t)c(t)dtdc(t)RCdtc(t)dLC22 1RCsLCs1G(s)2 自动控制原理自动控制原理例例2 2 电枢控制式直流侍服电机电枢控制式直流侍服电机ea(t)- 输入量为加在电枢两端输入量为加在电枢两端 (t) -输出量为电机轴的角位移输出量为电机轴的角位移;R-电枢绕组的电阻；电枢绕组的电阻； L-电枢绕组电感；电枢绕组电感；i(t)-电枢绕组中的电流；电枢绕组中的电流； eb(t)- 电动机的反电势；电动机的反电势；T(t)

23、-电动机产生的转矩；电动机产生的转矩；J-电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；B-电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。32自动控制原理自动控制原理1） T(t)= Kt i(t) T(t)转矩转矩 Kt力矩系数力矩系数2） eb(t)反电势反电势 Kb反电势反电势常数常数3） ea(t)电枢两端的电压电枢两端的电压4）分别进行拉氏变换分别进行拉氏变换1） T ( s ) = Kt I ( s )2） Eb( s ) = Kb s ( s )3） Ea( s ) = ( L s + R ) I

24、 ( s ) + Eb( s )4） T( s ) = ( J s2 + B s ) ( s )33dt(t)dK(t)ebb (t)e(t)eRi(t)dtdi(t)Lab T(t)dt(t)dBdt(t)dJ22 自动控制原理自动控制原理消去中间变量消去中间变量Eb(s)、T(s)和和I(s) t2atbK (s)E (s)sLJs(LBRJ)s(RBK K )34如果输入量如果输入量Ea(s)，输出量转速输出量转速 (s)，则又可得到：则又可得到： 这是一个典型的振荡环节的传递函数这是一个典型的振荡环节的传递函数 频率特性：频率特性： t2atbK(s)E (s)LJs(LBRJ)s(R

25、BK K )t2atbK(j )E (j )(RBK K -LJ )j(LBRJ)自动控制原理自动控制原理电枢回路中的电感电枢回路中的电感L通常较小，若忽略通常较小，若忽略L的影响，则：的影响，则： 式中：式中：km=Kt/(RB+KtKb) 电动机增益常数电动机增益常数 Tm=RJ/(RB+KtKb) 电动机时间常数。电动机时间常数。 如果如果J、R比较小，比较小， Tm趋近于零，又可简化为：趋近于零，又可简化为：351)ss(TK(s)E(s)mma1sTK(s)E(s)mma)K1K(sKs1/K(s)E(s)bba自动控制原理自动控制原理例例3 3：机械装置：机械装置 输入输入-力力

26、： f(t)， 输出输出-位移：位移： x(t)微分方程微分方程:式中：式中：K弹簧弹性系数；弹簧弹性系数； M物体的质量，物体的质量， B粘性摩擦系数。粘性摩擦系数。 传递函数：传递函数： 36)()()()(22tKxdttdxBdttxdMtf 1sKBsKMK1F(s)X(s)G(s)2 自动控制原理自动控制原理 6 6、一阶微分环节、一阶微分环节 特特 点：点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，此环节的输出量不仅与输入量本身有关， 而且与输入量的变化率有关而且与输入量的变化率有关运动方程运动方程：传递函数：传递函数： G( s ) = Ts + 1频率特性：频率特性： G( j ) = j T + 1 37r(t)dtdr(t)Tc(t)自动控制原理自动控制原理RC电路电路输入：输入：u(t)，输出：输出：i(t) ，则则 传递函数：传递函数： （R=1 RC= ） 频率特性：频率特性： 一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递