《选修4-5不等式选讲》知识点详解+例题+习题含详细答案

1、选修45不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0时等号成立()(2)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号

2、成立()(3)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1的解集是()Ax|0 x2 Bx|1x2Cx|0 x1 Dx|1x3解析解法一：x1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.解法二：令f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，xf(1,2)，,13x，xf(1,2)，)则f(x)1的解集为x|0 x2答案A3设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，则eq r

3、(a)eq r(b)eq r(c)的最大值为()A1 Beq r(2) C.eq r(3) D2解析(eq r(a)eq r(b)eq r(c)2(1eq r(a)1eq r(b)1eq r(c)2 (121212)(abc)3.当且仅当abceq f(1,3)时，等号成立(eq r(a)eq r(b)eq r(c)23.故eq r(a)eq r(b)eq r(c)的最大值为eq r(3).故应选C.答案C5若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|

4、xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015山东卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014湖南卷)若关于x的不等式|ax2|3的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(5,3)xf(1,3)，则a_.解题

5、指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论解析(1)当x1时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)2，即2x62，解得x5时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选A.(2)|ax2|3，1ax0时，eq f(1,a)xeq f(5,a)，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，eq f(5,a)xeq f(1,a)，又不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1

6、(f(5,3)xf(1,3)，故a3.答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 对点训练已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x5，x2，,1，2x3，,2x5，x3.)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xc或|xa|xb|k的解集为R，则实数k的取值范围是_解题指导切入点：绝对值的

7、几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2eq f(1,2)a23，解得eq f(1r(17),4)aeq f(1r(17),4).即实数a的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(1r(17),4)，f(1r(17),4).(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当k3时，原不等式恒成立解法二：令y|x1|x2|，则yeq blcrc (avs4alco1(3，x1，,2x1，1xk恒成立，从图象中可以看出，只要k3即可故k

8、3满足题意答案(1)eq blcrc(avs4alco1(f(1r(17),4)，f(1r(17),4)(2)(，3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，则eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|cd得(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2.因此eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd

9、.由(1)得eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).若eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)，则(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，即ab2eq r(ab)cd2eq r(cd).因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|eq r(c)eq r(d)是|ab|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 对点

10、训练(2014新课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcaceq f(1,3)；(2)eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbccaeq f(1,3).(2)因为eq f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)a2c，故eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)(abc)2(abc)，即eq f(a2,b)eq f(b2,

11、c)eq f(c2,a)abc.所以eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.方法规律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件 课时跟踪训练(七十)一、填空题1不等式|2x1|3的解集为_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实

12、数k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2的解集为_解析当xeq f(1,2)时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即3xeq f(2,3)，此时eq f(2,3)xeq f(1,2).当eq f(1,2)x1时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即x0，此时eq f(1,2)x0.当x1时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即3x2，xeq f(2,3)，此时不等式无解，综上，原不等式的解为eq f(2,3)x0，即原不等式的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0).答案eq blc(rc)

13、(avs4alco1(f(2,3)，0)4已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案(，1)5(2015西安统考)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2015重庆卷)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析当a1时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当a1时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x12a，xa，,x12a，a1，)f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；当

14、a1时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x12a，x1，,x12a，1a，)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_解析f(x)|x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(2x1x1，,31x0的解集为R，则实数a的取值范围是_解析若x1(x1)2对任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x0对任意的x1，)恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1(a10，,a12x，)(舍去)或eq blcrc (avs4alco1(a10，,a12x，)对任意的x1，恒成立，解得a1

15、.综上，a0时，将不等式5aeq f(4,a)整理，得a25a40，无解；当a0时，将不等式5aeq f(4,a)整理，得a25a40，则有a4或1a0.综上可知，实数a的取值范围是(，41,0)答案(，41,0)二、解答题13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式即为2|x3|x4|2，若x4，则3x102，x4，舍去；若3x4，则x22，3x4；若x3，则103x2，eq f(8,3)x3.综上，不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(8,3

16、)x4).(2)设f(x)2|x3|x4|，则f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x10，x4，,x2，3x1，aeq f(1,2)，即a的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).14(2015新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得eq f(2,3)x0，解得1x1的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc

17、 (avs4alco1(f(2,3)x2).(2)由题设可得，f(x)eq blcrc (avs4alco1(x12a，xa.)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,3)，0)，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为eq f(2,3)(a1)2.由题设得eq f(2,3)(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)15设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，f(x)eq blcrc (avs4alco

18、1(2x，x1.)作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式f(x)3的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(3,2)或xf(3,2).(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2xa1，xa，,1a，ax1，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2xa1，x1，,a1，1x0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求eq f(1,4)a2eq f(1,9)b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(