概率统计4_2方差及常见分布的期望方差

1、概率统计概率统计下页结束返回4.2 4.2 随机变量的方差随机变量的方差1. 方差的概念与计算方差的概念与计算3. 方差的性质方差的性质2. 常见分布的方差常见分布的方差下页概率统计概率统计下页结束返回、方差概念的引入、方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.下页 4.2 4.2 随机变量的方差随机变量的方差 引例引例1. 从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下

2、：如下： 甲：甲： 8， 9， 10， 11， 12； 乙：乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4已知标准尺寸为已知标准尺寸为10(cm), 公差公差d=0.5cm, 问那一台车床好？问那一台车床好？ 以以X甲甲 ，X乙乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得 E(X甲甲) =E(X乙乙)10. 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有显著差异，甲加工的零件只有件合格件合格，乙加工的，乙加工的全部合格全部合格.概率统计概率统计下页结束返回下页 引例引例2有甲、乙两人射击

3、，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？表示乙击中环数，谁的射击水平高？ 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的但两人射击水平的稳定性是有差别的. 怎么体现这个差别呢怎么体现这个差别呢?E(X)=9.2(环环) ;E(Y)=9.2(环环) . 思路：思路：考察一下考察一下“误差误差”平方的加权平均值平方的加权平均值情况情况.这表明乙的射击水平比较稳定这表明乙的射击水平比较稳定.222( )8 9.20.3

4、9 9.20.210 9.20.5 0.76;D X 甲甲:222( )8 9.20.29 9.20.410 9.20.4 0.624,DY 乙乙:概率统计概率统计下页结束返回下页 引例引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？表示乙击中环数，谁的射击水平高？ 思路：思路：考察一下考察一下“误差误差”平方的加权平均值平方的加权平均值情况情况.这表明乙的射击水平比较稳定这表明乙的射击水平比较稳定.222( )8 9.20.39 9.20.210 9.20.5 0.76;D X 甲

5、甲:222( )8 9.20.29 9.20.410 9.20.4 0.624,DY 乙乙:E(X)=9.2(环环) ; E(Y)=9.2(环环)一、方差的概念一、方差的概念 定义定义 设设X为随机变量，如果为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称存在，则称 EX-E(X)2为为X的的方差方差，记作，记作 D(X) . 即即D(X) = EX-E(X)2 .()D X 称为均方差或标准差.概率统计概率统计下页结束返回其中其中 PX=xk=pk k=1,2,3,.21()(),kkkD XxE Xpdx. xfXExXD)()()(2 离散型随机变量离散型随机变量二、方差的计算二、方差的计算下

6、页一、方差的概念一、方差的概念 定义定义 设设X为随机变量，如果为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称存在，则称 EX-E(X)2为为X的的方差方差，记作，记作 D(X) . 即即D(X) = EX-E(X)2 .()D X 称为均方差或标准差. 连续型随机变量连续型随机变量概率统计概率统计下页结束返回22()() () .D XE XE X证明：证明： D(X)= EX E(X)2= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2= E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2 解解：因因 E(X) = p， 而而 E(X 2) = 12p + 02q = p, 于是于是 D(X) = E(X

7、 2)- E(X)2 = p - p2 = p q.下页三、方差的计算公式三、方差的计算公式= E(X2)- E(X)2 . 例例1设随机变量设随机变量 X (0-1) 分布，其概率分布为分布，其概率分布为PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求，求D(X) .概率统计概率统计下页结束返回例例2 2设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度0110(1)(1)0.xx dxxx dx22()( )E Xx f x dx求求 D(X) .所以所以221()() ().6D XE XE X1,10( )1,01,0,xxp xxx 其它)(xf()( )E Xxf x dx0122

8、101(1)(1),6xx dxxx dx解：解：下页概率统计概率统计下页结束返回四、常见分布的方差四、常见分布的方差 0-1 0-1分布分布 概率分布为概率分布为X 1 0P p 1-p E(X) = p. 下页D(X)= E(X2)-E(X)2 = p-p2 = p(1-p) = pq. 二项分布二项分布 设随机变量设随机变量XB( (n, ,p),),其概率分布为其概率分布为,0, 1, 2, ,1,kkn knP XkC p qkn qp E(X) = np. D(X) = E(X2) - E(X)2E(X2) = E(X2 -X+X) = EX(X-1)+X = EX(X-1)+E(

9、X)EX(X-1)0(1)nkknknkk kC p q222(1)()(1),nn nppqn npD(X) = E(X2) - E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq.从而得从而得概率统计概率统计下页结束返回下页 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量XP(l l)，其概率分布为其概率分布为llekkXPk!, k = 0,1,2,3,l l0, E(X) = l l . D(X) = E(X2) - E(X)2E(X2) = E(X2 -X+X) = EX(X-1)+X = EX(X-1)+E(X)EX(X-1)0(1)!kkk kekll22,eellll

10、D(X) = E(X2) - E(X)2 = l l2 +l l -l l2 =l l .从而得从而得概率统计概率统计下页结束返回22)()()(XEXEXD222)2()(31bababa2().12ba().2abEX22()( )E Xx fx dx22,3aabb下页 均匀分布均匀分布 设设X Ua,b 概率密度为概率密度为, 0,1)(其它bxaabxf21baxdxba从而得从而得概率统计概率统计下页结束返回1().E Xl22()( )E Xx f x dxtx l令0221dtettl2212(3),ll22)1(2)(llXD21.l下页 指数分布指数分布 设设X E(l l

11、) 概率密度为概率密度为, 00,)(其它xexfxll20 xx edxll从而得从而得概率统计概率统计下页结束返回下页,21)(222)(xexfx 正态分布正态分布 设设XN(,2 2 )概率密度为概率密度为222222220222ttt edtt edt22220423( )2yy edydxxpxXD)()()(2)(xf得令tx,得令yt2,2概率统计概率统计下页结束返回推广推广 若若X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则D(X1+X2+Xn)1().niiD X设设 C 为常数，则有为常数，则有下页五、方差的性质五、方差的性质性质性质2 D(CX)= C 2 D(X) 性质性质

12、3 D(X+C)= D(X) 性质性质4 设设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 性质性质1 D(C)= 0概率统计概率统计下页结束返回 证明：证明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X).(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X). EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X

13、)E(Y)，由于由于 X,Y相互独立，故有相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，从则有，从则有EX-E(X)Y-E(Y)= 0 , (4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2= EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y)= D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)，而，而于是于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)练习：练习：若若X，Y相互独立，证明相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .下页概率统计概率统计下页结束返回D(X)=D(X1+X2+Xn)令令显然显然 Xi 均服从均服从(

14、0-1)分布分布, 即即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq (i =1,2,n),且且 X1, X2, , Xn相互独立相互独立. 于是有于是有E(X)= E(X1+X2+Xn) = E(X1)+E(X2)+E(Xn)= np.=D(X1)+D(X2)+D(Xn)= npq.解：解：X= X1+X2+Xn ，（这是新视角用意所在！） 例例3 3在在 n 重贝努里试验中，用重贝努里试验中，用 X 表示表示 n 次试验中事件次试验中事件A 发发生的次数，记生的次数，记P(A)= p，求求E(X)，D(X) 下页则有不出现次试验中第出现次试验中第),.,2 , 1(, 0, 1niAiAiX

15、i本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！概率统计概率统计下页结束返回例例4., 1 , 0,，且相互独立设UYX解：解：( )1 ,01;( )1 ,01( , )1 ,01, 01.XYfxxfyyf x yxy 100)(2xdyyxdx1022)2(2dxxx.31 1010|),(|)(|) 1 (dxdyyxdxdyyxfyxYXE 101000)()(yxdxxydydyyxdxxy0 xy 11(1) (|);(2)(|).EXYDXY求下页概率统计概率统计下页结束返回22)()()()2(YXEYXEYXD因为因为)(2YXE dxdy

16、yxfyx),(|210102|dxdyyx,61)2(101022dxdyyxyx22)()()(YXEYXEYXD从而从而.181)31(61210102)(dxdyyx下页例例4., 1 , 0,，且相互独立设UYX( )1 ,01;( )1 ,01( , )1 ,01, 01.XYfxxfyyf x yxy(1) (|);(2)(|).EXYDXY求解：解：概率统计概率统计下页结束返回小小 结结 21/1/l l2 2( (b-a) )2 2/ /12l lnpqpqD(X) 1/1/l l( (a+ +b)/)/2l lnppE(X)N( , , 2)E( (l l) )U( (a, ,b) )P( (l l) )B(n, ,p)0-1分布分布D(X)=EX-E(X)212)()(kkkpXExXD22)()()(XEXEXD1.方差的定义与计算方差的定义与计算2.常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差dxxfXExXD)()()(2下页概率统计概率统计下页结束返回练习题练习题 1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4则 E(X 2)=( ) 2.随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则Z=2X-Y+3的期望与方