理论力学第7章

1、第七章第七章 点的合成运动点的合成运动第七章第七章 点的合成运动点的合成运动 7-1 7-1 相对运动、牵连运动、绝对运动相对运动、牵连运动、绝对运动 7-2 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 7-3 7-3 牵连运动是平移时点的加速度合成定理牵连运动是平移时点的加速度合成定理 7-4 7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成牵连运动是定轴转动时点的加速度合成 定理、科氏加速度定理、科氏加速度 理解相对运动、绝对运动和牵连运动及相应三理解相对运动、绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义，恰当选择动点、动系种速度和三种加速度的定义，恰当选择动点、动系和定系。和定系。 熟练应

2、用点的速度合成定理、牵连运动为平动熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加速度合成定理。速度合成定理。目标要求目标要求重点：速度、加速度合成定理的应用。重点：速度、加速度合成定理的应用。难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵连点、牵连速度分析。连点、牵连速度分析。重点与难点重点与难点定参考系（定系）：固定在地球上的坐标系定参考系（定系）：固定在地球上的坐标系动参考系（动系）：固定在其他相对于地球运动动参考系（动系）：固定在其他相对于地球运动 的参考体上的坐标系的参考

3、体上的坐标系绝对运动：动点相对于定系的运动。绝对运动：动点相对于定系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。 7-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动两个坐标系两个坐标系三种运动三种运动 相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，这种运动称为体的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动合成运动。例：飞机螺旋桨上一点例：飞机螺旋桨上一点M运动分析：运动分析：动点：动点：定系：定系：动系：动系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相

4、对运动：牵连运动：牵连运动： 动点动点M相对于机身作圆周运动相对于机身作圆周运动 螺旋桨上一点螺旋桨上一点P与地面固连与地面固连与机身固连与机身固连动点动点M相对于地面作空间曲线运动相对于地面作空间曲线运动机身（刚体）相对于地面的运动机身（刚体）相对于地面的运动例：例：AB杆杆运动分析：运动分析：动点：动点：定系：定系：动系：动系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动： AB杆上杆上A点点 与地面固连与地面固连 与凸轮固连与凸轮固连 动点动点A相对于地面作直线运动相对于地面作直线运动 动点动点A相对于凸轮作曲线运动相对于凸轮作曲线运动 凸轮的定轴运动凸轮的定轴运动 在动参

5、考系上与动点相重合的那一点在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连牵连点点）的速度和加速度称为动点的的速度和加速度称为动点的牵连速度牵连速度 和和牵连加速度牵连加速度 。的轨迹的轨迹相对轨迹相对轨迹的速度的速度相对速度相对速度 的加速度的加速度相对加速度相对加速度rvra的轨迹的轨迹绝对轨迹绝对轨迹的速度的速度绝对速度绝对速度的加速度的加速度绝对加速度绝对加速度avaaeaev动点在相对运动中动点在相对运动中动点在绝对运动中动点在绝对运动中已知：管子以已知：管子以 绕绕O轴转动，小球轴转动，小球M沿转动沿转动的管子运动，相对速度为的管子运动，相对速度为u，OM=l。求：牵连速度和牵连加速度求：牵

6、连速度和牵连加速度, 解解: :运动分析：运动分析：动点：小球；动点：小球； 动系动系: :与管子固连；与管子固连；绝对运动：绝对运动：M的曲线运动；的曲线运动；相对运动：相对运动：M沿管子的直线运动；沿管子的直线运动；牵连运动：管子的定轴转动。牵连运动：管子的定轴转动。OMveev牵连速度：牵连速度：牵连加速度：牵连加速度：2enOMOMet422en2eteOMeten2arctan 牵连运动：管子的定轴转动。牵连运动：管子的定轴转动。 xx tyy t绝对运动方程绝对运动方程 xx tyy t相对运动方程相对运动方程cossinsincosOOxxxyyyxy动点：动点：M 动系：动系：

7、 O x y由坐标变换关系由坐标变换关系绝对、相对和牵连运动之间的关系绝对、相对和牵连运动之间的关系牵连运动方程牵连运动方程 ttyytxxOOOO已知：点已知：点M相对于动系相对于动系 沿半径为沿半径为r的圆周以速度的圆周以速度v 作匀速圆周运动作匀速圆周运动(圆心为圆心为O1 ） ，动系相对于动系相对于定系以匀角速度定系以匀角速度 绕点绕点O 作定轴转动，如图所作定轴转动，如图所示。初始时示。初始时 与重合，点与重合，点M与与O重合。重合。yxOyxOOxyyxOOxy求：点求：点M的绝对运动方程。的绝对运动方程。例例7-17-1解解: :相对运动方程：相对运动方程：rvtrMOysins

8、in1rvt动点：动点： 点点动系：动系：yxOM 绝对运动方程：绝对运动方程：trvtrtrvtryxxsinsincoscos1sincosrvtrMOOOxcos1cos11trvtrtrvtryxycossinsincos1cossin牵连运动方程：牵连运动方程：t0OOxx0OOyy例：小球在金属丝上的运动例：小球在金属丝上的运动牵连点的运动牵连点的运动zxyOzxyM绝对运动绝对运动 M1 M2M 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理rvevav 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和的牵连速度与相对速度的矢量和点的

9、速度合成定理点的速度合成定理reavvv已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端的一端A与滑块与滑块用铰链连接。当曲柄用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动时，转动时，滑块在摇杆滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆上滑动，并带动杆O1B绕定轴绕定轴O1摆动。设曲摆动。设曲柄长为柄长为OA=r，两轴间距离两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度角速度 。1例例7-37-3大小：大小：方向：方向： 1O B解解: :sinsinaervv2221e1rlrAOv2.2.速度分析：速度分析：?rre

10、avvv1.1.运动分析：运动分析：动点：滑块动点：滑块 A A； 动系动系: :与摇杆与摇杆 固连；固连；绝对运动：以绝对运动：以O点为圆心，点为圆心，OAOA为半径的圆周运动；为半径的圆周运动；相对运动：沿相对运动：沿O1B的直线运动；的直线运动；牵连运动：摇杆绕牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。轴的定轴转动。已知：已知：如图所示半径为如图所示半径为R、偏心距为偏心距为e的凸轮，以角速度的凸轮，以角速度绕绕O轴转动，杆轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终始终与凸轮接触，且与凸轮接触，且OAB成一直线。成一直线。求：在图示位置时，杆求：在图示位置时，杆

11、AB的速度。的速度。例例7-47-4 大小：？大小：？ ？方向：方向： OAeOAeOAvvcotea解解：2.2.速度分析速度分析reavvv1.1.运动分析：运动分析：动点：动点：ABAB杆上杆上A A ； 动系动系: :与与凸轮凸轮固连；固连；绝对运动：绝对运动：ABAB的直线运动；的直线运动；相对运动：以凸轮中心相对运动：以凸轮中心C C为圆心的圆周运动；为圆心的圆周运动；牵连运动：凸轮绕牵连运动：凸轮绕O O轴的定轴转动。轴的定轴转动。已知：已知：圆盘半径为圆盘半径为R，以角速度以角速度1绕水平轴绕水平轴CD转动，转动，支承支承CD的框架又以角速度的框架又以角速度2绕铅直的绕铅直的A

12、B轴转动，如图轴转动，如图所示。圆盘垂直于所示。圆盘垂直于CD，圆心在圆心在CD与与AB的交点的交点O处。处。 求：当连线求：当连线OM在水平位置时，在水平位置时，圆盘边缘上的点圆盘边缘上的点M的绝对速度。的绝对速度。例例7-67-6MCDAB大小：大小： ？方向：方向： ？ MCDAB12RR22212r2eaRvvv)arctan()arctan(12revv解：解：1.1.运动分析：运动分析：动点：动点：M点点 ； 动系动系: :固连于框架固连于框架BACD；绝对运动：未知；绝对运动：未知；相对运动：以相对运动：以O O为圆心的圆周运动；为圆心的圆周运动；牵连运动：绕牵连运动：绕ABAB

13、轴的定轴转动。轴的定轴转动。2.2.速度分析速度分析reavvv1.1.选取动点、动参考系和定参考系；选取动点、动参考系和定参考系；2.2.分析三种运动和三种速度；分析三种运动和三种速度； 绝对运动、相对运动、牵连运动绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度绝对速度、相对速度、牵连速度3.3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形；应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线绝对速度为平行四边形的对角线4.4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。点的速度合成定理的解题步骤点的速度合成定理的解题步骤1.1.动

14、点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动；不能成为合成运动；2. 2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则（1 1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。结于另一点的坐标系。（2 2）运动刚体上有一动点，点作复杂运动。）运动

15、刚体上有一动点，点作复杂运动。 取该点为动点，动系固结于运动刚体上。取该点为动点，动系固结于运动刚体上。（3 3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。例如：例如：导杆滑块机构导杆滑块机构 滑块为动点，滑块为动点， 动系固结于导杆；动系固结于导杆；凸轮挺杆机构凸轮挺杆机构 杆上与凸轮接触点为动点，杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮；动系固结于凸轮；摇杆滑道机构摇杆滑道机构 滑道中的点为动点，滑道中的点为动点， 摇杆为动系。摇杆为动系。（4 4）特殊问题，特点是相接触两个物体

16、的接触）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。的非接触点为动点。 例例求图示机构中求图示机构中OC杆端点杆端点C的速度。其中的速度。其中v与与 已知，且设已知，且设OA=a, AC=b。 解：取套筒解：取套筒A为动点，动系与为动点，动系与OC固连，分析固连，分析A点速度，有点速度，有reavvv 例例 已知已知: 凸轮半径凸轮半径r , 图示位置时其速度为图示位置时其速度为v, 。杆。杆OA靠在凸轮上。靠在凸轮上

17、。 求：杆求：杆OA的角速度。的角速度。30分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点。变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点。 凸轮上凸轮上C的轨迹是直线，若选的轨迹是直线，若选OA为动系，其为动系，其相对轨迹也容易确定是直线相对轨迹也容易确定是直线 解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点点为动点,动系固结于动系固结于OA杆上。杆上。绝对运动绝对运动: 直线运动直线运动,绝对速度绝对速度: ，方向，方向相对运动相对运动: 直线运动直线运动,相对速度相对速度: 未知，方向未知，方向牵连运动牵连运动: 定轴转动定轴转

18、动, 牵连速度牵连速度: 未知，未知， 待待求，方向求，方向 垂直于垂直于 OC 根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如如图示。图示。vvarvOA/ OCvereavvv 作业：作业： 习题习题 7-7 7-10 7-11 7-7 7-10 7-11 设动系作平移，由于设动系作平移，由于x、y、z各轴方向不变，故有各轴方向不变，故有eeddddaatvtvOOrereaaddddddaatvtvtva从而有从而有当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和等于该瞬时它的

19、牵连加速度与相对加速度的矢量和 7-3 牵连运动是平移时点的加速度合成牵连运动是平移时点的加速度合成定理定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理reaaaa已知：已知：如图所示平面机构中，曲柄如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度以匀角速度O 转动。套筒转动。套筒A沿沿BC杆滑动。杆滑动。BC=DE，且且BD=CE=l。求：图示位置时，杆求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。例例7-87-8大小：大小： ？ ？方向：方向： 2.速度分析速度分析解：解：1.1.运动分析：运动分析：动点：动点：滑块滑块A ； 动系动系: :固连于杆固连于杆BCBC上；上；绝对运动：以

20、绝对运动：以O O为圆心的圆周运动；为圆心的圆周运动；相对运动：相对运动：滑块滑块A在杆在杆BCBC上的直线运动；上的直线运动；牵连运动：牵连运动：BCBC的平移。的平移。OrreavvvreaOvvvreOBDvrBDl3.3.加速度分析加速度分析沿沿y轴投影轴投影tnaeesin30cos30sin30aaan2taee()sin303()cos303Oaar lralt2e23()3OBDar lrBDlreaaaa大小：大小： r2 ？ ？方向：方向： 2BDlrneteaaa例例 已知：凸轮半径已知：凸轮半径R，v0，a0。求：求： 时时, 顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。60解：取

21、杆上的解：取杆上的A点为动点，点为动点，动系与凸轮固连。动系与凸轮固连。大小：大小： ？ ？方向：方向： 速度分析速度分析0vreavvv加速度分析加速度分析eraaaaentaaarr大小：大小： ？ ？方向：方向： Rvr/20a将上式投影到将上式投影到 轴上，得轴上，得其中其中整理得整理得 7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理合成定理rrae称为称为科氏加速度科氏加速度reC2va 当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加

22、速度的矢量和与科氏加速度的矢量和 CreaaaaaM科氏加速度科氏加速度大小为：大小为：方向方向按右手法则确定按右手法则确定sin2reCva 科氏加速度科氏加速度是由于动系为转动是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。而产生的。rvev2rv2M3Mevrv1M1Mv法国科里奥利法国科里奥利1792-1843地球北半球上水流的地球北半球上水流的科氏加速度科氏加速度自然现象中的科氏加速度自然现象中的科氏加速度 在北半球，河水向北流动时，河水的在北半球，河水向北流动时，河水的科氏科氏加速度向左，则河水必受右岸对水向左的作用加速度向左，则河水必受右岸对

23、水向左的作用力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷。河，其右岸都受有较明显的冲刷。已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端的一端A与滑块与滑块用铰链连接。当曲柄用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动时，转动时，滑块在摇杆滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆上滑动，并带动杆O1B绕定轴绕定轴O1摆动。设曲摆动。设曲柄长为柄长为OA=r，两轴间距离两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的角求：曲柄在水平位置时摇杆的角加速度。加速度。例例7-97-91.1.运动

24、分析：运动分析：动点：滑块动点：滑块 A A； 动系动系: :与摇杆与摇杆 固连；固连；绝对运动：以绝对运动：以O点为圆心，点为圆心，OAOA为半径的圆周运动；为半径的圆周运动；相对运动：沿相对运动：沿O1B的直线运动；的直线运动；牵连运动：摇杆绕牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。轴的定轴转动。1O B解解: :2.2.速度分析：速度分析：?r大小：大小：方向：方向： reavvv22arcosrlrlvv22222e1e1rlrrlvAOv222aesinrlrvv3.3.加速度分析加速度分析Crnetenaaaaaa 大小大小:方向方向:沿沿轴投影轴投影x22t2222e132222222

25、21)rl lrarl lrO Alrlrlr （Ctenaaaaxcos22r1Cnaxtervaaar112122?vAOr求：该瞬时求：该瞬时AB的速度及加速度。的速度及加速度。已知：已知：如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度绕水平绕水平O轴轴转动，带动直杆转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且沿铅直线上、下运动，且O，A，B 共线。共线。凸轮上与点凸轮上与点A接触的为接触的为 ，图示瞬时凸轮上点图示瞬时凸轮上点 曲率半径为曲率半径为A ，点点 的法线与的法线与OA夹角为夹角为，OA=l。AAA例例7-107-10解：解：1.1.运动分析：运动分析：动点

26、：动点： AB杆上杆上A点点； 动系动系: :固连于凸轮；固连于凸轮；绝对运动：点绝对运动：点A A的直线运动；的直线运动；相对运动：点相对运动：点A A沿凸轮外边缘的曲线运动；沿凸轮外边缘的曲线运动；牵连运动：凸轮绕牵连运动：凸轮绕O O轴的定轴转动。轴的定轴转动。2.2.速度分析：速度分析：?l大小：大小：方向：方向： reavvvtantanealvvcoscoserlvv沿沿 轴投影轴投影naerCcoscosaaaa 232acos2cos1Alla3.3.加速度分析加速度分析已知：已知： 圆盘半径圆盘半径R=50mm，以匀角速度以匀角速度1绕水平轴绕水平轴CD转转动。同时框架和动。

27、同时框架和CD轴一起以匀角速度轴一起以匀角速度2绕通过圆盘中心绕通过圆盘中心O的铅直轴的铅直轴AB转动，如图所示。如转动，如图所示。如1=5rad/s, 2=3rad/s。求：圆盘上求：圆盘上1 1和和2 2两点的绝对加速度。两点的绝对加速度。例例7-117-111 12 222212r2eaRvvv)arctan()arctan(12revv解：解：1.1.运动分析：运动分析：动点：动点：1、2点点 ； 动系动系: :固连于框架固连于框架BACD；绝对运动：未知；绝对运动：未知；相对运动：以相对运动：以O O为圆心的圆周运动；为圆心的圆周运动；牵连运动：绕牵连运动：绕ABAB轴的定轴转动。轴

28、的定轴转动。12RR大小：大小： ？方向：方向： ？ 2.2.速度分析速度分析reavvv点点1 1的牵连加速度与相对加速的牵连加速度与相对加速度在同一直线上，于是得度在同一直线上，于是得2reasmm1700aaa3.3.加速度分析加速度分析方向指向轮心方向指向轮心O O对于点对于点1 1：？ 0180sin2r2Cva且：且：牵连加速度牵连加速度0ea科氏加速度大小为科氏加速度大小为2reCmm/s150090sin2va相对加速度大小为相对加速度大小为221rmm/s1250Rararc tan5012Caa与铅垂方向夹角与铅垂方向夹角各方向如图，于是得各方向如图，于是得222212C2ramm/s1953Raaa对于点对于点2 2：Creaaaaa1.1.选取动点和动参考系后，应根据动参考系选取动点和动参考系后，应根据动参考系有无转动确定是否有科氏加速度；有无转动确定是否有科氏加速度；2.2.加速度合成定理的解题步骤加速度合成定理的解题步骤Cnrtrnetenataaaaaaaa需要注意的问题需要注意的问题1.1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度；牵连速度及加速度是牵连点