高数【第01章】01-04.

1、1高等教育出版社高等教育出版社王雪标王雪标 王拉娣王拉娣 聂高辉聂高辉教育科学教育科学“十五十五”国家规划课题研究成果国家规划课题研究成果制作人：制作人：张兴永张兴永 张张 艳艳 张祥之张祥之 索新丽索新丽 ( (上册上册) )2教材教材:主要参考课件主要参考课件: :高等数学电子教案高等数学电子教案微积分微积分王雪标王雪标 王拉娣王拉娣 聂高辉聂高辉高等教育出版社高等教育出版社. 李安昌等李安昌等 制作制作3第第1 1章章 函数、极限与连续函数、极限与连续1.51.5 函数的极限函数的极限1.1 1.1 函数的概念及基本特性函数的概念及基本特性1.21.2 复合函数与反函数复合函数与反函数1

2、.3 1.3 初等函数初等函数1.41.4 简单的经济函数简单的经济函数1.6 1.6 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量41.7 1.7 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则1.8 1.8 极限存在性准则与两个重要极限极限存在性准则与两个重要极限1.9 1.9 无穷小量的比较与等价代换无穷小量的比较与等价代换1.10 1.10 函数的连续性函数的连续性51.1 1.1 函数的概念及基本特性函数的概念及基本特性一、概念一、概念二、函数的基本特性二、函数的基本特性6.具具有有特特定定性性质质xxM 有限集有限集无限集无限集1 1、集合集合; 9 , 2 , 1 , 0M如如.1),( 22

3、2yxyxM如如一、概念一、概念; BxAxxBA且且如如. BxAxxBA或者或者(1)(1)子集；子集；、集合间的关系、集合间的关系(2)集合相等；集合相等； (3)空集空集.、集合间的运算、集合间的运算7N-N-自然数集，自然数集，Z-Z-整数集，整数集，Q-Q-有理数集，有理数集，R-R-实数集实数集. .数集间的关系数集间的关系.,RQQZZN5 5、区间与记号、区间与记号.,baRba且且oxab开区间开区间. ),(bxaba4 4、常用数的集合、常用数的集合8. ,bxaxba闭区间闭区间oxab; ),bxaxba. ,(bxaxba半开区间半开区间9; ),xaxa; ),

4、(bxxb无穷区间无穷区间. ),(Rxx10、邻域、邻域开区间开区间且且是两个实数是两个实数与与设设.,00 x，记作记作),(0 xU叫叫做做这这叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点,0 x. ),(000 xxxxxU即即邻域邻域的去心的的去心的点点0 x,邻域邻域的的称为点称为点0 x0 x)(0 x0 x),(00 xx.域域的的半半径径;000 ),(xxx邻域邻域的左的左点点0 x;00),(xx邻域邻域的右的右点点0 x.00),(xx邻邻11、函数概念及其表示法、函数概念及其表示法引例引例 匀速直线运动匀速直线运动;0),ttvs圆的面积与半径的关系圆的面积与半径的关系.02

5、),(,rrA函数的定义函数的定义是两个变量，是两个变量，和和设设yx是非空的数集，是非空的数集，D按照一定法则按照一定法则变量变量如果对于每个数如果对于每个数yDx,应，应，总有确定的数值和它对总有确定的数值和它对的函数，的函数，是是则称则称xy12)(xfy 记作记作x称为自变量；称为自变量；y称为因变量；称为因变量；x的取值范围的取值范围D D称为函数的定义域称为函数的定义域. .全体函数值所构成的集合称为函数的值域全体函数值所构成的集合称为函数的值域. .函数图形函数图形xyabxyxysin如如的函数，的函数，是是xy), 0定定义义域域为为.,11值域为值域为13(1)(1)函数的

6、二要素函数的二要素（1 1）定义域）定义域； （2 2）对应规律）对应规律. .说明说明.cos)(,sin)(221xxgxxf如如).()(xgxf例例1 1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域;)(21112xxy解解,021xx由由故定义域为故定义域为).,(),(),11112D.2域域会求函数的定义域及值会求函数的定义域及值)(14.2112)(lg)(arccos)(xxy解解 因因，11 x，021x即即，20 x.21x故定义域为故定义域为).,210D15、分段函数、分段函数.函函数数用用几几个个式式子子表表示示的的一一个个，例如例如010122xxxxxf,)(12 x

7、y12 xy，定定义义域域),(D )2(f, 3)(3f. 5169 9、几个特殊的分段函数、几个特殊的分段函数(1)(1)绝对值函数绝对值函数;,00 xxxxxy图形图形xy xyo(2)(2)狄利克雷函数狄利克雷函数,RxQxQxy01，其中其中Q Q为有理数集为有理数集; ;17 (3) (3) 符号函数符号函数.,sgn010001xxxxy当当当当当当1-1x xy yo o.xxxsgn图形图形);,(D定定义义域域.101 ，值域值域W18(4) (4) 取整函数取整函数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3x xy yo o阶梯曲线阶

8、梯曲线53, 0 3, 1 8, 88 . 3. 4图形：图形： x x 表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数. .xy=y= x x 如如),(D定定义义域域.ZW 值域值域19二、函数的基本特性二、函数的基本特性1 1、函数的单调性、函数的单调性,Dxx21当当21xx 时,),()()(211xfxf若若,)(上上的的单单调调增增加加函函数数为为称称Dxf.3严格单增严格单增如如xyxy,?2xy 设函数设函数)(xf在某区间在某区间D上有定义，上有定义， 对于任意对于任意记作记作.f若无等号则称严格单调增加，记作若无等号则称严格单调增加，记作.严严f),()()2(21xfxf若

9、若,)(上的单调减少函数上的单调减少函数为为称称Dxf记作记作.f若无等号则称严格单调减少，记作若无等号则称严格单调减少，记作.严严f20,)(,成立成立恒有恒有）若存在）若存在（MxfDxM 012 2、函数的有界性、函数的有界性）上有界，）上有界，在（在（22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy .10 ）上无界）上无界，在（在（.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Dxf设函数设函数)(xf在集合在集合D上有定义上有定义. .则称则称成立成立恒有恒有）若存在）若存在（,)(,MxfDxM2.)(上上有有上上界界在在函函数数Dxf则则称称成成立立恒恒有

10、有）若若存存在在（,)(,MxfDxM3.)(上上有有下下界界在在函函数数Dxf显然，有界函数必有上界和下界，反之也成立显然，有界函数必有上界和下界，反之也成立. .21有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD，)()(xfxf;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf y yx x)(xfo ox-x)(xfy 3 3、函数的奇偶性、函数的奇偶性22偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD，)()(xfxfy yx x)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf均偶函数；均偶函数；如如242xxxgxxf)(,cos)(xxxf

11、xxf11231ln)(,)(均为奇函数；均为奇函数；xxxfcos)(3.都不是都不是23例例2 2 判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性；）（)ln()(1121xxxf解解（1）,Rx有有)(ln()(121xxxfxx112ln)ln(12xx),(xf1故故)(xf1是是R R上的奇函数上的奇函数. .24.,)(010122xexexfxx）（解解 （2）,Rx有有.,)()()(01012xexexfxx.,0101xexexx.),(,),(0101xexexx),(xf2故故)(xf2是是R R上的奇函数上的奇函数. .254 4函数的周期性函数的周期性通常说周期函数的周

12、期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期. .,0lDx, )()(xflxf使使.)(为周期函数为周期函数称称xfxo2y2xysin如如周期为周期为.例例3 3 求函数求函数xxxfcossin)(的周期的周期. .解解,Rx恒有恒有)cos()sin()(222xxxfxxsincos),(xf故故2是是)(xf的周期的周期. .261.2 1.2 复合函数与反函数复合函数与反函数一、复合函数一、复合函数二、反函数二、反函数27一、复合函数一、复合函数,uy 设设,21xu21xy定义定义1 1,自自变变量量x,中中间间变变量量u.因变量因变量y注意注意 1. 1.不是任何

13、两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的; ;,arcsinuy 例如例如,22xu)arcsin(22xy282 2、复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成、复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. .2xycot,uy ,cotvu .2xv 例如例如可由下列三个函数复合而成可由下列三个函数复合而成例例1 1 设设,)(1uufy，)lg()(21xxgu求求)(xgfy 及其定义域及其定义域. .解解由于由于)(xgfy,)lg(112 x又又), 1fD而而112)lg(x的解集是的解集是, 3x)(xgfy 故故的定义域为的定义域为).,(33

14、 29例例2 2 已知已知,)(xxxf1设设),()(xffxf2),()(xffxf23,),()(xffxfnn1求求).)(2nxfn解解因因)()(xffxf2)()(xfxf1,xx21而而)()(xffxf23)()(xfxf221,xx31故由数学归纳法得故由数学归纳法得)(xfn.nxx130二、反函数二、反函数例如例如 由函数由函数12xy 解出解出,21yx则称函数则称函数21yx是函数是函数12xy的反函数的反函数. .一般地一般地定义定义2 2设函数设函数)(xfy 的定义域为的定义域为,fD其值域为其值域为,fZy,fZy如果对于每个数如果对于每个数都有唯一的对应值

15、都有唯一的对应值fDx满足满足),(xfy 则称则称x是定义在是定义在fZ上上以以为自变量的函数为自变量的函数. .记此函数为记此函数为,),(fZyyfx1并称其为并称其为)(xfy 的反函数的反函数. .31说明说明1 1、)(xfy 的反函数也可记作为的反函数也可记作为.),(fZxxfy1 2 2、易知，一一对应是一个函数存在反函数的充要、易知，一一对应是一个函数存在反函数的充要条件条件. . 3 3、严格单调函数必有反函数，且单调增加（单调、严格单调函数必有反函数，且单调增加（单调减少）函数的反函数也单调增加（单调减少），但单减少）函数的反函数也单调增加（单调减少），但单值函数的反函

16、数不一定是单值函数值函数的反函数不一定是单值函数. .2xy 的反函数有两支的反函数有两支.xy如函数如函数例如例如),(,xeyx对数函数对数函数),(,ln0 xxy互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增, ,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称 . .指数函数指数函数32)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数反函数对称；对称；图形关于图形关于、原函数与其反函数的、原函数与其反函数的xy 433例例3 3 设设,arcsin0112fDxy求反函数求反函数)(xf1及其定义域和值域及其定义域和值域. .解解 由由,arcsin0112f

17、Dxy和和,20fZ可得可得,sin yx 21即即,cos yx22故反函数为故反函数为,cos)(xxfy1其定义域为其定义域为,20fZD值域为值域为.01 ,fDZ34例例4. 4. 求求,ln,21210 01 12xexxxxyx的反函数及其定义域的反函数及其定义域. .解解时时，当当01x, ,(102 xy,(,10yyx时，时，当当10 x, ,(ln0 xy时时，当当21 x, ,(eeyx2221.,(,0 xeyx反函数反函数.,(,10 xxy反函数反函数，,(,0yexy即即即即35反函数反函数y.2212,(,lnexx，,(,10 xx，,(,0 xex定义域为

18、定义域为.,(,(e221 ，,(,lneyxy2212反函数反函数.,(,lnexyx2212即即361.3 1.3 初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数二、初等函数二、初等函数37一、基本初等函数一、基本初等函数1 1、常数函数、常数函数).( 为常数为常数CCy 2 2、幂函数幂函数. )( 是是常常数数xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 383 3、指数函数、指数函数，),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( .xey 394 4、对数函数、对数函数，),(log10aaxya. xylnxyalogxya1log)(1a)0 ,

19、 1( 405 5、三角函数、三角函数（1 1）正弦函数）正弦函数xysin. xysinxycos. xycos（2 2）余弦函数）余弦函数41（3 3）正切函数）正切函数. xytanxytan. xycot（4 4）余切函数）余切函数xycot42（5 5）正割函数）正割函数. xysecxysec. xycsc（6 6）余割函数）余割函数xycsc436 6、反三角函数、反三角函数xyarcsin.1xyarcsin)(反反正正弦弦函函数数xyarccos.2xyarccos)(反反余余弦弦函函数数44xyarctan.3xyarctan)(反反正正切切函函数数.4xarcycot)(

20、反余切函数反余切函数xarcycot 常数函数，幂函数常数函数，幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角三角函数和反三角函数统称为基本初等函数函数和反三角函数统称为基本初等函数. .45例例1 1 求函数求函数xycos在区间在区间,0上的反函数上的反函数. .解解 因为因为xycos在在,0上单调增加，上单调增加， 故存在反函数故存在反函数. .方法方法1 1由于由于, 0 x故故,x0又又),cos(cosxxy因此因此,arccos yx 故反函数为故反函数为.,arccos011yxxy方法方法2 2, 0 x由于由于由于由于故故,222x),sin(cos2xxy

21、因此因此,arccos yx2故反函数为故反函数为.,arcsin0112yxxy46二、初等函数二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, ,称称为初等函数为初等函数. . 例如例如xxyxysin,cot22都是初等函数都是初等函数. . 注意注意 分段函数一般不是初等函数，但如果能化分段函数一般不是初等函数，但如果能化成用一个式子表示，则看成是初等函数成用一个式子表示，则看成是初等函数. .例如例如,2xy y，0 xx ,，0 xx ,可表为可表

22、为故为初等函数故为初等函数.471.4 1.4 简单的经济函数简单的经济函数一、成本函数、收益函数和利润函数一、成本函数、收益函数和利润函数 二、需求函数和供应函数二、需求函数和供应函数48一、成本函数、收益函数和利润函数一、成本函数、收益函数和利润函数 1 1、成本函数、成本函数 生产生产q q单位的产品，其成本由固定成本和可单位的产品，其成本由固定成本和可变成本两部分组成变成本两部分组成固定成本固定成本0C与产量与产量q q无关，无关，可变成本可变成本)(1qC是产量是产量q q的增函数的增函数. .成本成本= =固定成本固定成本+ +可变成本，可变成本，即成本函数即成本函数),()(10

23、qCCqC平均成本函数平均成本函数qqCqC)()(（单位产品的成本）（单位产品的成本）. .492 2、收益函数、收益函数若单位的产品的价格为若单位的产品的价格为p,p,产品的销售量为产品的销售量为q,q,则则收益收益= =价格价格销量销量. .价格价格p p是常数或是销售量是常数或是销售量q q的函数，记作的函数，记作),(qP收益函数收益函数. qqPqR)()(3 3、利润函数、利润函数若产销平衡，即产量与销售量相等，则若产销平衡，即产量与销售量相等，则利润利润= =收益收益成本成本. .利润函数利润函数).()()(qCqRqL50 例例1 1 某制剂厂最大日产量为某制剂厂最大日产量

24、为m m吨，已知固定成吨，已知固定成本为本为a a元，每多生产元，每多生产1 1吨消毒剂，成本增加吨消毒剂，成本增加k k 元元. .若若每吨消毒剂的售价为每吨消毒剂的售价为p p元，假设产销平衡，试求成元，假设产销平衡，试求成本函数、平均成本函数、收益函数和利润函数本函数、平均成本函数、收益函数和利润函数 . .解解 设制剂厂日产量为设制剂厂日产量为q q吨，吨，,mq0则则成本函数成本函数,)(kqaqC平均成本函数平均成本函数,)()(kqaqqCqC;,mq0;,mq0收益函数收益函数，qpqR)(;,mq0利润函数利润函数，aqkpqCqRqL)()()()(.,mq051二、需求函

25、数和供应函数二、需求函数和供应函数1 1、需求函数、需求函数通常商品的需求量通常商品的需求量q q是价格是价格 p的函数，称为需求的函数，称为需求 函数函数. .记为记为).(PDq 一般来说，需求函数是价格的减函数，一般来说，需求函数是价格的减函数，需求函数的反函数称为价格函数需求函数的反函数称为价格函数. .2 2、供给函数、供给函数某商品由于价格不同，生产此种商品的厂商（卖主）某商品由于价格不同，生产此种商品的厂商（卖主）对市场提供的总供给量（简称商品的供给量）将不同，对市场提供的总供给量（简称商品的供给量）将不同，商品的供给量商品的供给量q q也是价格也是价格p p的函数，称为供给函数记的函数，称为供给函数记为为 ).(pSq 52 一般说来，商品价格越高，生产厂商越愿意提供一般说来，商品价格越高，生产厂商越愿意提供产品，因此供给函数是一个增函数产品，因此供给函数是一个增函数 当市场上的需求量和供应量相等时当市场上的需求量和供应量相等时, ,需求关系需求关系和供给关系之间达到某种均衡和供给关系之间达到某种均衡, ,这时的价格这时的价格*p和需和需求量求量( (或供给量或供给量) )*q分别称为