高一数学竞赛课讲义练习 琴生不等式（含答案）

1、Jensen不等式练习题一、基础知识凸函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有则称为上的凸函数,也称下凸函数.凹函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有则称为上的凹函数,也称上凸函数.凸凹性与二阶导数：若在内二阶可导,对任意都有则函数在内是下凸函数；对任意都有则函数在内是上凸函数.琴生不等式：若函数在上的下凸函数,则对任意的且都有特别地则当且仅当取等.若函数在上的上凸函数,则不等号反向.齐次性：设是一个元函数,若对任意非零实数都有则称为变量的次齐次式.如为变量的次齐次式.若都为变量的次齐次式.则不等式称为齐次不等式,对齐次不等式一般可不妨设或二、典型例题

2、与基本方法1.利用琴生不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.2.非负实数满足求的最大值.3.设证明：4.设证明：5.已知证明：6.设证明7.已知且证明：B11.练习 姓名： 1.若正实数满足证明：2.已知证明：3.用柯西不等式证明：设证明：A11.琴生不等式一、基础知识凸函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有则称为上的凸函数,也称下凸函数.凹函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有则称为上的凹函数,也称上凸函数.凸凹性与二阶导数：若在内二阶可导,对任意都有则函数在内是下凸函数；对任意都有则函数在内是上凸函数.琴生不等式：若函数在上的下凸函数,则对任意的

3、且都有特别地则当且仅当取等.若函数在上的上凸函数,则不等号反向.证明：(数学归纳法)当时,由下凸函数的定义知成立.假设当不等式成立,当时,注意到于是于是由归纳假设知从而即所以当时不等式成立.所以琴生不等式成立.齐次性：设是一个元函数,若对任意非零实数都有则称为变量的次齐次式.如为变量的次齐次式.若都为变量的次齐次式.则不等式称为齐次不等式,对齐次不等式一般可不妨设或二、典型例题与基本方法1.利用琴生不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.证明：构造所以是上凸函数,于是由琴生不等式知道即又因为在单调递增,所以当且仅当取等.2.非负实数满足求的最大值.解：令则构造构造在上是上凸函数,由琴生不等式知于

4、是当即时取等,所以的最大值3.设证明：证明：法1使用权方和不等式当且仅当时取等.因为于是法2在是上凸函数,由琴生不等式得当且仅当时取等.因为于是4.设证明：证明：,即证明两边都是关于的次轮换式,由齐次性可设于是即证明当证明构造在上是上凸函数,由琴生不等式得由排序不等式知道于是得证.5.已知证明：证明：法1使用Hlder不等式一般形式即注意到恒等式所以所以法2使用权方和不等式法3使用琴生不等式,由齐次性,不妨设构造函数则是上递减的下凸函数,由琴生不等式知道注意到所以即于是即证.6.设证明证明：法1使用柯西不等式所以令于是注意到又于是所以从而法2令于是由齐次性,不妨设构造构造在上是上凸函数,由琴生不等式知道于是要证只需证即证即证因为恒等式,所以又因为所以所以得证.7.已知且证明：证明：其中下面我们来论证的凸凹性.因为所以是上的下凸函数,且在单调递减,在单调递增.注意到由琴生不等式知由幂平均不等式得所以得证.B11.练习 姓名： 1.若正实数满足证明：证明：构造在上是上凸函数,2.已知证明：证明：由齐次性可设构造函数则是