学而思2012年秋季素质123班难题汇总(至第10讲)

1、.;学而思2012年秋季素质123班难题汇总开篇语学而思2012年秋季课程，在北京市JW大禁奥数与升学挂钩的政策下，一如既往地如期开始了。无论大背景如何，数学思维方法的训练还是必要的，让我们这些对数学有着浓厚兴趣的家长，与孩子们一起继续学习。知识靠积累，学习靠兴趣，只有热爱，才能学好，给孩子做引路人，让孩子坦然前行。声明：本文档仅收录各讲有难度题目，并对题目进行解析。文档未对各讲内容进行汇总和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。第一讲 循环小数与分数分数是一定可以化成小数的，小数不一定都可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。小数化分数的

2、目的：是为了计算，主要是为了乘除的计算。尤其循环小数的乘除，小数不化成分数，几乎无法计算。分数化小数分数是一定可以化成小数的，分数可以化成如下3类小数：有限小数无限纯循环小数无限混循环小数分数化小数，化成哪一类？判断方法如下：先将分数化成最简分数，再看分母：A、分母只有因子2或5有限小数B、分母没有因子2和5无限纯循环小数C、分母有因子2和5，还有其他因子无限混循环小数分数化小数的方法分数化小数的方法：除。相除后，要么得到有限小数，要么得到循环小数(找到循环节)。特殊的地方是：如果分数的分母可以表示成都是数字9，就可以转换成无限纯循环小数；如果分数的分母可以表示成“左边连续的数字9右边连续的数

3、字0”，就可以转换成无限混循环小数。这2种情况，是有计算方法的。例如：13/99=0.，113/990=0.1。小数化分数有限小数、无限纯循环小数、无限混循环小数，可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。有限小数化分数a、分母：1加几个0做分母(0的个数与小数的位数相同)b、分子：小数部分c、化为最简无限纯循环小数化分数a、分母：全是9，9的个数与循环节的位数相同b、分子：循环节c、化为最简无限混循环小数化分数a、分母：9和0，9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同b、分子：“第2个循环节以前的小数部分的数字组成的数”-“不循环部分的数字组成的数”c、化为最简11、【例4

4、的补充】将99个分数、化成小数，问：其中混循环小数有多少个？【难度级别】【解题思路】先要搞清楚如何判断：有限小数(分母只有2、5)、无限纯循环小数(分母无2、5)、无限混循环小数(分母有2、5和其他)。分母有2的：50个，分母有5的：20个，既有2又有5的：10个，所以分母有2或5的共有：50+20-1060(个)。这60个包括：有限小数、无限混循环小数。有限小数：只有2的：2、4、8、16、32、64共6个，只有5的：5、25共2个，既有2又有5的：10、20、40、50、80、100共6个，合计：14个。所以无限混循环小数有：601446(个)。【答案】46。12、【例5的第2问】将循环小

5、数0.2与0.7967相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？【难度级别】【解题思路】先化成分数，相乘，分子分母约分，再化成小数。0.20.7967=0.0485。004856六个数字循环，1006164，第100位是8，后面的5四舍五入进1，进位后第100位(近似值的最后一位)是9。【答案】9。13、【例6的补充】真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1992，求的值。【难度级别】【解题思路】化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的，而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的。0.4285，0.8571，0.2857，0.

6、7142，0.1428，0.5714。六个数字的数字和：1+4+2+8+5+727。1992277321，27216，最后一个不完整的周期中的数字和是21，说明后面缺6，观察以上6个数，的后面的4+26，所以6。和为1992的最后一个数字是第673+4442(位)。【答案】6。14、【例6】已知真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求的值。【难度级别】【解题思路】方法一为本人提供，方法二是老师提供的。方法一，化成小数，循环节都是6位。0.7692，0.3076，0.0769，0.9230，0.6923，0.2307，0.5384，0.8461，0.6153，0.

7、3846，0.1538，0.4615。根据组成循环节的6个数字是否相同，找规律：1、3、4、9、10、12相同，2、5、6、7、8、11相同。数字和：0+7+6+9+2+327；数字和：1+5+3+8+4+627。199927741，最后一个不完整的周期中的数字和是1，观察以上12个数，在一个周期内前几位的数字和为1的只有0.153846，即：，2。方法二，通过代数方法证明数字和为27。=eq xto(ABCDEF)=77999，999|eq xto(ABCDEF)，999|(eq xto(ABC)+eq xto(DEF)，eq xto(ABC)+eq xto(DEF)=999（等于999的2

8、倍不可能）。由eq xto(ABC)+eq xto(DEF)=999得到：C+F=9，B+E=9，A+D=9，并且都没有进位，所以：A+B+C+D+E+F=93=27。199927741，最后一个不完整的周期中的数字和是1。当=1时，A=0；当=2时，A=1；当2时，A1。真分数为，=2。【答案】2。15、【例8】我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.0、77.007都是“特殊数”。如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？【难度级别】【解题思路】将7除以7变成1。若干个特殊数的和写成1，说明这样的特殊数都是小于1的。假设：a1+a2+an1，则 (a1+a2+an)/

9、70.4285。除以7后，每个数位上要么是0要么是1，4285中的8至少要有8个1相加才可以得到，所以1最少要写成8个特殊数的和。构造如下：十分位百分位千分位万分位十万分位百万分位(1)111111(2)11111(3)1111(4)1111(5)111(6)11(7)11(8)1求和142857a10.7777，a20.7777，a30.7077，a40.7077，a50.0077，a60.0070，a70.0070，a80.0070。【答案】8。16、【学案3】和化成循环小数后第100位上的数字之和是_。【难度级别】【解题思路】用到：20097287，20027286，10.。，+10.。

10、每一个小数位都是数字9。证明一下10.：A0.，10A9.，10A-A9.-0.，9A9，A1。【答案】9。17、【学案4】图中圆周上的10个数，按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数(10个数字恰好各用一次)，例如：1.8929592。问：在所有这种数中最大的是几？【难度级别】【解题思路】最大肯定整数部分是9，9.29.1，看2个9.2的。9.2915929189.291892915，后者大。小数部分291892915是不变的了，5肯定是循环节的最后一位，5后面显然以9开始最大，9291，以92为循环节的开始，循环节为92915。最大数为：9.2918291。【答案】9.29182

11、91。18、【作业6】给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。【难度级别】【解题思路】3是循环节的末位。1001090。循环节有10个数字，7开始3结束，901090，第100位为3；循环节有9个数字，0开始3结束，909100，第100位为3；循环节有8个数字，8开始3结束，908112，第100位为2；循环节有7个数字，2开始3结束，907126，第100位为5；循环节有6个数字，1开始3结束，906150，第100位为3；循环节有5个数字，6开始3结束，905180，第100位为3；循环节有4个数字，9开

12、始3结束，904222，第100位为4；循环节有3个数字，4开始3结束，903300，第100位为3；循环节有2个数字，5开始3结束，902450，第100位为3。所以，这个循环小数是：0.70816945。【答案】0.70816945。19、【作业7】纯循环小数0.b写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数。【难度级别】【解题思路】0.b；99933371。大家还记得约数个数定理吗？(3+1)(1+1)8。999小于58的约数有5个：1、3、9、27、37；其他3个约数大于58（337、937、2737）。分子分母约分后，剩余的也是约数，最简分数分母只能是37。因为如果分母

13、是：1、3、9、27，则58减去分母后差比分母大（差为分子），与题目给的纯小数矛盾。分子为：583721。这个循环小数为：。【答案】0.6。第二讲 因数与倍数（一）最大公因数短除法：出现互质就停（有就停、不是都互质），乘一边；分解质因数：你有我也有（公共质因子、取最低次）；辗转相除法：不断“除数余数”，除到余0看除数。最小公倍数短除法：两两互质才停，乘半圈；分解质因数：大家有才是真的有（所有质因子、全取最高次）。分数的最大公因数、最小公倍数的求法分数的求法：子同母反。即：求最大公因数，分子的最大公因数分母的最小公倍数；求最小公倍数，分子的最小公倍数分母的最大公因数。因数的找法因数总是成对出现的

14、，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身，如：60160230320415512610。21、【例7】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？【难度级别】【解题思路】提供两种方法。方法一，追及时间+最小公倍数。乙追上甲一次需要的时间：400(120-80)=10(分钟)；乙追上丙一次需要的时间：400(120-70)=8(分钟)；10,8=40，40为最小公倍数，说明乙40分钟可以同时追上甲和丙。看看追上的地点是否是出发点？如果不是再看

15、80分钟。40120480012400，是周长400米的整数倍，地点是在出发点。方法二，走一圈时间+分数的最小公倍数。每人走一圈需要的时间：5，。,40。【答案】40分钟。22、【例3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？【难度级别】【解题思路】设公因数为x，设三个自然数为ax、bx、cx，则有：ax+bx+cx=1111。(a+b+c)x=1111=11101，x最大值为101。构造：a+b+c=11,a=2,b=3,c=6,三个自然数：202、303、606。【答案】101。23、【例1】如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因

16、数是最小的3倍。现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩余的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【难度级别】【解题思路】设除1和n外剩余因数中最小为x，则最大为15x。因数成对出现，n1n，nx15x35x2。n的因数中有3，所以1x3(因为x是除1以外的最小因数)。x2，15x30，n23060；x3，15x45，n345135。当然此题也可以尝试，尝试2、3、5，尝试到5时就不可以了。【答案】60、135。24、【例8】甲乙两数的最小公倍数是90，乙丙两数的最小公倍数是105，甲丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？【难度级别】【解题思路】标准分解质因数。

17、甲,乙902325；看出，丙独有7；乙,丙105357；看出，甲独有2；甲,丙1262327；看出，乙独有5；因为乙,丙只有1个3，所以甲有2个3，甲23218。乙和丙有1个3，所以：乙为5或53，丙为7或73，可以有3种组合：、（不能是因为这个组合没有3）。【答案】18。25、【例4】N为自然数，且N+1、N+2、N+9与690都有大于1的公因数。N的最小值为。【难度级别】【解题思路】对690分解质因数，69023523。方法一，理论求解。9个连续的自然数有两种可能的情况：5奇4偶、4奇5偶。5奇4偶4个偶数都有公因数2。5个奇数：最多有2个3的倍数、最多有1个5的倍数、最多有1个23的倍数

18、，那么另外1个奇数与690无公因数。此种情况，舍弃。4奇5偶5个偶数都有公因数2，N+1为偶数。N+2、N+4、N+6、N+8为奇数。N+2与N+8相差6，3的倍数有2个就是N+2和N+8。N+4与N+6一个是5的倍数一个是23的倍数，相邻奇数1个是5的倍数1个是23的倍数，最小的是23和25，N+423，N19。验证这4个奇数：21、23、25、27，21和27是3个倍数、25是5的倍数、23是23的倍数，满足题意。方法2，估算。因为69023523，所以猜想这9个连续的自然数必然在23附近，比23小的距离23最近的质数是19，比23大的距离23最近的质数是29，在19和29之间恰好有202

19、8九个自然数，而这9个自然数满足题意：5个偶数与690有公因数2，21、27与690有公因数3，25与690有公因数5，23与690有公因数23。【答案】19。26、【学案2】用16这六个数字可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数。【难度级别】【解题思路】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数，所以这些数都能被3整除。因此，最大公因数必须是3的倍数，设为3k。而在这些数中，差最小的是9，最大公因数3k必须是这个差9的约数，所以最大公因数只能是3。因为：如果是6，这些数有奇数不是6的倍数；如果是9，这些数的数字和21不是9的倍数这些数不能被9整除。【答案】3。27、【学

20、案4】鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖_个洞。（鼹鼠每隔3米挖1个洞，老鼠每隔5米挖1个洞）【难度级别】【解题思路】从A往B看，鼹鼠3米3米往前挖，老鼠：1575312，老鼠与A距离2米时是第1个洞。第1次重叠的洞是：2+5+512米，1234，也就是老鼠挖的第3个洞与鼹鼠挖的第5个洞重叠（从A往B看）。3,515，15712145，14515910，又重叠了9个洞。9+110。【答案】10。28、【作业2】用19这九个数字可以组成362880个没有重复数字的

21、九位数，求这些数的最大公因数。【难度级别】【解题思路】1+2+9=45，45是9的倍数，所以这些数都能被9整除。因此，最大公因数必须是9的倍数。而在这些数中，差最小的是9，最大公因数必须是这个差9的约数，所以最大公因数就是9。【答案】9。29、【作业8】七个连续自然数之和既是5的倍数，也是9的倍数，求七个数中最大数的最小值。【难度级别】【解题思路】5945，和为：45k(k1)。中间数：，因为45和7除了1以外没有公约数，所以k必须是7的倍数，k的最小值为1，此时，中间数为：45，七个数之和为：457315，最大数为45+348。【答案】48。2A、【作业答案】(1)40，8、6、5 (2)9

22、 (3)91(4)517 (5)10 (6)7 (7)24 (8)48第三讲 三角形中的模型（一）鸟头定理(鸟头模型)裤衩定理平行线分线段成比例若DEBC，则，。本讲有两道题目采用裤衩定理，其余大多采用鸟头定理，使用鸟头定理时主要在于找到相同角或者互补角，鸟头定理是本讲的重点。本讲题目难度不大，孩子认真听讲都可以搞懂。例7、例8、学案4采用“平行线分线段成比例”，这个内容是初中内容，超出孩子的能力范畴，为选讲内容。31、【例7】已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EFBC，交CD于G，求阴影部分的面积。【难度级别】【解题思路】先应用2次“平行线分线段成比例”。E是B

23、D的中点，EGBC，；AF:FC2:1，EFBC，。可以得到：，。之后有2种方法：一是比例，二是鸟头定理（共角模型）。方法一：比例连结AG、BG，将ABC分成了左边3个、右边2个、下边1个共6个小。设阴影面积(SGFC)为1份。EGB与GFC，EG:GF3:1，等高，SEGB：SGFC3:1，SEGB3份。,DEEB，,ADDEEB，等底同高，SDGE3份，SAGD3份，也就是左边3个的面积分别都是3份。AF2FC，背靠背同高，SAGF：SGFC2:1，SAGF2份。，等高，SEGB：SGBC1：2，SGBC6份。SABC3份+3份+3份+2份+1份+6份18份a，所以：1份。方法二：鸟头定理

24、（共角模型）再应用2次鸟头定理（共角模型）。，；，；。【答案】。32、【例8】梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是_。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”、鸟头定理。延长BF、CD相交于G。由于E为AC的中点，CGAB2CD，GDDC。AB2CD，等高，2：1，124。GDAB，DF：FAGD：AB1：2，所以，AF：FD2：1，AF：AD2：3。AEEC，AE：AC1：2。鸟头定理，。4。当然，此题可以不这样做辅助线，而是过E点做AB的平行线交AD于H：通过HE与DC、AB的关系，得到FH与HA、FH与HD的比例

25、关系，进而得到AF与FD的关系，其余解法与上面的鸟头定理相同。【答案】。33、【学案4】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平分厘米？【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。CHEF，HGEF12。，h1+h212，h112。HGh116.2(平方厘米)。当然，不用h1、h2，连结HE，根据鸟头定理可以求出GHI和HIE的面积比例关系，而GHE的面积是可求的，也可以求出来。【答案】16.2平方厘米。34、【作业7】如图，ABC中，DE、FG、BC互相平行，ADDFFB，则_。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。11：22：33

26、1：4：9。1：(4-1)：(9-4)1：3：5。【答案】1：3：5。35、【作业8】如图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。DAEB，；DFAB，；所以：，259，AG5315。【答案】15。36、【作业答案】(1)30 (2)4 (3)140 (4)59 (5)65 (6)第四讲 解分数系数方程解分数系数方程，关键是去分母，注意如下几点：找分母的最小公倍数先去括号常数也要乘去分母后加括号列分数方程，看关键字“的”，寻找单位“1”。列方程的应用题，注意有5点：解、设、列、求、答。本讲没有难题。41、【学案4】小刚给王奶奶运蜂窝

27、煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的。问还有多少块蜂窝煤没有运来？（方程）【难度级别】【解题思路】设还有7y块蜂窝煤没有运来，则运来的为5y块，全部为12y。12y+50=5y，解得：y=100。还有700块蜂窝煤没有运来。当然设没运来的为y也可以求解，就是式子稍微复杂一点而已(y+50=y)。【答案】700。42、【越玩越聪明】在古埃及，分子为1的真分数称为埃及分数，请从、这99个埃及分数中挑出10个，使它们的和为1。【难度级别】【解题思路】利用的拆分，=-。因为+=1-把右边的移到左边即可：+=1【答案】见上。43、【补充1】形状完全相同的12个小球，有1个坏

28、球（质量与其他11个不同），使用天平称3次能否找出这个坏球？【难度级别】【解题思路】操作类题目，逻辑推理。分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了（坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定：2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比）。两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论：拿4567和89(10)(11)比较（操作策略：留下48不动，拿走123，把567调换到左边，右边增加9(10)(11)，变成4567和89(10)(11)。若4567轻，则说明4轻或者8重，那比较1和4，平衡的话不同的是8，不平衡的话不同的是8；若4

29、567重，则说明567重，那比较5和6，平衡的话不同的就是7，不平衡的话不同的是56中重的那个。若平衡，则说明123轻，那比较1和2，平衡的话不同的就是3，不平衡的话不同的是12中轻的那个。另外一个方法，思路相同（第二次比较的是个不是个）：分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了（坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定：2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比）。两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论：拿125和369比较（操作策略：拿走478，留下123和56，右边补个9，再3和5左右调换，变成125和369）。若1

30、25轻，则说明12轻或者6重，那比较12，平衡的话不同的是6，不平衡的话不同的是12中轻的那个；若125重，则说明5重或者3轻，那比较5和9即可，5重就是5，平衡不同的就是3；若平衡，则说明4轻或者78重，比较78，平衡的话不同的就是4，不平衡的话不同的是78中重的那个。【答案】能，详见上面分析。44、【作业答案】(1)第1题 3(5-3x)=2(3-5x)，此题出的不好，x=-9(1)第2题 (2x+1)-2(x+1)=8，此题出的不好，x无解(2) (3)0 (4)13 (5)10 (6)1 (7)36 (8)200第五讲 电梯与发车电梯问题，关键词：S可见(可见的阶数)，S可见指的是楼层

31、高度。同向：S可见S人+S梯；反向：S可见S人S梯。SVt。发车问题，关键词：S间(车间距)，S间指的是车与车之间的距离，人车反向：S间(V车+V人)t相；人车同向：S间(V车V人)t追。S间V车t发。本讲的扶梯问题和发车问题都是有固定解题思路的，最关键的是：列方程。电梯问题的解题思路：题目一般都是求S可见的，即求扶梯可见的阶数。第一：根据“同向、反向”、“2次同向”、“2次反向”、“2人”等等条件总是可以列出2个S可见的等式，S可见是相等的，这样就构成了一个方程。第二，两个S可见中的时间t是不等的，无论S人还是S梯，如果S或者t没有给出，那么总是可以根据V人或V梯是不变的得到2个时间t的关系

32、。一般来说，根据题目给的条件，是可以列出如下方程的：S人V人t、S梯V梯t。如果采用第一步不能直接求出答案，再采用第二步的求t关系的方程就一定可以求出答案的。发车问题的解题思路：题目一般都是求t发的，即发车的时间间隔。第一：根据“人车同向”、“人车反向”、“2人1车”、“2车1人”等等条件总是可以列出2个S间的等式， S间是相等的，这样就构成了一个方程。第二，如果第一步无法求出，一般会给出第3个条件，例如：“车、车相遇”、“车追车”、“两个S间存在比例关系”(流水行程中的两个S间不等)等等，根据这个条件就可以再列出一个方程，或者找到第一步中的2个等式之间存在的比例关系。一般来说，采用第一步，根

33、据方程可以求出V车和V人的关系。如果采用第一步不能求出V车和V人的关系，再采用第二步其他条件列出另外的方程来就一定可以求出V车和V人的关系。最后一步，根据S间V车t发就可以求出t发，或者求出题目要求解的其他问题。以上解题思路，请认真领会，从下面的解法中看得出来，本讲所有题目都是这么做出来的。51、【例5】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每隔15分钟遇上一辆迎面开来的电车。且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【难度级别】【解题思路】发车问题，2人1车，S间相同，2人速度不同，需要第3个

34、条件，“甲的速度是乙的速度的3倍”就是我上面解题思路中的第3个条件。以V乙和V车，列出2个方程：乙与车：S间15(V车+V人)甲与车：S间10(V车+3V人)15(V车+V人)10(V车+3V人)，解得：V车3V人S间15(V车+V人)15(3V人+V人)60V人根据S间V车t发，t发S间V车60V人3V人20。当然最后一步也能简便一下：S间60V人20V车V车t发，t发20。【答案】20。52、【例7】小峰骑自行车去小宝家聚会，在途中小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，小峰只好弃车打的前往小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车。已知出租

35、车的速度是小峰骑车速度的5倍，如果公交车的发车间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车间隔为多少分钟？【难度级别】【解题思路】发车问题，1人1车（自行车出租车只是两种不同的形式，速度不同），追及，S间相同，2种情况人的速度不同，需要第3个条件，“出租车的速度是小峰骑车速度的5倍”就是第3个条件。以V自和V车，列出2个方程：车(公交车)追人(自行车)：S间9(V车V自)人(出租车)追车(公交车)：S间9(5V自V车)9(V车V自)9(5V自V车)，解得：V车3V自S间9(V车V自)9(3V自V自)18V自根据S间V车t发，t发S间V车18V自3V自6。当然最后一步也能简便一下：S间18V自6V车

36、V车t发，t发6。【答案】6。53、【例6】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地厨房，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们走了_分钟。【难度级别】【解题思路】发车问题，2人2车，S间相同，2人速度不同，需要第3个条件，“每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车”就是第3个条件。小张与车相遇：S间5(V车+V张)小王与车相遇：S间6(V车+3V王)这2个等式，无法求出V之间的关系，需要根据第3个

37、条件“车车相遇”再列出一个方程：S间4(V车+V车)8V车根据这3个方程，可以求出：V张V车，V王V车最后一步：根据S全程V和t张王相遇，求得：t张王相遇S全程(V张+V王)56V车(V车+V车)56(+)60。【答案】60。54、【例8】某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就有一艘货船迎面开过。已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且在静水中的速度相同，均为水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是_分钟。【难度级别】【解题思路】发车问题，加上流水行船问题，1人2车，S间不相同（这是本题特殊的地方），需要第3个条件来求解2个S间的关系，

38、流水行船中的顺水速度逆水速度恰好就是第3个条件。V货7V水，以V水和V游，列出2个方程：货船与游船追及：S间140(7V水-V游)货船与游船相遇：S间220(7V水+V游)通过流水行船中的货船的顺水速度、逆水速度来求解货船的这2个S间的关系：V顺V货+V水7V水+V水8V水，S间1V顺t发8V水t发V逆V货-V水7V水-V水6V水，S间2V逆t发6V水t发进而就可以根据前2个方程求出V游与V水的关系：，求得：V游V水最后一步：S间140(7V水-V游)40(7V水-V水)288V水t发S间1(8V水)(288V水)(8V水)28【答案】28。55、【学案4】A城每隔30分钟有直达班车开往B镇，

39、速度为每小时60千米；小王骑车从A城去B镇，速度为每小时20千米。当小王出发30分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他；当小王到达B镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。A、B间路程为_千米。【难度级别】【解题思路】此题不采用“发车间隔”的求解思路，不属于本讲解题思路范畴，是一道纯行程问题，分析一下，列方程就可以求解。车速60，人速20，人用30分钟，车用10分钟，说明第一趟车是10分钟前发出的，那么第二趟车20分钟后发出，第三趟车50分钟后发出，50分钟小时。人30分钟已经走了：0.52010(千米)，设再过t小时到达B镇，则第三趟车到达B镇共用时(t-)小时，列方程：20t+106

40、0(t-)解得：t1.5A、B间路程：20t+10201.5+1040(千米)。【答案】40。56、【例1】小明站着不动乘电动扶梯上楼需要30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【难度级别】【解题思路】扶梯问题，1人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。1次小明不动上扶梯：S可见30V梯1次小明动上扶梯： S可见12(V梯+V人)30V梯12(V梯+V人)，2V人3V梯，V人1.5V梯最后一步： t20(秒)。【答案】20秒。57、【例3】小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿

41、电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【难度级别】【解题思路】扶梯问题，2人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。小志上电梯：S可见28(2+V梯)小刚上电梯： S可见20(3+V梯)28(2+V梯)20(3+V梯)，V梯0.5最后一步：S可见28(2+V梯)282.570，t35(秒)。【答案】35秒。58、【例2】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走到，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯阶数是女孩的2倍，则当扶梯静止时

42、，可看到的扶梯梯级有多少阶？【难度级别】【解题思路】扶梯问题，2人2次反向，S人给出，S梯没有给出，需要其他条件求解，“男孩速度是女孩速度2倍”就是这个其他条件。女孩上扶梯：S可见S女+S梯40+V梯t1男孩下扶梯： S可见S男-S梯80-V梯t2根据“男孩速度是女孩速度2倍”求解t1和t2的关系：40V女t180V男t22V女t2得到：t1t2有了这个结果，前2个方程就可求了：40+V梯t180-V梯t2解得：V梯t120最后一步：S可见40+V梯t140+2060【答案】60。59、【学案1】在地铁中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20

43、级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么他走过30级台阶后到达地面。从站台到地面有_级台阶。【难度级别】【解题思路】与例2思路完全相同。扶梯问题，1人2次同向，S人给出，S梯没有给出，需要其他条件求解，“人的速度和台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯运行的时间。每秒1阶上扶梯：S可见20+V梯t1每秒2阶上扶梯： S可见30+V梯t2根据“人的速度和台阶数”求解t1和t2：201t1， t120302t2， t215将t1、t2代入前2个方程，V梯就可求了：20+20V梯30+15V梯解得：V梯2最后一步：S可见20+V梯t120+22060【答案】60。5A、【例4】百华大楼

44、一二层间有一正以恒定速度向上运行的自动扶梯，某人以固定的速度从一楼向上跑，数得梯子有m级；到二楼后他又反过来以同样的速度向下跑至一楼，数得梯子有n级，那么该自动扶梯实际有多少级？【难度级别】【解题思路】与例2、学案1思路完全相同，只是没有给数字而给的是字母。扶梯问题，1人2次，同向、反向2个方向，S人给出，S梯没有给出，需要其他条件求解，“人的速度不变、2次台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯2次运行时间的比例关系。同向上扶梯：S可见m+V梯t1反向下扶梯： S可见n-V梯t2根据“人的速度不变、2次台阶数”求t1和t2的关系：mV人t1nV人t2最后一步：t1t2 ，代入前2个方程

45、：m+V梯t2n+V梯t2解得：V梯t2S可见n-V梯t2n-最后一步也可不求t1和V梯t2，而将前2个方程变形，直接求得S可见：S可见mV梯t1 ， nS可见V梯t2S可见m ：nS可见V梯t1 ：V梯t2t1 ：t2m ：n得到：S可见【答案】2mn/(m+n)。5B、【作业8】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/小时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车。到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追上的公共汽车数了9辆。如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？【难度级别】【解题思路】发车问题，1人2车，S间相同，V车不知道，需要第3个条件，“迎面11辆、后面追上9

46、辆”就是第3个条件。人与车相遇：S间(V车+4)t1人与车车追：S间(V车-4)t2这2个等式，无法求解，需要根据第3个条件“迎面11辆、后面追上9辆”求出t1和t2的关系：11t19t2t1：t29：11这样，前2个方程就可以求解了：(V车+4)t1(V车-4)t2t1：t2(V车-4)：(V车+4)9：1111(V车-4)9(V车+4)解得：V车40【答案】40千米/小时。5C、【作业答案】(1)54 (2)50 (3)64 (4)40 (5)54 (6)8 (7)4.8 (8)40第六讲 定义新运算（二）定义新运算，对于成人来说比较简单，但是对于孩子来说，个别题目接受起来还是挺有难度，不

47、过可以告诉孩子那种题目不需要去理解，只需要“照葫芦画瓢”就可以，这样孩子就容易明白了。加减乘除和括号，计算顺序不动摇，照葫芦画瓢(套)。繁分化简并不难，主分数线当除号。61、【学案2】对于非零自然数a和b，规定符号 eq oac(,)的含义：a eq oac(,)b=（m是一个确定的整数）。如果1 eq oac(,)4=2 eq oac(,)3，那么3 eq oac(,)4=_。【难度级别】【解题思路】1 eq oac(,)4=，2 eq oac(,)3=，m=6。3 eq oac(,)4=。【答案】。62、【学案3】已知x、y满足x+y=2009，x+y=20.09；其中x表示不大于x的最大

48、整数，x表示x的小数部分，即x=x-x，那么x=_。【难度级别】【解题思路】此题主要是孩子理解x、x，有点逻辑推理的意思。x+y=2009，x+整数=整数，所以x是整数，所以x=0。x+y=20.09，y=20.09，y=20。x=2009-y=2009-20=1989。本题，如果将2009改成2009.02会更好一些，解法也是一样的：x+y=2009.02，x=0.02。x+y=20.09，y=20.09-x=20.09-0.02=20.07，y=20。x=2009.02-y=2009.02-20=1989.02。【答案】1989。63、【学案1】规定：adbc，=a-b+c，求的值。【难度

49、级别】【解题思路】孩子理解三阶行列式很有难度，但是本题也不需要孩子理解，只需要“照葫芦画瓢”即可。=1-2+3=1(59-66)-2(49-63)+3(46-53)=9-36+27=0【答案】0。64、【例3】定义a*b为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14(7+9+11+13)410，18*10(18+16+14+12+10)514。在算式*(19*99)80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【难度级别】【解题思路】此题是本讲最难的题目。方法一，按照数列求和先求19*99，19到99之间有：(99-19)2+141个奇数，19*

50、99(19+21+99)41(19+99)259。*5980，59。设与59之间（包含、59）有n个与奇偶性相同的自然数，则这n个自然数的和为：80n。(1)如果为奇数，59+2(n-1)=2n+5780n59+(2n+57)n280(2n+116)2n22，2n+57101(2)如果为偶数，(59+1)+2(n-1)=2n+5880n60+(2n+58)n280(2n+118)2n21，2n+58100方法二，按照平均数求解，比方法一的计算简单按照“平均数(a1+an)2”来计算平均数，简化了很多。先求19*9919*99(19+99)259。*5980，59。再求(1)如果为奇数，*59(

51、+59)280，101(2)如果为偶数，*59(+60)280，100【答案】101、100。65、【例6】x、y表示两个数，规定新运算“”和“”如下：xyax+by，xyc(x+y)，其中a、b、c为非零自然数。已知2312，(32)156，求：(12)3？【难度级别】【解题思路】求a、b是解一个不定方程，是本题的难点和关键。232a+3b12，因a、b是非零自然数，经尝试a3，b2。也可以利用奇偶性来解，因为12是偶数，2a是偶数，所以3b也是偶数，b只能等于2，因为b4时a0，b2，a3。(32)1(33+22)1131c(13+1)14c56，c4。xy3x+2y，xy4(x+y)。(

52、12)3(31+22)3734(7+3)40。【答案】40。66、【补充1】已知：m eq oac(,)n，求：2012 eq oac(,)2011 eq oac(,) eq oac(,)3 eq oac(,)2 eq oac(,)1 eq oac(,)0。【难度级别】【解题思路】本题的突破口不太容易寻找。仔细观察：分子是m+2，分母是mn+4，分母+4分子+2，想到2倍关系，如果n2，那么，分母2m+42(m+2)，恰好是分子的2倍。当n2时，m eq oac(,)2，说明：当n2时，m无论是何值，m eq oac(,)2都等于，m eq oac(,)2的结果与m的值无关。设x2012 eq

53、 oac(,)2011 eq oac(,) eq oac(,)3，x不需要计算，因为式子后面是 eq oac(,)2，x eq oac(,)2，与x等于多少没有关系，也就是说 eq oac(,)2之前的表达式的值根本不需要计算。原式x eq oac(,)2 eq oac(,)1 eq oac(,)0 eq oac(,)1 eq oac(,)0 eq oac(,)0 eq oac(,)0。【答案】。67、【作业答案】(1)1/21 (2)6 (3)3, 4.4 (4)5/3 (5)4 (6)1938 (7)550第七讲 分数应用题1、先看关键句，再找单位一，寻找不变量，变份来统一。2、有分数就有

54、比例，有比例就有份。3、正向思维列方程。4、 本讲的应用题大致有三种解法：用“份”求解，能用此法解起来就比较简单；用“分数”求解，因为有分数计算比较复杂；用“方程”求解，有些情况下方程解起来比较麻烦。这三种解法，各有特点，根据题目的特征，适当选择解法。 71、【例5】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班人数比新二班人数多，那么原一班有多少人？【难度级别】【解题思路】本题使用“方程”求解比较容易理解。根据“分班前后总人数不变(或者余下30人)”列出一个方程，根据“新一班人数比新二班人数多”列

55、出第二个方程。设原一班有x人、原二班有y人，则总人数：x+y，新一班人数：x+y，新二班人数：x+y，新三班人数：30，总人数又为：(x+y)+(x+y)+30，列出方程：x+y(x+y)+(x+y)+30化简后:x+y72解得:x48(x+y)(x+y)(1+) x2yy24此题，列出来的方程看起来复杂，但是解方程不复杂，另外，使用“方程”求解本题，思路简单。【答案】48。72、【例6】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的, 赵先生的年龄是另外三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？【难度级别】【解题思路】此题虽

56、然用x、y、z三个未知数可以很容易的列出三元一次方程组，但是孩子们不会解，成人是可以求解的。从三句话中，找不出来“不变量”，但是四个人的年龄和是“不变”的。本题，使用“分数”方法求解，比使用“方程”简单的多。王是另三人的：王是四人年龄和的李是另三人的：李是四人年龄和的赵是另三人的：赵是四人年龄和的那么，杨是四人年龄和的1-，杨26岁，所以四人年龄和为：26120。王先生年龄为：12040。【答案】40。73、【例7】今年孙子是爷爷年龄的，若干年以后孙子变成爷爷年龄的，再过若干年，孙子变成爷爷年龄的。则今年爷爷多少岁？【难度级别】【解题思路】此题与例6雷同，也是从三句话中，找不出来“不变量”，但

57、是爷爷与孙子的年龄差是“不变”的，这个“不变量”是解本题的关键。与例6类似，使用“分数”方法求解，不使用“方程”。今年， 孙子是爷爷年龄的：孙子是“年龄差”的若干年， 孙子是爷爷年龄的：孙子是“年龄差”的再若干年，孙子是爷爷年龄的：孙子是“年龄差”的那么，孙子分别是“年龄差”的、和，说明“年龄差”是3、4、5的公倍数，而3,4,560，所以“年龄差”为60。今年，孙子年龄：6012，爷爷年龄：12672，或12+6072。602120，如果年龄差为120岁, 今年，孙子年龄：12024，爷爷年龄：24+120144，一般说来人活不到144岁。【答案】72。74、【例8】林林倒满一杯纯牛奶，第一

58、次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯总量的多少？（用分数表示）。【难度级别】【解题思路】使用“分数”方法求解，只看纯牛奶。第1次：喝了，剩余；第2次：喝了，剩余；第3次：喝了，剩余；第4次：喝了，剩余。四次共喝了：1，或者+。如果是n次，第n次：喝了，剩余；n次共喝了：1。【答案】。75、【学案4】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的，美术班人数相当于另外两个班人数的，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？【难度级别】【解题思路】此题虽然用x、y两个未知数

59、可以很容易的列出二元一次方程组，但是用分数做孩子更容易理解。x(y+58)解得： x=40y(x+58) y=42从两句带分数的话中，找不出来“不变量”，但是三个班的总人数是“不变量”，以下使用“分数”方法求解。音乐班是另两班的：音乐班是三班总人数的美术班是另两班的：美术班是三班总人数的那么，体育班是三班总人数的1-，体育班58岁，所以三班总人数为：58140。音乐班人数：14040，美术班人数：14042。【答案】40，42。76、【作业答案】(1) (2)4 (3)99 (4)150 (5)165 (6)120 (7)10 (8)第八讲 数的整除的综合应用1、10k系及其约数，末位判断。2

60、、10k+1系及其约数，数段差判断（判断能否整除“奇数段偶数段”、“偶数段奇数段”都可以，但是判断余数必须是“奇数段偶数段”）。3、10k1系及其约数，数段和判断。本讲题目难度都比较大，希望家长和孩子认真领会。81、【补充1】已知一个5位数，末位17，数字和17，被17整除，求此数。【难度级别】【解题思路】设这个五位数为： eq xto (abc17) ，则a+b+c+1+7=17。17| eq xto (abc17) ，17| eq xto(abc)。a+b+c=9，9| eq xto(abc)。所以179| eq xto(abc)，即：153| eq xto(abc)。1+5+3=9，满足