高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷1

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 5 5页试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 5 5页高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷2第I卷（选择题）一、单选题1如图，在圆锥中，是上的动点，是的直径，是的两个三等分点，记二面角，的平面角分别为，若，则的最大值是（ ）ABCD2在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）对任意三点A、B、C，都有已知点P(3,1)和直线则到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；定点动点满足则点P的轨迹与直线

2、(为常数)有且仅有2个公共点其中真命题的个数是（ ）A4B3C2D13已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 圆心在直线上； 的取值范围是； 圆半径的最小值为； 存在定点，使得圆恒过点.ABCD4已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）ABCD5已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为ABCD6的最小值为（ ）A5BC6D二、多选题7已知梯形，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（ ）A不论何时，与都不可能垂直B

3、存在某个位置，使得平面C直线与平面所成角存在最大值D四面体的外接球的表面积的最小值为8已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，则（ ）AB直线与双曲线渐近线的交点为，则，四点共圆C该双曲线的共轭双曲线的方程为D过的弦长为5的直线有且只有1条第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9正方体的棱长为，平面，平面，则正方体在平面内的正投影面积为_10已知函数，若集合，则实数的取值范围为_.11已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为_.12已知

4、点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点，给出下列四个结论：的最小值是4；点的轨迹是一个圆；若点，点，则存在点，使得；面积的最大值是其中所有正确结论的序号是_四、解答题13阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分求的取值范围；将点、

5、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程14已知椭圆：，过椭圆左顶点的直线交抛物线于，两点，且，经过点的直线与椭圆交于，两点，且.(1)证明：直线过定点.(2)求四边形的面积最大值及的值.15已知椭圆的离心率，其左，右集点为，过点的直线与椭圆交于两点的周长为.（1）求椭圆的标准方程：（2）过右焦点的直线互相垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值16已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的其中一个焦点在抛物线的准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）一条直线与椭圆C分别交于A，B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，并证明你的结论.答案第

6、 = page 25 25页，共 = sectionpages 25 25页答案第 = page 24 24页，共 = sectionpages 25 25页参考答案1B【分析】设底面圆的半径为,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值.【详解】设底面圆的半径为,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由可得,是的两个三等分点则 所以设平面的法向量为 则,代入可得化简可得令,解得所以平面的法向量为由图可知, 二面角的平面角为锐

7、二面角,所以二面角的平面角满足设二面角的法向量为则代入可得化简可得令,解得所以平面的法向量为 由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足由二面角的范围可知结合余弦函数的图像与性质可知即化简可得,且所以所以的最大值是故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.2A【分析】讨论，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；讨论在坐

8、标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断【详解】解：对任意三点、，若它们共线，设，、，如右图，结合三角形的相似可得，为，或，则，；若，或，对调，可得，；若，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，；则对任意的三点，都有，；故正确；设点是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，综上可得，两点的“切比雪夫距离”的最小值为故正确；由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则正确；定点、，动点满足，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足

9、，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点故正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选:.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题3D【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数的对称轴为，因为对称轴为线段的中垂线，所以圆心在直线上，故正确；因为二次函数与轴有两点不同交点，所以，即，故错误；不妨设

10、在的左边，则， 设圆方程为 ，则 ，解得， ，因为，所以即，故错误；由上得圆方程为，即，恒过点，故正确.故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.4D【分析】由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.【详解】联立方程，化简整理得：因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，所以，即，即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，将变形为，平移直线，由图可知，当直线与双曲线相切时为临界

11、条件.联立，化简整理得：由题知，解得若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；综上可知，的取值范围是故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.5B【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=m|PN| ，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2

12、=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1， P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（1）， 双曲线的离心率为故选B点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.6C【分析】设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.【详解】设，则，则曲线为抛物线的右半部分抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：

13、的距离为，则故选：C【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解.7AD【分析】利用反证法可判断AB选项的正误；分别取、的中点、，连接、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C选项的正误；设四面体的外接球心为，求出四面体外接球半径的最小值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，在梯形中，且，则，因为，由余弦定理可得，若，且，平面，平面，事实上，矛盾，故不论何时，与都不可能垂直，A选项正确；对于B选项，若平面，平面，则，所以，而，即，则、无法构成三角形，不合乎题意，B选项

14、错误；对于C选项，分别取、的中点、，连接、，则，则，为的中点，则，故平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，设三棱锥的球心为，由可得，解得，设三棱锥的外接球半径为，则，当且仅当时，等号成立，因此，四面体的外接球的表面积的最小值为，D选项正确.对于C选项，设，易知平面的一个法向量为，而，即当时，无最大值，进而可知直线与平面所成角无最大值，C选项错误.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球

15、，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.8AB【分析】对于A中，求得切线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定A正确对于B中，联立方程组，分别求得坐标，结合斜率公式，可判定B正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C错误；结合实轴长和通经，可判定D错误.【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，对于A中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即， 则，所以A正确对于B中，联立方程组，可得，又由，可得，则，四点

16、共圆，B正确.对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C错误对于D中，由双曲线，可得，则，可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D错误.故选：AB.【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.9【分析】由题设知：面面，且正方体在平面内的正投影面积为菱形面积与、在平面上的投影面积之和，构建空间直角坐标系，应用向量法求、与面的夹角余弦值，进而求它们在面上的投影面积，即可求正方体在平面内的正投影面积.【详解】平面，平面，知：面面.正方体在平面内的正投影面积为如上图所示的菱形面积与、在平面上的投影面积之和，又正方体的棱长为，则，可构造如下图示

17、，空间直角坐标系：，则有，若面的一个法向量为，则，可得，而面面，它们的一个法向量为，即面与面、面夹角余弦值为.同理，面面，它们的一个法向量为，即面与面、面夹角余弦值为.、的面积均为，正方体在平面内的正投影的面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质，结合正投影的定义可知正方体在平面内的正投影面积为如上图所示的菱形面积与、在平面上的投影面积之和，应用向量法求各面与面的夹角，进而求投影面积.10【分析】设，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得，利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.【详解】，设， 则，如图，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，又，故的最大值为.因为集合，故，故.故

18、答案为：.【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.11【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，所以，因为，所以，因为，所以，因为，联立可

19、得，因为为圆的直径，所以,即，所以离心率【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题12【分析】可以通过设出圆的参数方程，进行求解；设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时面积最大，求出最大值.【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，正确；设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，正确；为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，

20、下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，错误；当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时为等腰直角三角形，面积最大，此时，正确.故答案为：【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.13（1）；（2）；【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；由阿波罗尼斯圆定义知，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关

21、系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程.【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，且，解得，椭圆的方程为方法（2）设，由题意（常数），整理得：，故，又，解得：，椭圆的方程为方法（3）设，则由题意为常数，又，解得：，故椭圆的方程为（2）由，又，（或由角平分线定理得）令，则，设，则有，又直线的斜率，则，代入得：，即，由知，由阿波罗尼斯圆定义知，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有，即，解得：又，故，又，解得：，直线的方程为【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据

22、几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.14(1)证明见解析；(2)四边形的面积最大值为4，.【分析】(1)设，直线：，将与抛物线方程联立，利用韦达定理结合已知求出m与的关系，再由，求出直线的方程，即可证得；(2)由条件可得，进而得四边形的面积，联立直线与椭圆的方程，求出与m的函数关系，借助基本不等式即可得解.【详解】(1)由知点A的坐标为，且直线过点A与抛物线交于，两点，显然直线的斜率存在且不为0，设直线：，由得，则，即，由知点为线段的靠近A的三等分点，即，则，此时，即点，又，则，因此直线的方程为：，即，显然当时，恒有，即直线经过定点：，所以直线经过定点；(2)由知，点B到直线的

23、距离是点A到直线距离的2 倍，则，即四边形的面积，由(1)知，直线：，即，且，则点到直线的距离为：，设，由消去x得：，则，得，于是得，当且仅当，即时取“=”，的面积取得最大值，而四边形的面积，于是得四边形的最大面积为4，此时，所以四边形的面积最大值是4，此时.【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离；直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.15（1）；（2）最小值为.【分析】（1）利用椭圆离心率，的周长为，求出，即可得到椭圆的方程.（2）分类讨论直线的斜率存在与否，当其中一条直线斜率为0.一条直线斜率不存在，可利用椭圆性质求出；当两条直线斜率均存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式求出，再利用二次函数的值域求法与不等式的性质求得结果.【详解】（1）由椭圆的定义知，的周长为，由，即，得，故椭圆的方程为：（2）由（1）得，椭圆右焦点为，设，当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时， 直线，此时；直