新高二2022年暑假讲义第11讲 双曲线（原卷版）

1、第11讲 双曲线新课标要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系c2a2b23.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，

2、b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)范围xa或xaya或ya顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点离心率eeq f(c,a)(1，)渐近线yeq f(b,a)x，yeq f(b,a)xyeq f(a,b)x，yeq f(a,b)x4.直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2nxq0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数

3、判定方法相交2个或1个m0或eq blcrc (avs4alco1(m0,0)相切1个m0且0相离0个m0且0名师导学知识点1 双曲线定义的应用【例1-1】(1)动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若方程eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示双曲线，则k的取值范围是()A(5，) B(，3)C(3,5) D(，3)(5，)【变式训练1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足eq r(x12y12)eq r(x32y32)4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C两条射线 D一条射

4、线(2)若动点P到F1(5,0)与F2(5,0)的距离的差为8，则P点的轨迹方程是()A.eq f(x2,25)eq f(y2,16)1 Beq f(x2,25)eq f(y2,16)1C.eq f(x2,16)eq f(y2,9)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,9)1知识点2 求双曲线的标准方程【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，a3，c5；(2)与椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,5)1有共同焦点，且过点(3eq r(2)，eq r(2)的双曲线的标准方程；(3)经过两点(3，4eq r(2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(9

5、,4)，5).【变式训练2-1】已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,9)1(a0)与双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有相同的焦点，则a的值为()A.eq r(2)Beq r(10)C4 Deq r(34)知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用【例3-1】如图所示，若F1，F2是双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,16)1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1

6、)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6eq r(3)，试判断MF1F2的形状知识点4 双曲线的简单几何性质【例4-1】求双曲线4y29x24的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图【变式训练4-1】(北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2eq f(y2,b2)1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为eq f(12,5)；(2)焦距为10，实轴长是虚轴长

7、的2倍；(3)与双曲线eq f(y2,3)x21共渐近线，焦点坐标为(2,0)【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq f(5,3)；(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分知识点6 双曲线的离心率问题【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.eq r(2)Beq r(15)C4 Deq r(17)(2)双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b

8、0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_【变式训练6-1】(1)(北京卷)已知双曲线eq f(x2,a2)y21(a0)的离心率是eq r(5)，则a()A.eq r(6) B4 C2 Deq f(1,2)(2)(全国卷)双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则双曲线C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C.eq f(1,sin 50) Deq f(1,cos 50)知识点7 直线与双曲线的位置关系【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x2eq f(y2

9、,4)1只有一个公共点，求直线l的斜率k的值【变式训练7-1】(龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A2，) B(1，eq r(3)C(1，eq r(5) D(eq r(5)，)知识点8 弦长问题【例8-1】(福州检测)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(5)，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【变

10、式训练8-1】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为eq r(2)，求实数k的值知识点9 中点弦问题【例9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，且eq f(a2,c)eq f(r(2),3).(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2y25上，求m的值【变式训练9-1】双曲线C：x2y22右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中

11、点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值若不存在，则说明理由名师导练3.2.1 双曲线及其标准方程A组-应知应会1双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,m)1的焦距为10，则实数m的值为()A4 B16C16 D812双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)，0) Deq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，0)3若M在双

12、曲线eq f(x2,16)eq f(y2,4)1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF1|的值为()A4 B8 C12 D244已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，P点在双曲线C上，F1PF260，则P到x轴的距离为()A.eq f(r(3),2) Beq f(r(6),2) C.eq r(3) Deq r(6)5已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax2eq f(y2,8)1(x1) Bx2eq f(y2,8)1(x0) Dx2eq f(y2,1

13、0)1(x1)6已知点F1(eq r(2)，0)，F2(eq r(2)，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标为eq f(1,2)时，点P到坐标原点的距离是()A.eq f(r(6),2) Beq f(3,2) C.eq r(3) D27已知P是双曲线eq f(x2,64)eq f(y2,36)1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的值为_8中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x4y240与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_9已知定点A，B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_10(马鞍山测试)已知ABC的两个顶点A

14、，B分别为椭圆x25y25的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin Bsin Aeq f(1,2)sin C.(1)求|AB|；(2)求顶点C的轨迹方程11求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2eq r(5)，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆eq f(x2,27)eq f(y2,36)1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.12已知椭圆eq f(y2,25)eq f(x2,9)1与双曲线eq f(y2,15)x21有公共点P，求P与双曲线的两个焦点的连线构成的三角形的面积B组-素养提升(广州模拟)若椭圆eq f(x2,m)eq f(y2,n)1与双曲线eq f(

15、x2,p)eq f(y2,q)1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p23.2.2 双曲线的简单几何性质A组-应知应会1(大庆市模拟)已知双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，则该双曲线的渐近线方程为()A9x4y0 B4x9y0C3x2y0 D2x3y02双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，则其渐近线方程为()Ayeq r(2)x Byeq r(3)xCyeq f(r(2),2)x Dyeq f(r(3),2)x3(淮北市第一中

16、学月考)F1，F2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.eq r(2) Beq r(3)C.eqC. r(5) Deq r(7)4已知双曲线eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.eq f(y2,9)eq f(x2,16)1 Beq f(y2,4)eq f(x2,3)1C.eq f(y2,16)eq f(x

17、2,9)1 Deq f(y2,3)eq f(x2,4)15点P在双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D56设F1，F2分别是双曲线M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足eq o(F2A,sup6()eq o(F2B,sup6()0，则双曲线的离心率e的取值范围是()A1eeq r(2)1C1eeq r(2)7若双曲线eq f(x2,a2

18、)eq f(y2,4)1(a0)的离心率为eq f(r(5),2)，则a_.8已知双曲线C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)与双曲线C2：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(eq r(5)，0)，则a_，b_.9设双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)经过点(4,1)，且与y2eq f(x2,4)1具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_10求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条渐近线方程为xeq r(3)y0，且与椭圆x24y264共焦点；(2)与双曲线eq f(x2

19、,9)eq f(y2,16)1有共同渐近线，且经过点(3，2eq r(3)11(1)已知双曲线的渐近线方程为yeq f(3,4)x，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为eq r(2)，求双曲线的两渐近线的夹角12设双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq f(r(3),4)c，求双曲线的离心率B组-素养提升(全国卷)设F为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则双曲线C的离心

20、率为()A.eq r(2) Beq r(3) C2 Deq r(5)3.2.3 直线与双曲线的位置关系A组-应知应会1(哈尔滨三中二模)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线经过圆E：x2y22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为()A.eq r(5) Beq f(r(5),2)C2 Deq r(2)2过双曲线x2eq f(y2,2)1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条3(龙岩一中月考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为

21、双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx Byeq r(2)xCyeq r(3)x Dy2x4若圆(xeq r(3)2(y1)23与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为()A.eq f(2r(3),3) Beq f(r(7),2)C2 Deq r(7)5若斜率存在且过点Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(b,a)的直线l与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4 C1或2D2或46已知直线yeq f(1,2)x与双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,4)1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A.eq f(4,9) Beq f(1,2)C.eq f(2,3) D