2003 D题 抢渡长江

1、抢渡长江摘要本文主要解决的是合运动的有关运动时间、位移的相关问题，为解决问题，本文运用了正交分解的研究方法，将复杂的运动过程分解为两个方向的简单运动，要想成功渡江到达终点，就必须控制好运动时间与空间的一致关系。针对问题一：本文构造了速度的矢量三角形，只要将的速度代入矢量三角形中，综合运用正、余弦定理，就可以求出答案。针对问题二：第 eq oac(,1)小问：游泳者始终以和岸边垂直的方向游，假设他(她)能到达终点那么他(她)的渡江时间那么由长江水速及武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离决定，据此可以计算其渡江速度；第 eq oac(,2)小问中，为分析两次抢渡长江挑战赛到达终点人数百分比的差异，

2、本文分别求出两次挑战赛成功到达终点速度最小值及方向和以人类极限速度渡江对应的角度进行相关的比拟。针对问题三：因为游泳者的速度大小不变，而水速是分段的，要想渡江成功到达终点，本文在每个阶段将合速度进行正交分解 ，分别研究与江岸平行和垂直的分运动，根据距离关系列出表达式，通过控制时间最短，借助LINGO软件的使用求出最优解。针对问题四：分析与问题三相似，只是问题四的流速沿离岸边距离为连续分布，如果我们仍按照问题三的方法来求解，垂直于江岸的运动情况不受影响，但水速连续变换，为求解与江岸平行方向上的运本文采用了定积分的方法来计算第一和第三阶段的水平位移，进而列出水平总位移的表达式，通过控制时间最短，借

3、助LINGO软件的使用求出最优解。关键词：正弦定理 余弦定理 正交分解 非线性规划 LINGO 定积分问题的重述“渡江是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人到达终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和欣赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码

4、头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温, 江水的平均流速为米/秒。参赛的国内外选手共186人其中专业人员将近一半，仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大局部选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。1160m1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门请你们通过数学建模来分析上述情况, 并答复以下问题: 1. eq oac(,1) 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，

5、且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。 eq oac(,2)如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。 eq oac(,1)在1的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？ eq oac(,2)根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异； eq oac(,3)给出能够成功到达终点的选手的条件。假设流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小米/

6、秒仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 假设流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为适宜的连续分布，如何处理这个问题。用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。你们的模型还可能有什么其他的应用？ 问题的假设1、相同宽度各处水流速度相同，江两岸看做平行线。2、2002年的第一名是沿最正确路线前进的。3、运发动只比速度，不限定具体的姿势，每个运发动有足够的体能到达终点。 4、运发动在某一固定区间段方向不变。 5、1934年路线全程5000米视为比赛的起点到终点的距离。 6、在19432002年间，人的游泳极限速度没有太大变化，即可用2002年

7、的人游泳极限速度来近似等于1934年的速度。7、在1943年与2002年，长江水速没有太大变化，即可用2002年的水速来近似等于1934年的水速。符号说明V1人的游泳速度V2合速度V3水速三角形的角T渡江时间在前200m挑战者的游泳方向在中间760m挑战者的游泳方向在后200m挑战者的游泳方向分析与建模一、问题一的分析与建模： = 1 * GB4 、问题一第 eq oac(,1)小问：因为在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速相同为 1.89 米/秒，且已假定2002年的第一名是以最正确路线前进的，又第一名的渡江时间为14分8秒884s,那么可以构建人速、水速、合速度的矢

8、量三角形，运用正弦定理进行求解。为此，模型如图一所示：1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图一第 eq oac(,1)小问的模型求解： 即第一名的渡江速度为，方向：与水流方向成。 = 2 * GB4 、问题一第 eq oac(,2)小问：在速度矢量三角形中，运用正弦定理进行求解，模型如图二所示：1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图二第 eq oac(,2)小问的模型求解： 即游泳者的渡江方向为：与水流方向成，渡江时间为15分11秒。二、问题二的分析与建模： = 1 * GB4 、问题二第 eq oac(,1)小问：游泳者始终以和

9、岸边垂直的方向游，假设他(她)能到达终点那么他(她)的渡江时间那么由长江水速及武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离决定，据此可以计算其渡江速度。模型如图三所示：1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图一第 eq oac(,1)小问的模型求解： 即当此人以/s的速度沿与岸边垂直的方向能游到终点，需要的时间是529.1s，根据2002年游泳年终排名可知世界顶级游泳运发动1500m最好成绩男女平均速度为/s,所以在抢渡长江的比赛中速度能到达/s 不现实，因此此人以和岸边垂直的方向游不能到达终点。(2003年游泳年终排名见附录1) = 2 * GB4 、问题二第 eq o

10、ac(,2)小问：为分析两次抢渡长江挑战赛到达终点人数百分比的差异，本文分别求出两次挑战赛成功到达终点速度最小值及方向和以人类极限速度渡江对应的角度进行相关的比拟。为此，分别建立1934、2002年渡江挑战赛模型，如图四、图五所示：11934年渡江挑战赛模型：m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图四5000m eq oac(,1)据图可知，当挑战者的速度方向与合速度方向垂直时，所求人的渡江速度最小，模型计算如下：方向角，即1934年挑战者渡江速度最小值为，对应的方向：与水流的正方向夹角为。 eq oac(,2)考虑到人游泳的极限速度，可以求出渡江方向角的最小值，计算如下

11、：，即方向角，即1934年挑战者渡江方向角最小值为。 eq oac(,3)经分析与计算可知：1934年挑战者要想成功渡过长江到达终点，只要将速度保持在/s/s之间，游泳的方向保持在与水流的正方向夹角为度之间就可以，这比拟容易实现。22002年渡江挑战赛模型：1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图五 eq oac(,1)对于2002年，最小速度求法与1934相似，当挑战者的速度方向与合速度方向垂直时，所求人的渡江速度最小，模型计算如下：方向角，即2002年挑战者渡江速度最小值为，对应的方向：与水流的正方向夹角为。 eq oac(,2)考虑到人游泳的极限速度，可以求

12、出渡江方向角的最小值，计算如下：，即方向角，即2002年挑战者渡江方向角最小值为。 eq oac(,3)经分析与计算可知：2002年的挑战者要想成功渡过长江到达终点，需要将速度控制在/s/s之间，游泳的方向保持在与水流正方向夹角为之间，而这对一般挑战者来说并不容易做到。问题二第 eq oac(,2)小问综合以上分析，1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异，原因有以下几点：11934年与2002相比，其起点正对面与终点的水平距离大得多，如果在游泳方向相同的情况下就为渡江赢得了更多的时间，这样，1934年的挑战者就可以以相对很小的速度成功渡江到达终点，所以成功的比例比200

13、3年大得多。2 1934年挑战者有可能渡江到达终点的游泳方向比2002年大了，这样使得1934年比2002年由于游泳方向不对而一开始就输掉挑战赛的比例大大降低，所以成功的比例比2002年大得多。3比赛时间的差异，1934年是9月，2002年是5月，两者天气条件，水情，水性状况不同。 = 3 * GB4 、问题二第 eq oac(,3)小问：成功到达终点的选手的条件：1934年挑战者要想成功渡过长江到达终点，只要将速度保持在/s/s之间，游泳的方向保持在与水流的正方向夹角为度之间就可以。2002年的挑战者要想成功渡过长江到达终点，需要将速度控制在/s/s之间，游泳的方向保持在与水流正方向夹角为之

14、间就可以成功到达终点。三、问题三的分析与建模： = 1 * GB4 、问题分析：因为游泳者的速度大小不变，要想渡江成功到达终点，就必须控制游泳者的方向，才有可能成功，建立模型如图六所示：1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图六200m760m200m = 2 * GB4 、问题三的模型求解分为三个阶段，如图，前200m为第一阶段，中间760m为第二阶段，后200m为第三阶段，为分清每一阶段的渡江过程，可以把游泳速度正交分解成与江岸平行速度和与江岸垂直的有效渡江速度，这样就可以按与江岸平行、垂直两个方向进行研究。具体求解如下： = 3 * GB4 、当游泳者三个阶

15、段的游泳方向满足上式，该游泳者就可以渡江成功到达终点。为了使渡江时间最短，我们把渡江时间作为目标函数，引入非线性规划,用LINGO求渡江时间最短的渡江方案。 求解对应程序结果见目录(2) .约束条件： ， = 4 * GB4 、LINGO计算结果：渡江成功到达终点的最短时间为904s15分4秒，对应的泳向为 .四、问题四的分析与建模： = 1 * GB4 、问题分析：分析与问题三相似，只是问题四的流速沿离岸边距离为连续分布，如果我们仍按照问题三的方法来求解，垂直于江岸的运动情况不受影响，但水速连续变换，为求解与江岸平行方向上的运动，引入了用定积分的方法，建立模型如图七所示：1000m长江水流方

16、向终点: 汉阳南岸咀1160m起点: 武昌汉阳门图七200m760m200m = 2 * GB4 、问题四的模型求解也可分为三个阶段，如图，前200m为第一阶段，中间760m为第二阶段，后200m为第三阶段，可根据问题三的求解方法结合定积分知识进行求解，具体计算如下：因为，而，所以考虑运发动仅在水速影响下的水平位移为，而仅考虑影响下的水平位移为，所以第一阶段的总水平位移 第三阶段的运动完全可以看成第一阶段的逆运动，计算过程与第一阶段相同，为了防止重复，结果直接给出： = 3 * GB4 、当游泳者三个阶段的游泳方向满足上式，该游泳者就可以渡江成功到达终点。为了使渡江时间最短，我们把渡江时间作为

17、目标函数，引入非线性规划,用LINGO求渡江时间最短的渡江方案。 求解对应程序结果见目录(3) .约束条件： = 4 * GB4 、LINGO计算结果：渡江成功到达终点的最短时间为s14分52秒，对应的泳向为 五、竞渡策略短文：略六、模型应用的推广： 此题的模型针运用了运动的合成与分解的方法，将物体的复杂运动进行分解简单的单方向的运动，简化了问题的求解过程，能有效解决复杂运动问题。该模型的应用于研究运动问题的一般情况，比方对目标运动轨迹的计算与模拟，目标的追踪与拦截等运动问题有广泛的应用。参考文献1 赵静 但琦,?数学建模与数学实验?,北京:高等教育出版社,2021年2 姜启源 谢金星 叶俊，

18、?数学模型?，北京：高等教育出版社，2021年3 张志勇 杨祖樱，?MATLAB教程?，北京：北京航空航天大学出版社，2021年4 王晓遐 ,2012/8/22附录12002年游泳年终排名2002年游泳年终排名央视国际 2003年04月03日 15:03 男子1500米自由泳 哈克特澳大利亚 144165 温德特美国 15224 普里鲁科夫俄罗斯 15388 女子 1500米自由泳 穆恩兹美国 160786 陈桦中国 161451 山田沙织子日本 161628 第六贺倩中国 162563 2问题三的LINGO程序及结果程序：model:min=(80/3)*(5/(sin(x1)+19/(sin(x2)+5/(sin(x3);(1.47+1.5*(cos(x1)*(5/(sin(x1)+(2.11+1.5*(cos(x2)*(19/(sin(x2)+(1.47+1.5*(cos(x3)*(5/(sin(x3