2021-2022学年重庆九龙坡区高考数学三模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点

2、）；曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；曲线C围成区域的面积大于；方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )ABCD2已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）A(-2,-1B(-1,4C-2,4)D0,43已知函数f(x),若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A B C D 4过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）ABCD5已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为ABCD6已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭

3、圆的方程为（ ）ABCD7已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）ABCD8已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）ABCD9已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ）A0B1C673D67410函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A函数的最小正周期是B函数的图象关于点成中心对称C函数在单调递增D函数的图象向右平移后关于原点成中心对称11两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）AB9CD112若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，令，

4、若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_14现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_15正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_16在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在极坐标系中，已知曲线，（1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离18（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的

5、形状；(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.19（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和

6、“不合格”的学生中抽取10人进行座谈现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望20（12分）设函数（1）当时，解不等式；（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围21（12分）已知数列满足,，数列满足.（）求证数列是等比数列；（）求数列的前项和.22（10分）已知抛物线与直线.（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】利用基本不等式得

7、，可判断；和联立解得可判断；由图可判断.【详解】，解得（当且仅当时取等号），则正确；将和联立，解得，即圆与曲线C相切于点，则和都错误；由，得正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.2B【解析】作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，过与直线平行的直线斜率为1，故选：B【点睛】本题考查简单的非线性规划解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论3D【解析】由已知可将

8、问题转化为：yf(x)的图象和直线ykx有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线ykx的下方，即可求得：k；再求得直线ykx和yln x相切时，k；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则yf(x)的图象和直线ykx有4个交点作出函数yf(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线ykx的下方k10，解得k.当直线ykx和yln x相切时，设切点横坐标为m，则k，m.此时，k，f(x)的图象和直线ykx有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，

9、属于难题4B【解析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，可得，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5D【解析】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D6B【解析】由题意可得c=，设右焦点为F，由|OP|=|OF|=|OF|知，PF

10、F=FPO，OFP=OPF，所以PFF+OFP=FPO+OPF，由PFF+OFP+FPO+OPF=180知，FPO+OPF=90，即PFPF在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|=，由椭圆定义，得|PF|+|PF|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是 b2=a2c2=36=16，所以椭圆的方程为故选B点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在7A【解析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可

11、.【详解】当时，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.8D【解析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9B【解析】由题知为奇函数，且

12、可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数，故；因为，故，可知函数的周期为3；在中，令，故，故函数在一个周期内的函数值和为0，故.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解10B【解析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期， 不妨令，由周期，所以，又，所以，所以，

13、令，解得，当时，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称故选B【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题11A【解析】由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】因为两圆和相外切所以，即当时，取最大值故选：A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.12B【解析】由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，

14、则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。134【解析】根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.【详解】由题意，函数，且，可得，又由，可得为常数列，且，数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，其中数列满足，所以，所以，又由，可得数列的前n项和为，数列的前n项和为，所以数列的前项和为，满足，所以，即，又由表示不超过实数的最大整数，所以.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通

15、项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14【解析】由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积，则，由得或（舍去），令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.故答案为：【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.152【解析】先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.【详解】解：设公比为，且，时，上式有最小值，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.16【解析

16、】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）表示一条直线，是圆心为，半径为的圆；（2）.【解析】（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线的形状，在曲线的方程两边同时乘以得，由可将曲线的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线的形状；（2）由直线过圆的圆心，可得出为圆的一条直径，进而可得出.【详解】（1），则曲线的普通方程为，曲线表示一条直线；由，得，则曲线的直角坐标方程为，即所

17、以，曲线是圆心为，半径为的圆；（2）由（1）知，点在直线上，直线过圆的圆心因此，是圆的直径，【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.18 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.【解析】试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.试题解析：（1）由可得，即， 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线. （2）将代入，得， ， ，

18、 ，直线的参数方程为 (为参数).将直线的参数方程代入得，由直线参数方程的几何意义可知，. 19（1）64，65；（2）；（3）.【解析】（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得，5，10，15，1，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望【详解】由题意知，样本容量为，（1）平均数为，设中位数为，因为，所以，则，解得（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，则，所以（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1，所以的分布列为0510151【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题20（1）