20116.4同余关系

1、6.4同余关系同余的定义运算上的同余关系：设A=是一个代数系统，是载体S上的等价关系，任取a,b,cS。(1)当abab,则等价关系在一元运算下是可保持的，称是关于运算同余关系。(2)当ab和cda*cb*d，则等价关系在二元运算*下是可保持的，称是关于运算*同余关系。2022/7/1116.4同余关系ababcdcda=ac=caba*cb*dcda*c=a*c2022/7/1126.4同余关系【例题1】 设+是整数集合I上的普通加法运算，是I上的模k (kI+)相等关系，问在运算+上是否是I上的同余关系？分析：任意a,b和c,d有： ab(mod k) 其实就是a-b=n*k cd(mod

2、 k) 其实就是c-d=m*k那么(a+c)-(b+d)=(m+n)*k，即(a+c) (b+d)(mod k)2022/7/1136.4同余关系【例题2】 设是集合I上的一元运算，任取aI, a=a2,是I上的模k (kI)相等关系，问在运算是否是I上的同余关系？ 是否是代数系统A上A的同余关系？分析：ab(mod k) 就相当于(a-b)=n*k a -b=(a+b)(a-b)=(a+b)*n*k，即a b整数m2022/7/1146.4同余关系代数系统上的同余关系： 设A=是一个代数系统，是载体S上的等价关系，若在A上的所有运算下都是可保持的，则称为代数系统A上的同余关系。2022/7/

3、1156.4同余关系定理 设g是从代数系统A=到A=的一个同态映射，如果在A上定义二元关系R为:R 当且仅当g(a)=g(b) 那么， R是A上的一个同余关系。证明：(i)若ab,则g(a)=g(b), g(a) = g(b)。2022/7/1166.4同余关系又g是从A到A的同态映射，所以有 g(a)=g(a)= g(b)=g(b)故a b，这说明在运算下是可保持的。(ii)若ab且cd,且有g(a)=g(b),g(c)=g(d),所以g(a)*g(c)=g(b)*g(d),又因g是从A到A的同态映射，所以有g(a)*g(c)=g(a*c)=g(b)*g(d)=g(b*d)故a*cb*d,这

4、说明等价关系在运算*下是可保持的。由(i)(ii)可得，是代数系统A上的同余关系。2022/7/1176.4同余关系运算上的同余关系：等价关系在运算下的可保持性是指参与运算的对应元素，如果在同一个等价类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。代数系统上的同余关系：等价关系R如果在一个代数系统中的所有运算下都是可保持的，则R是A上的同余关系。同余关系使得元素所在的等价类在运算上可以作为一个整体来看待。2022/7/1186.5商代数商代数定义: 设A=是一个代数系统，是A上的同余关系，A关于的商代数A/=。其中 a=a a*b=a*b注意：S/是集合的集合，即等价类的集合， 形如：a, b, *, 是集合之间的运算 k是代数常元的集合 2022/7/1196.5商代数【例题】 代数系统A=，其中S=a1,a2,a3,a4,a5,一元运算和由下表所示的运算表定义。又S上的等价关系R产生的S上的划分 = a1,a3,a2,a5,a4 (a)证明：R是A上的同余关系。 (b)给出A/R。2022/7/11106.5小结商代数：由等价关系R可以得到代数系统