人教B版选修(2-1)《平面的法向量与平面的向量表示》练习题

1、平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1下列命题中正确的是()A如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影答案 D解析 由三垂线定理知D 成立2在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，平面 ACB1 的一个法向量为 ()A.BD1B.DBC.BA1D.BB1答案 A3点 A(a,0,0)， B(0 ，b,0)， C(0,0， c)，则平面ABC 的一个法向量为()A (

2、bc， ac， ab)B (ac，ab， bc)C( bc， ab， ac)D (ab， ac， bc)答案A解析 设法向量为n (x， y， z)，则 ABn 0， ACn 0，则ax by 0n (bc， ac， ab)ax cz 0故选 A.4在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线CE垂直于()AACB BDCA1DD A1A答案 B解析 直线 CE 在平面 AC 内的射影为 AC，又 AC BD， BD CE，故选 B.5正方体 AC1 中， E，F 分别是 AB，CD 的中点，则下列直线中不互相垂直的是()AB1C与 C1D1B D1B 与 B

3、1CCD 1B 与 EFD A1 B 与 B1C1答案 C解析 D1B 与 EF 所成角等于 D 1BC，其余弦值为3，故选 C.36若平面 、 的法向量分别为u ( 2,3， 5)， v (3， 1,4)，则 ()A B C、相交但不垂直D以上均不正确答案 C解析 u ( 2,3， 5)， v (3， 1,4)，u 与 v 不平行且 u 与 v 不垂直，故选 C.7平面 的一个法向量为 v 1 (1,2,1) ，平面 的一个法向量v2 (2,4,2) ，则平面 与平面 ()A 平行B垂直C相交D不能确定答案 A解析 由 v1v 2 故可判定 .8设平面 的法向量为 (1,2， 2)，平面 的

4、法向量 ( 2， 4，k)，若 ，则 k ()A 2B 4C4D 2答案 C122解析 ， 2 4 k， k 4，故选 C.9若直线 l 的方向向量为a ( 1,0， 2)，平面 的法向量为 u(4,0,8) ，则 ()A l B l Cl ? D l 与 斜交答案 B解析 u 4a， u a， a ， l .故选 B.10在正方体ABCD A1B1C1D1 中， E、 F 分别是 BB1、 CD 的中点，则 ()A 面 AED 面 A1FD 1B面 AED 面 A1FD 1C面 AED 与面 A1FD 相交但不垂直D以上都不对答案B解析 1分别为 x， y， z 建立空间直角坐标系求面AED

5、 的以 D 为原点， DA、 DC， DD法向量 n1 与面 A1FD 1 的法向量n2.n1n2 0， n1 n2， 平面 AED 平面 A1FD 1.二、填空题11若直线 l 与 的法向量分别是a (1,0， 2)， b( 1， 0,2)，则直线 l 与 的位置关系是 _答案 l 解析 ab， l .12已知 l ，且 l 的方向向量为 (2，m,1)，平面 的法向量为1，1， 2，则 m _.2答案 81解析 设 a (2， m,1)， b (1， 2，2) l ， ab， 21m 2 0， m 8.213已知正四棱锥 (如图所示 )，在向量 PAPBPC PD ，PA 的PC ，PB

6、PD， PA PB PC PD中，不能作为底面 ABCD法向量的向量是 _答案 PA PB PC PD解析 PA PB PC PDBA DC 0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与PO共线而 PO 平面 ABCD ，它们可作为这个平面的法向量14如图所示，已知矩形ABCD ， AB1， BC a， PA平面 ABCD ，若在 BC 上只有一个点Q 满足 PQ QD ，则 a 的值等于 _答案 2解析 以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则 A(0,0,0) ，B(1,0,0) ，D(0，a,0)，C(1，a,0) ，设 Q(1，x,0)，P(0,0，z) ，PQ (1， x，z

7、)，QD( 1， a x,0)由 PQQD 0，得 1 x(ax) 0，即 x2 ax 1 0.2当 a 40，即 a 2 时， Q 只有一个15已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A(0,0,2) ，B(4,2,0) ，C(2,4,0) ，求平面 ABC 的单位法向量， 2)解析 AB (4,2，2)， AC (2,4设 n(x，y， z)是平面 ABC 的单位法向量，则有|n|21，222x y z 1，? 2x y z 0，nAB0，x 2y z 0.nAC 0，取 z0 ，得 x y 1 ， z 3 .1111n 1 (1,1,3) 1116如图所示， M、N、P 分别是正方体 ABCD

8、 A1B1C1 D1 中的棱CC1、 BC、CD 的中点求证： A1P平面 DMN .证明 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 D(0,0,0) ， A1(2,0,2) ，P(0,1,0) ， M(0,2,1) ， N(1,2,0) 向量 A1P (0,1,0) (2,0,2) ( 2,1， 2)，DM (0,2,1) (0,0,0) (0,2,1) ， DN (1,2,0) A1PDM ( 2,1， 2) (0,2,1) ( 2) 01 2 ( 2) 1 0. 2) (1,2,0)A1PDN ( 2,1，( 2) 11 2 ( 2) 0 0. A1P DM， A1P DN，即

9、 A1P DM ，A1PDN，又 DM DN D，A1P 平面 DMN .17棱长为 a 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，在棱 DD 1 上是否存在点 P 使 B1D 面 PAC?解析 以 D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 P(0,0，z)，AP( a,0， z)，AC ( a，a,0)， DB 1(a，a，a)， B1D 面 PAC， DB1AP 0，DB1AC 0. a2 az0.z a，即点 P 与 D 1 重合点 P 与 D1 重合时， DB1 面 PAC.18如图所示， ABCD 为矩形， PA平面 ABCD ，PAAD， M、N、Q 分别是 PC 、AB、CD 的中点，(1)求证： MN PAD；(2)求证：平面QMN 平面 PAD；(3)求证： MN 平面 PCD.解析 (1)如图以 A 为原点，以AB，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设 B(b,0,0)， D (0， d,0)， P(0,0， d)，则 C(b，d,0) M， N， Q 分别是 PC，AB ，CD 的中点，M b，d， d ， N b， 0， 0 ， Q b， d， 022222dd， MN 0，22 面 PAD 的一个法向量为m(1,0,0) MNm 0，即 MN m， MN 不在面 PAD 内，MN 面 PAD，(2)