高考数学回归课本100个问题（一）

1、高考数学回归课本 100 个问题（一）1区分集合中元素的形式：如：x | y = lg x函数的定义域；y | y = lg x函数的值域；(x, y) | y = lg x函数图象上的点集。2在应用条件 AB AB 时，易忽略是空集的情况3，含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集个数为 2n1;如满足1, 2 M 1, 2,3, 4,5集合 M 有_个。 （答：7）4、CU(AB)=CUACUB; CU(AB)=CUACUB;card(AB)=?5、AB=A AB=B A B CUB CUA ACUB= CUAB=U6、注意命题 p q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p q 的否

2、定是 p q ；否命题是p q ；命题“p 或 q”的否定是“P 且Q”，“p 且 q”的否定是“P 或Q”7、指数式、对数式：m ma a ， 1n a a ， loga a 1，lg 2 lg 5 1， loge x ln x ，n m ， a0 1， log 1 0nmana N log N b(a 0,a 1,N 0) ，baa N 。loga N8、二次函数三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a0,顶点?);顶点 f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0 偶函数;1 2区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与

3、区间的相对位置关系; 如：若函数 y x 2x 4的2定义域、值域都是闭区间2,2b ，则b （答：2）实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;c9、反比例函数: y (x 0) 平移xyc (中心为(b,a)ax b10、对勾函数ay x 是奇函数, a 0时,在区间(，0), (0， )上为增函数 a 0时,在(0，a, a,0)递减x在(， a , a,)递增11求反函数时，易忽略求反函数的定义域12函数与其反函数之间的一个有用的结论： f 1(b) a f (a) b13 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示

4、14、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。15、周期性。 若 y f (x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x a, x b(a b) ， 则 y f (x) 必 是 周 期 函 数 ， 且 一 周 期 为T 2 | a b |；（2）函数 f (x) 满足 f x f a x (a 0) ，则 f (x) 是周期为 a 的周期函数”：函数 f (x) 满足 f ，则 f (x) 是周期为 2 a的周期函数；若x f a x1

5、f (x a) (a 0) 恒成立，则T 2a ；f (x)若1f (x a) (a 0) 恒成立，则T 2a .f (x)16、函数的对称性。满足条件 f x a f b x的函数的图象关于直线xa b 对称。（2）证明函2数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）反比例函c数: y (x 0) 平移xyc a (中心为(b,a) x b17.反函数:函数存在反函数的条件一一映射；奇函数若有反函数则反函数是奇函数周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数互为反函数的两函数具相同单调性f(x)定义域为 A,值域为 B,则ff-1(x)=x(xB),f-

6、1f(x)=x(xA).原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。题型方法总结18判定相同函数:定义域相同且对应法则相同19求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： f (x) ax2 bx c ；顶点式： f (x) a(x m)2 n ；零点式：f (x) a(x x )(x x ) ）。如已知 f (x) 为二次函数，且1 2f (x 2) f (x 2) ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f (x) 的解析式 。（答：1f (x) x 2x 1）22（2）代换（配凑）法已知形如 f (g

7、(x) 的表达式，求 f (x) 的表达式。如（1）已知 f (1 cos x) sin2 x,f x 的解析式（答： f (x2 ) x4 2x2 , x 2, 2 ）；（2）若求 21 2 1f (x ) x ，则函数x x2f (x 1) =_（答： x2 2x 3 ）；（3）若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x (0,) 时，f (x) x(1 3 x) ，那么当 x (,0) 时， f (x) =_（答： x(1 3 x) ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 f (x) 的定义域应是 g(x) 的值域。（3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到

8、关于 f (x) 及另外一个函数的方程组。如（1）已知f (x) 2 f (x) 3x 2 ，求 f (x) 的解析式（答：2f (x) 3x ）；（2）已知 f (x) 是奇函数， g(x) 是3偶函数，且 f (x) + g(x) =x11,则 f (x) = （答：xx2 1）。20 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若 f(x)定义域为a,b,复合函数 fg(x)定义域由 ag(x)b 解出；若 fg(x)定义域为a,b,则 f(x)定义域相当于 xa,b时 g(x)的值域；1 如：若函数 y f (x

9、)的定义域为 ,2 2，则 (log2 x)f 的定义域为_（答：x | 2 x 4）；2 x（2）若函数 f (x2 1)的定义域为2,1) ，则函数 f (x) 的定义域为_（答：1,5）21 求值域:配方法：如：求函数 y x2 2x 5, x1, 2 的值域（答：4,8）；逆求法（反求法）：如：y 3x1 3x通过反解，用 y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围（答：（0,1）；换元法：17如（1） y 2 sin2 x 3cos x 1的值域为_（答：4, ）；8（2） y 2x 1 x 1 的值域为_（答：3,）（ 令 x 1 t ，t 0。运用

10、换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：y 2sin 11 cos3的值域（答： (, ）；2不等式法利用基本不等式 a b 2 ab(a,b R ) 求函数的最值。如设x,a ,a , y 成等差数列，1 2x,b ,b , y 成等比数列，则1 2(a 1 a )22b b1 2的取值范围是_.（答：(,04,) ）。 单 调 性 法 ： 函 数 为 单 调 函 数 ， 可 根 据 函 数 的 单 调 性 求 值 域 。 如 求1y x (1 x 9) ，x9y sin x 21 sin2x 80(0, ) 9， y

11、2 x2 log 5 x的值域为_（答：311、 , 9 2、0,）；数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点 P(x, y) 在圆x2 y2 1 上 ， 求yx 2及 y 2x 的 取 值 范 围 （ 答 ：3 3 , 、 5, 5 ）；（ 2 ） 求 函 数3 3y (x 2) (x 8) 的值域（答：10,) ）；2 2判别式法：如（1）求 y x1x2 1 1的值域（答： , 2 2）；（2）求函数y x 2x 31的值域（答：0, ）2如求 y x2 x 1x 1的值域（答： (,31,) ）导数法;分离参数法;如求函数 f (x) 2x3 4x2 4

12、0 x ， x3,3的最小值。（答：48）用 2 种方法求下列函数的值域：3 2xy (x1, 1) 3 2xx x 32（ y , x (,0)；xyx x 32 , xx 1(,0)22 解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证23 恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立 af(x)max,;af(x)恒成立 af(x)min; 任意定义在 R 上函数 f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即 f（x） g ( x) h( x)其中 g（x） f（x）f（x）是偶函数，h（x） f（x）f（x）是奇函数2 224 利用一些方

13、法（如赋值法（令 x 0 或 1，求出 f (0)或 f (1)、令 y x 或 y x 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 xR， f (x) 满足 f (x y) f (x) f (y) ，则 f (x) 的奇偶性是_（答：奇函数）；（2）若 xR， f (x) 满足 f (xy) f (x) f (y) ，则 f (x) 的奇偶性是_（答：偶函数）；（3）已知 f (x) 是定义在 (3, 3) 上的奇函数，当 0 x 3 时， f (x) 的图像如右图所示，那么不等式 f (x) cos x 0 的解集是_（答： ( , 1) (0,1) ( , 3) ）；2 2x（4）

14、设 f (x) 的定义域为 R ，对任意 x, y R ，都有 f ( ) f (x) f (y) ，且 x 1时， f (x) 0，又y1f ，求证 f (x) 为减函数；解不等式 f (x) f (5 x) 2 .（答：0,14, 5）( ) 1 225、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处切线的斜率。Vs/(t)表示 t 时刻即时速度,a=v(t)表示 t 时刻加速度。导数研究单调性，极值最值的方法和步骤。S (n 1)26、an=1Sn S (n 2 n,n1N )*注意验证 a1 是否包含在 an 的公式中。27、 ( ) 2 ( 2,

15、 * )an等差 a a 1 d 常数 a a a n nN 中项n n n n 1 n 1 a an b( ) s An2 Bn( 0 );a,b, A,B n 一次 常数项为 的二次n?a a a (n 2,n N) a2a 等比 q(定);n n-1 n1 n na 0 an n1 an a qn1 s m m qn ; m ? 1 n28 、 首 项 正 的 递 减 ( 或 首 项 负 的 递 增 ) 等 差 数 列 前 n 项 和 最 大 ( 或 最 小 ) 问 题 , 转 化 为 解 不 等 式a 0 a 0n 或 n ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?)，由此你能求一般数列

16、中的最大或最小项吗？( ) a 0 a 0 1 n n1n(n 1) n(n 1)29、等差数列中 an=a1+(n-1)d;Sn= na d = na d =1n 22n(a 1 an )2等比数列中 an= a1 qn-1;当 q=1,Sn=na1 当 q1,Sn=a (1 qn )1 =1 qa a qnq1130. 常用性质：等差数列中, an=am+ (nm)d,a ad m n ;当 m+n=p+q,am+an=ap+aq； mn等比数列中，an=amqn-m; 当 m+n=p+q ，aman=apaq；31. 等差数列an的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3

17、m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。等比数列an的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。如：公比为-1 时，S 、4S -8S 、4S -12S 、不成等比数列832 求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.33 求通项常法:（1）已知数列的前 n 项和S1 na nSs ,求通项a ，可利用公式: n n(n 1) (n 2)S n 1（2）先猜后证（3）递推式为a an f(n) (采用累加法)； an1 an f(n) (采用累积法)（4）构造法形如n 1a ka b 、n n

18、1a ka b （ k,b 为常数）的递推数列nn n1如已知 1 1, n 3 n 1 2a a a ，求 a n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 3 个公式的合理运用an（anan-1）+(an-1an-2)+（a2a1）a1 ； ana a an an1 21a a an1 n2 1a（6）倒数法形如 1a nnka bn1的递推数列都可以用倒数法求通项。a如已知 1a a n1, 1 n3a 1n1，求a （答： an n13n 2）；已知数列满足a =1，1a a a a ，求 an （答： an 1 n n n 1 n1 ）n234 、 常 见 和 ：

19、 1 2 3 1 ( 1) n n n ，23 3 3 3 n(n1) 21 2 3 n 22 2 2 11 2 n n(n1)(2n1) ，61 1 | | 35、终边相同(=2k+); 弧长公式：l | | R ，扇形面积公式： S lR R ，1 弧度22 2(1rad) 57.3 .36、函数 y= Asin( x ) b（ 0, A 0 ）五点法作图;振幅?相位?初相?周期 T=2,频率?=k时奇函数;=k+2时偶函数.对称轴处 y 取最值,对称中心处值为 0;余弦正切可类比.变换:正左移负右移；b 正上移负下移;1横坐标伸缩到原来的 倍y sin x sin( ) sin( )左或右平移| y x y x |1 横坐标伸缩到原来的 倍 左或右平移 | |y sin x y sinx y sin(x )纵坐标伸缩到原来的 倍 sin( ) 上或下平移| | sin( )A A y x y x b Ab37、正弦定理:2R=asinA=bsinB=csin Cb2 c a2 2;余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cos A ;2bc38、内切圆半径 r=2S 1 1 1 sin sin sinABCS ab C bc A ca Ba b c2 2 239、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限(注意：公式中始终