2022届广东省佛山市六校联考高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列an满足a1=3，且an+1=4an+3 (nN*)，则数列an的通项公式为（ ）A22n-1+1B22n

2、-1-1C22n+1D22n-12设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）ABCD4已知函数，的零点分别为，则（ ）ABCD5是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ）ABCD6已知等边ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆上一点，则的最大值是（ ）AB1CD27已知等差数列中，则（ ）A20B18C16D148复数的虚部为（）A1B3C1D29双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD10已知直线是曲线的切线，则（ ）A或1B或2C或D

3、或111如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（） A，B，C，D，12已知复数，若，则的值为（ ）A1BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_.14已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为_15设为数列的前项和，若，且，则_16已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（），是的导数.（1）当时，令，为的导数.证明：在

4、区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.18（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且（1）求证：平面；（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值19（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，设变换对应的矩阵为（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值20（12分）已知数列满足，其前n项和为.（1）通过计算，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.21（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，

5、求的值22（10分）如图所示，直角梯形ABCD中，四边形EDCF为矩形，平面平面ABCD(1)求证：平面ABE；(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】试题分析：因为an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1=4，所以数列an+1是以a1+1=4为首项，公比为4的等比数列，所以an+1=44n-1=4n=22n

6、，即an=22n-1，所以数列an的通项公式是an=22n-1，故选D考点：数列的通项公式2A【解析】首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】为等比数列，若成立，有，因为恒成立，故可以推出且，若成立，当时，有，当时，有，因为恒成立，所以有，故可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.3C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选4C【

7、解析】转化函数，的零点为与，的交点，数形结合，即得解.【详解】函数，的零点，即为与，的交点，作出与，的图象，如图所示，可知故选：C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5C【解析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.【详解】如下图所示：设点关于直线的对称点为点，则，整理得，解得，即点，所以，圆关于直线的对称圆的方程为，设点，则，当时，取最小值，因此，.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计

8、算能力，属于中等题.6D【解析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7A【解析】设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.8B【解析】对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.9C【解析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近

9、线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程是.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用10D【解析】求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.【详解】直线的斜率为，对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.故选：D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.11B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，考点：程序框图、茎叶图12D【解析】由复

10、数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.【详解】由于，所以，由点斜式可得切线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.14【解析】由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.【详解】因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，先

11、由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.15【解析】由题可得，解得，所以，上述两式相减可得，即，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以16【解析】设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.【详解】设，直线AB的参数方程为，(为参数)代入圆，化简得：，存在点，使得，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（

12、2）【解析】（1）设，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.【详解】（1）由已知，所以，设，当时，单调递增，而，且在上图象连续不断.所以在上有唯一零点，当时，；当时，；在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小值点，即在区间上存在唯一的极小值点；（2）设，在单调递增，即，从而，因为函数在上单调递减，在上恒成立，令，在上单调递减，当时，则在上单调递减，符合题意.当时，在上单调递减，所以一定存在，当时，在上单调递增，与题意不符，舍去.综上，的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立

13、问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.18（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可【详解】（1）证明：四边形是菱形， 平面平面，又是的中点，又平面（2）直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角平面，直线与平面所成的角为，即因为，则在等腰直角三角形中，所以在中，由得，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为，则，可得，取平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值的大小为（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出

14、后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出）【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题19（1）（2）1或6【解析】（1）设，根据变换可得关于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】（1）设，则，即，解得，则（2）设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.20（1），证明见解析；（2）【解析】（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项

15、公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围【详解】（1）数列满足，其前项和为所以，则，所以猜想得：证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以，整理得（2）数列满足，所以，则，所以则，所以，所以，整理得，由于，所以，即【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型21（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分

16、别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）设,则,求得,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.（3）设,则有,得,设,那么,所以,所以.因为,所以.又因为,所以,设平面的法向量为,则,即,可得,即 因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.22（I）见