以圆为背景的相似三角形的计算及证明

1、. 以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z131，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F.AC12，BC9，求AO的长图Z131经典母题答图解：如答图，连结OE，设O的半径是R，则OEOBR.在RtACB中，由勾股定理，得ABeq r(AC2BC2)15.AC切半圆O于点E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB，eq f(OE,BC)eq f(AO,AB)，eq f(R,9)eq f(15R,15)，解得Req f(45,8)，AOABOB15Req f(75,8).【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角

2、形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长【中考变形】图Z1321如图Z132，在RtACB中，ACB90，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：ADOACB；(2)假设O的半径为1，求证：ACADBC.证明：(1)AB是O的切线，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.eq f(AD,AC)eq f(OD,BC)，ADBCACOD，OD1，ACADBC.22017如图Z133，RtABC，C90，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)假设AEEB12，BC6，求A

3、E的长图Z133中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，AC是O的直径，AECBEC90，D为BC的中点，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90，OED90，DE是O的切线；(2)由(1)知BEC90，在RtBEC与RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，eq f(BE,BC)eq f(BC,BA)，BC2BEBA，AEEB12，设AE*，则BE2*，BA3*，BC6，622*3*，解得* eq r(6)，即AE eq r(6).3如图Z134，AB是O的直径，BCAB，连结OC，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线

4、CD是O的切线；(2)假设DE2BC，求ADOC的值图Z134中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即ODCD.又点D在O上，直线CD是O的切线；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO，eq f(AD,OC)eq f(DE,CE)eq f(DE,DECD)eq f(2,3).42016如图Z135，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC30.过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径

5、AO的延长线交于点E.过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE；(2)假设SAOCeq f(r(3),4)，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是O的切线图Z135中考变形4答图解：(1)证明：BC为O的直径，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC为等边三角形，即OACAOC60，AF为O的切线，OAF90，CAFAFC30，DE为O的切线，DBCOBE90，DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC为等边三角形，SAOCeq f(r(3),4)OA2eq f(r(3),4)，OA1，BC2，OB1，又DBEO30，B

6、D2eq r(3)，BEeq r(3)，DE3eq r(3)；(3)证明：如答图，过点O作OMEF于点M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF为O的切线52017株洲如图Z136，AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BEEF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CEBF；(2)假设BD2，且EAEBEC31eq r(5)，求BCD的面积图Z136中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线O

7、C，BEEF，FEBF，AEBEBFF，F eq f(1,2)AEB，C是eq o(AB,sup8()的中点，eq o(AC,sup8()eq o(BC,sup8()，AECBEC，AEBAECBEC，AECeq f(1,2)AEB，AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，eq f(AD,CB)eq f(AE,CE)，即eq f(AD,CB)eq f(3,r(5)，CBDCEB，BCDECB，CBECDB，eq f(BD,CB)eq f(BE,CE)，即eq f(2,CB)eq f(1,r(5)，CB2eq r(5)，AD6，AB8，点C为劣弧AB的中点，OCAB，

8、设垂足为G，则AGBGeq f(1,2)AB4，CGeq r(CB2BG2)2，SBCDeq f(1,2)BDCGeq f(1,2)222.6如图Z137，AB是O的直径，C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC平分BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由图Z137中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.PE是O的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB3PB.理

9、由：AB是O的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P是公共角，PCBPAC，eq f(PC,PA)eq f(PB,PC)，PC2PBPA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016枣庄如图Z138，AC是O的直径，BC是O的弦，P是O外一点，连结PA，PB，AB，PBAC.(1)求证：PB是O的切线；(2)连结OP，假设OPBC，且OP8，O的半径为2eq r(2)，求BC的长图Z138中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，AC是O的直径，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA

10、90，即PBOB.PB是O的切线；(2)O的半径为2eq r(2)，OB2eq r(2)，AC4eq r(2)，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90，ABCPBO，eq f(BC,BO)eq f(AC,PO)，即eq f(BC,2r(2)eq f(4r(2),8)，BC2.82017聊城如图Z139，O是ABC的外接圆，O点在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：PBDDCA；(3)当AB6，AC8时，求线段PB的长图Z139中考变形8答图解：(1)证明：圆心O在BC上，BC是O的直径

11、，BAC90，如答图，连结OD，AD平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即ODBC，PDBC，ODPD，OD为O的半径，PD是O的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180，ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC为直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD垂直平分BC，DBDC，BC为O的直径，BDC90，在RtDBC中，DB2DC2BC2，即2DC2BC2100，DCDB5eq r(2)，PBDDCA，eq f(PB,DC)eq f(BD,AC)，即PBeq f(DCBD,AC)eq f(5r(2)5r(2),8)eq f(25,4).【中考预测】2017黄冈模拟如图Z1310，AB为O的直径，CD与O相切于点C，且ODBC，垂足为F，OD交O于点E.证明：(1)DAEC；(2)O