第三讲 金融工程定价方法ppt课件

1、第三讲 金融工程定价技术本讲内容1.形状定价技术2.构建无风险组合定价技术3.风险中性定价技术4.鞅及鞅测度.金融工具定价的关键1金融工具的现金流2恰当的折现率.形状价钱定价技术假设一份风险证券A，如今的市场价钱是PA ，1年后市场价钱会出现两种能够的情况：价钱上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ，出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的价钱形状。uPAdPAPAq1-q.形状价钱定价技术(续)定义两根本证券假想证券：根本证券1：在1年后假设市场出现上升形状，其市场价值为1元，如处于下跌形状，那么其价值为零，其市场价钱记为u ；根本证券2：在1年后假设市场出现上升形状，其市场价值

2、为0元，如处于下跌形状，那么其价值为1，其市场价钱记为d 。.用根本证券复制风险证券A组合B：购买uPA份根本证券1；购买dPB份根本证券2。由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的现值相等：PA=uuPA+ddPA 即：uu+dd=1 1.对风险证券A定价组合C：购买一单位根本证券1；购买一单位根本证券2。1年后组合C现金流为？组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有u+d=1/(1+ rf) 2将式1、2两个方程联立成方程组，可得： u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d) d =u-(1+ rf)/(1+ rf) (u-d).例1假设证券A如今的市场价钱为P

3、A=100元，rf=2%，d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的形状价钱见图。10798PA=100 10398.5PB .解依题意有u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d)=0.435730 d =u-(1+ rf)/(1+ rf) (u-d)=0.544662对A证券定价PA=uuPA+ddPA=0.435730107+0.54466298=100 对证券B定价PB=uuPB+ddPB=0.435730103+0.54466298.5=98.52941.问题问题1：根本证券1的市场价钱和根本证券2的市场价钱是由证券A的形状价钱确定，为什么可以用来复制证券B？形状价钱的

4、涵义：两个根本证券的参数u，d独一地确定了某个市场，那么描写在这个市场里的证券价钱变化的参数u和d必需满足以下方程组uu+dd=1u+d=1/(1+ rf)两组不同的u，d描写了两个不同的市场。 用证券B的形状价钱来复制证券B？ 问题2：根本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一个证券？.用证券A复制证券B组合D：份证券A和现值为L的无风险证券。其如今的价钱为：I=100+L 31年后，无论市场情况如何，组合D的市场价值都与证券B一样。如出现上升的形状，有Iu=107+L1.02=103如出现下降的形状，有Id=98+L1.02=98.5 将以上两个方程联立成方程组，可解得=0.5,L=

5、49.5/1.02代入式3可得证券B如今的价值I=98.52941.远期/期货合约的价值设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价钱。那么对于一项远期合约多头来说，其在T时辰的价值为S(T)-X。组合：一项价值为S(t)的标的资产多头；数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)组合现金流分析t时辰：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t)T时辰：组合价值为S(T)-X这一组合复制了远期合约的多头。根据无套利原那么，该远期合约在t时辰的价值一定等于该组合在t时辰的价值。即(t)=S(t) - Xe-rf (T-t) tT .远期/期货价钱假设在t时辰订约，那么远期价

6、钱等于T时辰的交割价钱，即F(t,T)=X，且合约的价值为零，那么有S(t) - Xe-rf (T-t) =0即，X= S(t)erf (T-t) 故远期/期货价钱为F(t,T)= S(t)erf (T-t) .支付知现金红利资产远期合商定价设I为现金红利在t时辰的现值。组合一项价值为S(t)的标的资产多头；数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)组合现金流分析t时辰：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - IT时辰：组合价值为S(T)-X这一组合复制了支付知现金红利资产远期合约的多头。根据无套利原那么，该远期合约在t时辰的价值一定等于该组合在t时辰的价

7、值。即(t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t) tT .关于远期汇率的案例一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。有关数据如下：交割数量(A)：1,980,000DM即期汇率(S)： US$1=1.8000DM即期利率：一年期的美圆利率(ib )为6%，一年期的DM利率为(iq )10%。问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？.远期汇率确实定过程US$DM即期远期(一年) -1,980,000+1,980,000-1,800,000以10%的利率贷出DM1年+1,800,000-1,000,000卖出即期美圆(价1.8000)+1,000,000以

8、6%的利率借US$ 1年-1,060,000+1,060,000以价F卖出远期DM A/(1+iq)=1,980,000/(1+10%)=1,800,000A/(1+iq)/s=1,800,000/1.8=1,000,000A/(1+iq)/s(1+ ib)=1,000,000(1+6%)=1,060,000F=S(1+ iq)/(1+ ib) =1.8(1+10%)/(1+6%).关于远期利率的案例一客户要求某银行从如今(t)开场6个月内提供为其6个月的100万的贷款。在现货市场上，利率的报价为：6个月期(T)的利率(is)为9.5%，12个月期(T)的利率(iL )为9.875%。该银行如

9、何确定该66的远期利率iF ？.远期利率确实定过程即期6个月12个月 -1000000+1000000-954,654以9.5%的利率贷出6个月+954,654以9.875%的利率借款12个月-1,048,926+1,048,926以iF的利率贷出6个月 .国债期货的定价方法：现金-持有定价法(1)买入100000美圆面值的一种可交割债券；2经过回购协议为债券融资；3卖出一份期货合约；4持有债券直到交割月份的最后一日；5根据期货空头头寸交割债券。.现金-持有战略图借入现金买入债券根据期货空头交割债券归还现金及利息借入现金并支付利息如今用现买入债券收取发票金额持有债券并赚取利息债券期货到期日.对

10、期权定价一个股票如今的价钱为 $20三个月后，该股票的价钱或者是 $22，或者是$18，如以下图设无风险利率为12%。Stock Price = $22Stock Price = $18Stock price = $20.Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?A Call OptionA 3-month call option on the stock has a strike price of 21. .对看涨期权进展复制思索一个组合

11、：单位股票 现值为L的无风险资产那么有方程组22+Le0.120.25=118+Le0.120.25=0解得：=0.25，L=-4.3672那么期权的价钱为20+L=200.25-4.3672=0.633.动态复制技术：例有证券A、B，证券A的价钱运动规律如左图，证券B在第二期期末3种不同形状下的价钱如右图。96.04107PA=10098114.49104.86期初第1期期末第2期期末PBuPBdPBuu=107.67PBud=102.97PBdd=98.48PB=?期初第1期期末第2期期末.解先看右上方的二叉树，假设用u份证券A和如今市场价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。10

12、4.86114.49107114.49 u+1.02Lu 107 u+Lu 104.86 u+1.02Lu可联立方程组 114.49 u+1.02Lu=107.67 104.86 u+1.02Lu=102.97解出u =0.488，Lu =50.78,那么PBu =107u +Lu =103.解续对于右下方的二叉树，可建立方程组 104.86d +1.02Ld =102.97 96.04d +1.02Ld =98.48解得， d=0.509, Ld=48.62, PBd=98d +Ld=98.5再看左方的二叉树，如图。10710098107 +1.02L100 +L98+1.02L.解续可用份

13、证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证券B。可得方程组 107+1.02L=103 98+1.02L=98.5解得，=0.5，L=48.53故证券B如今的市场价钱为PB=100+L=98.52941问题1：如采用延续复利利率计算，以上过程如何变化？.二叉树与Black-Scholes模型1一样点对股价运动规律的假定一样确定折现率的方法：构建无风险组合2不同点详细描画现金流的方法.证券价钱变化与随机过程弱式有效市场中的证券价钱变化随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随机过程的分类：Discrete time; discrete variableDiscrete time

14、; continuous variableContinuous time; discrete variableContinuous time; continuous variable严厉地说，证券价钱的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，但我们近似地将其看为延续变量的延续时间随机过程。.Markov Stochastic ProcessMarkov Stochastic Process在这个过程中，只需变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到如今的演化方式与未来的预测无关。.Cramer-Levy(克拉默-列维)定理 设X1 、X2为独立随机变量，那么X1+X2， 2，

15、当且仅当X1 1， 1 2 ， X2 2， 2 2 ，且=1+2， 2=1 2 +2 2.维纳过程(A Wiener Process )维纳过程是一个拥有零均值和年变动率为1.0的Markov Stochastic Process。设在微小的时间段t内变量z的变化值为z。那么一个维纳过程具有二种特征： (1) 由(1)可知，在一个微小的时间间隔t内 , zNm,s,且 Mean of z=0Standard deviation of z=tVariance of z=t(2)对于恣意两个不同时间间隔t，z的值相互独立。.维纳过程续在一个相当长的时间段T内，z(T )z(0)Nm,s,且 Mea

16、n ofz(T)z(0)=0Variance ofz(T)z(0)=NDt=TN=T/nStandard deviation of z(T )z(0)is推论在恣意长度的时间间隔T内，遵照维纳过程的变量的变化值服从具有均值为0，规范差为 的正态分布。对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，规范差不具有可加性。 .普通维纳过程(Generalized Wiener Process)定义漂移率(Drift Rate)是指单位时间内变量z均值的变化值(设为a)。方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差(设为b2 )。变量x的普通维纳过程可表示为：dx=adt+bdz 式中，dz为维纳过

17、程在很小的一段时间间隔t内，x值的变化遵照x=at+bDt式中，N(0，1).普通维纳过程续 推论1：xN(m，s) x的均值=aDt x的规范差=bDt x的方差=b2Dt推论2：在恣意时间间隔T内，x值的变化量遵照正态分布，且x的均值=aTx的规范差=x的方差=b2T.伊藤过程(Ito Process )假设把变量x的漂依率和方差率当作变量x和时间t的函数，可得到伊藤过程。 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz式中，dz是一个维纳过程，a、b分别是变量x和t的函数，变量x的漂移率和方差率分别为a和b2。思索到离散时间，伊藤过程变为 阐明：上式只需当Dt0时，才成立。.证券价钱行为模型证

18、券价钱的变化过程可以用漂移率为S、方差率为2S2的伊藤过程表示。或dS/S=dt+dz 式中，表示证券在单位时间内以延续复利表示的期望收益率(又称预期收益率)，2表示证券收益率单位时间的方差；表示证券收益率单位时间的规范差，简称证券价钱的动摇率。.证券价钱行为模型续在短时间Dt后，证券价钱变化的比率值为：DS/S=Dt+Dt故，有DS/SNDt,Dt留意：由于比例变化不具有可加性，因此不能推导出在恣意时间长度T后证券价钱比例变化的规范差为Dt。.伊藤引理(Itos lemma) 假设变量x遵照伊藤过程，伊藤引理将会通知我们变量x和t的函数G将遵照的随机过程。由于一个衍生证券是标的资产S和时间t

19、的函数，因此，伊藤引理在衍生证券的分析中占有重要的位置。.伊藤引理推导:泰勒级数展开式函数G(x,t)的泰勒级数展开式为：.伊藤引理推导: 忽略Dt的高阶项.伊藤引理推导: Substituting for Dx.伊藤引理推导: The e2Dt Term.伊藤引理推导: Taking Limits.证券价钱自然对数变化过程令G=lnS那么有；G/S=1/S ，2G/S2=-1/S2，G/t=0由伊藤过程ItoSlemma可知G服从以下过程；dG=(-2/2)dt+dz结论：lnS服从普通维纳过程，lnS在0到T时间的变化服从正态分布。.证券价钱自然对数变化过程(续)即有因此， 是正态分布。.

20、一张完好的二叉树图 S0S0dS0uS0u2S0S0d2S0d3S0dS0uS0u3S0d4S0d2S0 S0u2 S0u4 .二叉树为什么能描画股价的运动假设从t=0时辰到t=T时辰，二叉树所分得步数越来越多，适当地选择二叉树中的u和d，当所分的步数趋于无穷大时，股价变化就趋于对数正态分布。.证明二叉树定价时股票价钱变化规律为：那么数学期望值为.对于n个阶段的二叉树，其均值和方差为.假设选择：u，d和q的选择保证了延续计息收益率在单位时间的均值和方差分别是和2 ，因此，适中选择参数，二叉树无限细分可以描画股票价钱的运动规律。.股价与期权价钱的描画.思索一个组合:long sharesshor

21、t 1 call option当221=18 or =0.25时，该组合是无风险的。22D 118D构建一个无风险组合.对组合定价无风险组合为: long 0.25 sharesshort 1 call option该组合3个月后的价值为 220.25 1=4.50组合的现值为4.5e0.120.25 =4.3670.对期权定价组合： long 0.25 sharesshort 1 option 如今的价值为 4.367而股票的价值为 5.000 (= 0.2520 )故期权的价值为0.633(=5.0004.367).期权定价的普通方式A derivative lasts for time

22、T and is dependent on a stock期权的定价公式 = p u + (1 p )d erT这里， Su uSd dS.股票价钱变化过程与衍生证券价钱变化过程从上述两式可以看出，衍生证券价钱G和证券价钱S都受同一个不确定性来源dz的影响。.Black-Scholes 的根本原理期权的价钱和股票的价钱都受同一个根本的不确定性来源的影响。我们可以构筑一个包含股票和期权的组合，以此来消除这种不确定性来源。此组合是瞬间的无风险并能获得瞬间的无风险收益。这将导出 Black-Scholes differential equation.Black-Scholes微分方程(1/3).Bl

23、ack-Scholes微分方程(2/3).Black-Scholes微分方程(3/3)任何一个价钱依赖于股价的证券都满足 the differential equationWe substitute for and in these equations to get the Black-Scholes differential equation:The return on the portfolio must be the risk-free rate. Hence.Black-Scholes微分方程的解.风险中性风险厌恶、风险中性和风险喜好公平的赌博：赌博结果的预期只该当和入局前所持有的资金

24、相等，即赌博的结果从概率平均的意义上来说该当是不输不赢。在没有风险补偿时，风险厌恶的人回绝公平的赌博；风险中性的人情愿无条件地参与公平赌博；风险喜好是赌徒的典型的心态。.风险中性假设在一个假想的风险中性世界中，一切的市场参与者都是风险中性的，那么一切的资产不论其风险大小或能否有风险，预期收益率都等于无风险收益率。.风险中性假设续假设对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，那么可以将问题放到一个假设中性的世界里进展分析，所得的结果在真实的世界里也该当成立。.风险中性假设与无套利平衡分析无套利平衡分析过程和结果在真实的世界里该当成立。 例3：假设一种不支付红利股票目前的市场价钱为10元，我们知

25、道在3个月后，该股票的价钱要么是11元，要么是9元。如今我们要求一份3个月期敲定价钱为10.5元的该股票欧式看涨期权的价钱。.风险中性定价(Risk-Neutral Valuation)步骤:1假定标的资产的预期收益率为无风险利率；2计算衍生证券到期日的预期现金流；3将预期现金流以无风险利率折现到即期。.风险中性定价：对远期合商定价设一个以无红利支付股票为标的资产的远期合约多头，其到期日T的交割价钱为ST。到期日合约的价值为：ST K远期合约在时间t(T)的价值f为：f=e-r(T-t)(ST-K) f=e-r(T-t)(ST)-Ke-r(T-t) (ST)=Se(T-t)= Ser(T-t)

26、f=S-Ke-r(T-t) .风险中性定价：对期权的定价变量m并没有出如今 the Black-Scholes differential equation该方程不依赖任何受风险偏好影响的变量。因此微分方程的解在真实世界和风险中性世界都是一样的。所以，可以用风险中性定价方法来对期权进展定价。.风险中性定价：对期权的定价续思索一个在风险中性世界中的欧式看涨期权，其在到期日的价值为 max(ST X,0) 期权的价值为c=e-rT max(ST X,0).多阶段事件树假设证券的买卖就是3个阶段，每一次买卖都在每一期期末集中买卖，即由事件树中各节点表示。0111221222331323334.信息构造

27、t=0时辰的信息构造t：或者买卖，或者不买卖，如买卖，到多阶段买卖终了时，所发生的事件一定落在事件集31,32, 33,34之中。t=1时辰信息构造t：发惹事件一定落在事件集31,32,33,34，而且或者落在子集合31,32,33，或者落在子集合32,33,34。t=2时辰信息构造t：包括t=1阶段所获得的信息，还知道所发生的事件一定落在子集合31,32， 32,33，33,34中的一个。t=3时辰信息构造t：包括t=2阶段所获得的信息，还知道所发生的事件必定是31,32,33,34中的一个。.鞅定义鞅是一类随机过程或随机序列链：在任何时辰，在当时的信息构造t 的根底上，假设对随机过程S(t

28、)的某种概率分布，对恣意的s,t；0st，都有 E*S(t)|s=S(s) 满足上述条件的随机过程S(t)是鞅。在如今时辰s的已有信息构造s条件下，有未来时辰t的条件概率分布Pt*|s ，那么E*S(t)|s表示随机变量S(t)在未来时辰t服从这一条件概率分布的条件数学期望。 .鞅与公平赌博设Y(t)表示一个赌徒在第t次赌博时的资本。Y(0)是他最初的赌本，而Y(t)(t1)是一个随机变量。假设赌博是公平的，那么他每次的资本增益的期望应为零，即他在进展以后(次数t+1)的赌博中，他的资本期望值还是他最近一次赌博时的资本数Y(t)。公平赌博的随机过程构成鞅，风险中性概率即为鞅概率。.等价鞅测度等价鞅概率在真实世界里，证券价钱遵照真实的概率P分布。对于概率测度P，另一个世界中的概率测度P*与P相对应。假设P*满足以下三个条件，就可以称P*为P的等价鞅测度等价鞅概率：(1) P*与P同零集。(2)对于概率P来说，假设一个事