2022届四川大学附中高三压轴卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1方程在区间内的所有解之和等于( )A4B6C8D102已知集合，则（ ）ABCD3已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）ABCD4如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于

2、原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.ABCD5若函数（其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6（ ）ABCD7某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )ABCD8已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )ABCD9设集合，则 ()ABCD10已知集合U1，2，3，4，5，6，A2，4，B3，4，则（ ）A3，5，6B1，5，6C2，3，4D1，2，3，5，611某几何体的三

3、视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )ABCD12某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）A8年B9年C10年D11年二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为_，若目标函数的最小值为-1，则实数等于_.14已知数列的前项满足，则_.15直线过圆的圆心，则的最小值是_.16已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17

4、（12分）已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.18（12分）设函数f(x)=sin(2x-6)+sin(2x+3), xR.(I)求f(x)的最小正周期；(II)若(6,)且f(2)=12，求sin(2+6)的值.19（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和20（12分）如图，在直三棱柱中，为的中点，点在线段上，且平面（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值21（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，且，为等边三角

5、形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围22（10分）已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.【详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.2C【解析】求出集合，计算出和，即可得出结论.【详解】，.故选

6、：C.【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.3D【解析】设，作为一个基底，表示向量，然后再用数量积公式求解.【详解】设，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4C【解析】易得，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.5B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】

7、根据已知函数其中，的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题6A【解析】分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.7A【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条

8、侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，且平面，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键8B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，可设双曲线的方程为，一个焦点为，故的标准方程为.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.9B【解析】直接进

9、行集合的并集、交集的运算即可【详解】解：； 故选：B【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.10B【解析】按补集、交集定义，即可求解.【详解】1，3，5，6，1，2，5，6，所以1，5，6.故选：B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.11D【解析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选：D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.12D【解析】根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求

10、出答案.【详解】依题意在回归直线上，由，估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此

11、类问题的基本方法，属于基础题.14【解析】由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法【详解】，时，得，又，（）故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式，由已知条件类比已知求的解题方法求解15【解析】直线mxny10（m0，n0）经过圆x2+y22x+2y10的圆心（1，1），可得m+n1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】mxny10（m0，n0）经过圆x2+y22x+2y10的圆心（1，1），m+n10，即m+n1.（）（m+n）22+24，当且仅当mn时取等号.则的最小值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质

12、，属于基础题.16【解析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程【详解】设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【解析】（1）将有两个零点转化为方程有两

13、个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.【详解】（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根由，知有两个零点有两个相异实根.令，则，由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，又当时，当时，当时，有两个零点时，实数的取值范围为；（2）当时，原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令 令，则在上单增又，使即当时，当时，即在递减，在递增，由知 函数在单调递增即，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.18 (I)；(II)-74【解析】(I)化

14、简得到fx=2sin2x+12，得到周期.(II) f(2)=2sin+12=12，故sin+12=24，根据范围判断cos+12=-144，代入计算得到答案.【详解】(I) f(x)=sin2x-6+sin2x+3=sin2x-6+cos2x-6=2sin2x+12，故T=22=.(II) f(2)=2sin+12=12，故sin+12=24，cos+12=144，(6,)，故+124,1312，cos+12sin+12，故+1234,，故cos+12=-144，sin(2+6)=2sin+12cos+12=-74.【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合

15、应用能力.19（1）；（2）【解析】（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【详解】（1）可以化为，又时，数列从开始成等差数列，代入得是首项为，公差为的等差数列，.（2）由（1）得，两式相减得，.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20见解析【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又，所以，从而，四点共面因为平面，平面，平面平面，所以又，所以四边形为平行四边形，所以，所以（2）因为，为的中点，所以，又三棱柱是

16、直三棱柱，所以，互相垂直，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为21（1）；（2）.【解析】（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1），为等边三角形，椭圆的标准方程为（2）设四边形的面积为当直线的斜率不存在时，可得，当直线的斜率存在时，设直线的