2004-11华中师范大学高等代数

1、研究方向考试时间兄月II日午1. （15分）设4,6,4”是数域P上刃个不同的数，解线性方程组” 召 + + + = 14不+亠心+ Q”兀二化2 2 2 2 4兀+ a2x2 + anxn = ang”*+a；、+町比=町2. （15分）设F是数域，血叮 m（x） = x （20分）设F是数域，/二（坷）二a，%，心）严，Q”的代数 余子式&”工0,1）证明&3勺,G”_i线性无关；2）当M | = 0时，求线性方程组A = 0的基础解系，其中才是 /的伴随矩阵。+ 2x1是兄的最小多 项式，求（30分）设尸是数域，X = 力 e I Af = A ,卩2=Bw Pe | B 是上三角矩阵,

2、1）证明K，人都是严”的子空间；2）证明=匕+匕,pm工叫氏.（30分）设卩（天）是数域F上的不可约多项式，a是（对的复根，1）证明p（Q的常数项不等于零；2）证明对任意正整数加，（p（x）,兀）=1;3）设 px） = x3 - 2x + 2 ,求丄.a（20分）设7?元实二次型/（召，兀经过正交线性替 x = Qy （其中Q是正交矩阵）化为 尹；+2尹；+3尤+ + ；, 证明：1） /的特征值是1, 2,，n ；2）存在正定矩阵3使A = B（20分）设夬是数域P /7维线性空间1/的线性变换, aV.夬z（q）h0, _X（&） = 0,证明：1）斤（&）,，夬心（a）是？的基；2）设

3、是夬的不变子空间，a宀yP,匕=0,并且存在向量0 = Q0 + G+冬斤（*） +。丿心（&）丘，则IV共2豆菓2页招生专业：数学考试科目及代码：高等代数(471)研究方向：基础数学，应用数学， 概率论与数理统计， 运第学与控制论考试时间：月 日卞午(15分)设力是数域F上的rxr阶矩阵，。是sxs阶矩阵，,D) 并且 秩(M)二秩(/) =尸，证明D = CA B(15分)设力是数域P上的mxn矩阵，少,勺,色是齐次线性方程组 理兀=0的线性无关的解，/0HO,证明0, 0 + Q, 0 +勺，0 +乞线性无关。(30分)设F是数域，7二/(兀)=色*+%占+年+%丨4丘卩异=0, 1,

4、2,n,证明7关于多项式的加法和数乘多项式构成数域P上的线性空间；Vf(x) e V ,规定: /(%) 一/x/G),证明夬是7的线性变换；求线性变换夬在基l, x,下的矩阵。(20分)设/是nx n阶复矩阵，Ak =0,入仏，,&是/的所有非零的 特征值，证明E-A是可逆矩阵，并求(E-A)-1；求(E-A)1的所有特征值。(20分)设/是乃阶正定矩阵，3是刃阶半正定矩阵，证明力“是乃阶正定矩阵；卜 求实的可逆矩阵7使得厂 + B)T =勺.是对角 矩阵，并说明主对角线上的元素e0, i = l,2,申.6. (20分)设A = (a. )是刃阶矩阵，Tr(/) = f%是主对角线上元素之

5、和,/=1P2表示数域卩上所有二阶矩阵构成的集合，VgP2x25规定/: A Tr(),(1)证明/是线性空间P”2的线性函数；(2)p 0m(x) = x2 -2x-3 , Kei*；?表示夬的核，ImJ?表示的值域，证明：7中存在一组基，使夬在这组基下的矩阵是对角矩阵；Ker(夬 3(E)= Im(刃+ E),其中龙是卩的恒等变换；r = Ker(-3E Ker( + E).华中师范大学二00六年研究生入学考试试题.箍阳数曙规帛蛇与救理紀计一招生专业：应用救学适蒔拳乌髓制论研咒万向；哮试科目及代码：討代敷452考试时间： 月0丫午1.Q4分）计算”阶行列式屯+处aa3 叩”X.十盘；0込X

6、3 r-?j-吗陽5其中歼电哄1Gna22r （20分！设务匸“1L：旳2厂口冷）他（如，血! = 厲册）且片旳，銭性无关;0 =也心:&）证明吗，旳，,码,0线性相关的充 分必耍条件是：线性方程组坷阿+坷内+坷存” =（J曲+如勺+% =0碍罔+碍2%+%入=0 的懈都是方程话+炳2 +.*启,丸的解、2工严4召“2也十4為一7屯匸03- 0分）R是实数域，哙线性方嚳；：；4：匚初所有 ”西- 2巧 + 6耳+ 3 - 4x5 = 0 解构成的集合.1）证明卩是R（列向量组成的空间）的子空间；2）求F的基与维数；3）求卩的正交补厂的基与维数（搭的内积値戶）=呼）.考生答题请一律写在答题M,在

7、试卷上作答无效。（32分）设P是数域，/ = O 或巩/町”.V/W =+心_尹7 +中+吗乍匚 规定月：/”_严1）证期冥是卩的线性变换；2）求開在基巴庄1下的矩阵；3）求;!的核月壮0）的基；4）求開的所有特征值和特征向量.（2（）分）设P是数域，C = AB-BA,并且BCCB. M明：1）对大于1的自然数有泅-出4 =聽叫:;2）f（A）是月的特征多项式，广仏）是几可的微商，则/W=0-6 （20分）R是实数域，/ g IT，且A是对称矩阵.1）证明?!的伴隧矩阵才也是实对称呃阵；2）试问与才合同的充分条件是什么？并证明你的结论.7. （20分）设卩是数域F上的代维线性空间，珀居，:”

8、质”挿是F的基，K = Z（” :，卩2 =丄（碍+1 ,/+2 ：1）证明卩是片与的直和（即卩=叫田耳）；2）设逼是人的錠性变换，是的线性变换，求卩的线性变换G使得匕与 卩2都是C的不变子空问，并且C在片与卩2上的限制分别是Ci v =A, c|=0考生答题请一律写在答题纸上，在试巻上作答无效。华中师范大学二OO七年研究生人学考试试题院泉、招生专业；數学与统甘学学院各专业番试时间；元月幻H下午考试科目代码及名称澤h高等代數1倒分)设/(I)是非零湮家烦丸用f何记/(Z的flf井(#)多项買|規鮒迢 j与的晟大公因式；设蔡数m 1. if明，复数C为fX)的讥at槛杓妙楚充 分条件赴C为dx的

9、斑-I fi*.瑞说明遠里为什么爾要假设m P.创知 A J& m x n矩臨；|崔线性方理组= 0的非笨解-证明， 如果月的怪何列时握非笨.則加中至少两个非零如果X的任何两亍列向就歿性无先 割叭血中至少三沖非军Jftr (!),：), 到什么绅论7请证明慵的蜡论，(30分)对tnx”矩阵九记川疑A的转置趣阵. 设山越实矩陥 证1和 实线性方Sffl AX =0埼宸皱性方肆AlEFbY -0同轟(2)还明I实矩阵d的快与矩阵攻M的联相尊.(卽在锐致城上述结世成立吗F为什么T(钟对3(锁城.休认为应打何惓改ft# (2)得劃一牛正确断皆？为什么74-2Clj Ait实方岸，证明，牺果下面三条申的

10、任意荫棗成立則另一条也成;flj(山屋正交矩陈-(b) N扯对林矩阵-(c)护一 E,其中E翌示细也娅阵一(a 0 b5. (20分)巳知A= D d Q的粗I根为匕2.3,城中u上足实|L 宋心也井求正 V 0 n)交矩睞TT-AT退荊血蛇阵其对轮线元當ftycL2, 3.6 轴 用C衣承J数域一设鼻是“XE复拒阵.设M的博征第虞式也现前， 其中fW塚5(A)互素.在“堆向嶽空间C +b设尸是齐次线性方程级/(A) X ：0 的解子空问.gj&齐次线性方程Ulg“)X)的解子空问.证明.孝生答超莆L障瑶在番颈簸上，在试唸上柞善无效”华中肺也大淨二00七年研究生入学粤试试题琴试科日赴状创，雷鸽

11、敷学fW序试时间：；t丹和日上牛題号二三四fi#分慎45ISO Sb、awatit hJM. ift+呼洪丽眷.朮帰丰18的岀的阿牛陆項中.只打增足种時恿目蜃术的.ftjff*js*j r wjan：rrB s h, TOC o 1-5 h z .aw y = r .*j上h厝* 曲B茨乖的曲找t：)a.&天甲上轴刘梓匚袋于y抽対驛UL关于迸搖y =jt对曲1. r HTO 时，-iirt丄 li I/(J)ra/fjrr nxt Bfpiw *=( IA- 4ftf 1/(j).理杓4坎工 连BLfll术可导C.右ifSfc右冷H甘花.右连號店U威半弃住ffl i- +siiut 屋 /(J

12、C)的一啊a 虑數.艸学Et r(r)=的值依次为A. 1JB. 1,-1G I, ID. lr I皿滋井方见f+-0()A. f|tfJ +f3r-jeIL 雋 + 包咖-rC.吟 mix+巧 sinxIK jftf, cosx + q sinf)二、为ISIJB，申大薦共】0牛小呻* 0 t 3 0l-x5 时.teEffl |/(x)-J|址的祛理方稈为 .M y = y i&lhj l-j,l|上的录犬曲妊.1 轧 巍 jytijtiif - arcsLnx + c?t M f(x) =_,応、=* .1T*商册；(E.-2J在y舗上的段牌为 .泳 iS： r = ln-Ja1 +/

13、剤 Qs OT 19、丈抉樹井秋序布 彳砂jg/pcv)由=丁略，M 曲 =JO. -Jt#& +4 = 0 的划肝J6 _二 计tta.時pl sjh丼MSN須写岀主更少霁+21，求熙叙 mA + T1-*1-乂1-2 2-3+ 9)il. ft JM- LijiitK常 f 卩斶is，a f(x)= v + -j=-iniinx1 朮 广凶25. 由曲魏f = 国血说 y = x-2 扯 yn庙拥成的平iK!E舉的面祖庚 馬蹲聲转体的悴耳L為、3 /j = /(r+7.也 卓散廿方用 + 2y - 4xf-11?-魁Six較的SeK问闊科租请塾.3加+1弘迸腹用建强纵 & 问 肌工)在,；

14、上连地 布(fi.fr)由可#. JWHh、= g fl j(jr)*t.輕固切一 HiiMi仙即 内至护祥庇“血E .= aWy华中师范大学二0 0八年研究生入学考试试题n）设卫都是和阶方阵，且 过22的最大整数.二 对任正整数八都存在八A J3二()证明BA的秩JL.诙zr；小/.-SOq、此衣不头姒域.孙方阵丄/;/0! = 0t .1()满足 AB 0 而 BA.=（）征值和实特征向里.1丿T . 7）求实矩阵人的实特求才中所有的.4-不变子空间（实向1空间蹲的子空间称为儿不史的如果 如（7 7. F c其中V写为列向量丿买二次型？什么是化实二次型为平方和定理？什么是实.分J （-1!

15、谛叙述f么是头 次型的惯性定理？i 2 ；证明实二次型的惯性定理.分）设门维复向量空间F的线性变换卩满足卩二卩证明：F二山】卩K（-rP 其中11】表示V的像子空间，Ker V表示厂的核子空间 像子空间维数dim In.） V二怙八其中trP表示线性变换V的迹即P的丿听有特征根 计巫数）之和.分丿设2;/阶方阵JE:芥其中E是和阶单位矩阵.求4的特征多项式.求“的极小多项式.求.4的纟勺尔当标准形.考巻題请-律写在答題纸上，在试卷上作签无效.考试时间：元月16 a下午华中师范大学二o 一一年研究生入学考试试题院系、招生专业：数学与统计学学院各专业考试科目代码及名称：837,高等代数 (20分)

16、计算下列行列式2 + N2 +卅- 2 + 瑁2 +龙22 +於2 +吋2 + r 九2 +晡- 2 +瞪 (20分)设多项式与g(x)互素，并设严仗)+ /&)有重根，令f3gd)分别表示几巧,9(对的导数多项式.证明：严仗)+ g2(T)的重根是.严(Q + g，2(巧的根. (30分)设F是数域，V表示数域1F上所有次数小于n的多项式加上零多项式构成的线性空间.令 T:+、ijf明：丁是卩上的线性变换.证明：7o = l,7i = f,72 = 咛“冶严丄是V的基底.求T在上述基底下对应的矩阵.证明：丁在上述基底下对应的矩阵不能相似对角化. (20分)设T是实向量空间V上的线性变换，且满足T2 = idv,这里idv表示V上的恒等线性变换.定义两个子空间如下：Vi = V| T(v) = v, V2 = v V T(v) = -v. 证明：V =兀旳.5. (20分)设氏表示实数域，(叫表示R上所有实矩阵的集合.设A (叫是n阶实对称矩阵，E是单位矩阵，