材料力学教材(PDF)_clfla

1、附录A平面图形的几何性质材料力学中所讨论的各种构件，其横截面是具有一定几何形状的平面图形， 例如圆形、矩形等。构件的强度、刚度与图形的一些几何性质有关。例如计算轴 向拉压杆件的应力和变形时用到杆件的横截面面积。又如弯曲和扭转，在计算其 强度、刚度时要用到横截面的惯性矩、极惯性矩等。下面将对平面图形的一些几 何性质进行讨论。第一节形心和静矩一、形心与静矩的概念在理论力学中已建立了重心的概念。例如对图A-1所示厚度/极小的薄片,其重心的纵坐标比的计算式为儿=叶(a)dA式中站为微面积，y为重度，G为整个薄片 的重量。对于等厚度的均质薄片，G = tAy,代 入式(a)得到同理可得y d A1Ax

2、d AiA(A-1)图A-1形心与静矩由式(A-1)定出坐标值为xc、yc的C点，称为此薄片图形的形心。故等厚度均质 薄片物体的重心，即为此薄片图形(平面图形)的形心。上式中的微面积dA与其 坐标y的乘积ydA称为微面积dA对x轴的静矩，又称为面积矩。ydA在整个图形 的积分，称为面积A对坐标轴x的静矩，用Sx表示，即(A-2)Sx =Jy d Aja同理可得Sv = (xdA y Ja由式(A-2)可以看出，静矩不仅与图形的面积有关，而且与坐标轴的位置有关。静矩可以是正值、负值或者零，其单位为m3、cm3或mm3。将式(A-2)代入式(A-1),得(A-3)yc = S(A-4)c ASx

3、= AySy = AXC如果坐标轴通过图形的形心，则XC = 0、yc = 0,由式(A-4)可知，此时静矩 S Sy也等于零。即图形对通过形心的坐标轴的静矩等于零，因此，过形心的坐 标轴将图形分割成两部分，每部分图形对该轴的静矩大小相等，正负相反。反过 来，当图形对某坐标轴的静矩为零，则此坐标轴必过图形的形心。例如，对于图 A-2所示平面图形，它们都具有垂直对称轴y,则y轴两边的图形对y轴的静矩大 小相等，符号相反，即整个图形对y轴的静矩为零，形心必在y轴上。因此，当 图形有对称轴时，形心在此对称轴上。如果图形有两个对称轴，如图A-2a、b、c 所示，则两个对称轴的交点就是图形的形心。例A-

4、1求图A-3所示半径为r的半圆形对直径轴x的静矩及其形心坐标yc。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行 的窄条，其面积dA = 2jr 2 - y 2 dySx = wJr 2 _ yy助= -J：(r2 - y J1/2d(r、- y鋼=3r，代入式(A-3)得=乂 = 2r S = 4r_ C A nr2 / 23n二、组合图形的形心和静矩有些复杂图形可以看成是由简单图形(如矩形、圆形等)组合而成，故常称 为组合图形。根据分块积分原理，组合图形的静矩等于其各部分图形的静矩之和。例如，当A=Ai+Aii时，则(A-5)上式中的Sr、Sir分别为图形I、II的面

5、积Ai、Aii对x轴的静矩。注意到式(A-3) 和式(A-4),则有. Ai yc i + An yc ii yc =:；AI + AII 同理可以得到xc,写成通式有 TOC o 1-5 h z nn工 Aiya工 Aixayc = ，x =工A工Ai=1i=1式中Ao yc,、xc分别为各部分图形的面积及其形心坐标。根据式(A-5),利用简单图形的结果，可使复杂图形形心的计算简化。例A-2求图A-4所示图形的形心。解：将此图形分成I、II、III三个矩形，以图 形的垂直对称轴为y轴，过矩形II、III的形心且与 y轴垂直的直线取为x轴。则由式(A-5)得3工 Aiyayc =旦工A，i=1

6、mm = 38.75 mm(200 x 10) x (5 + 150) + 0200 x 10 + 2 x (10 x 300)由对称性知道xc=0。第二节 惯性矩 惯性积 惯性半径对于图A-1所示的平面图形，取微面积站与其坐标y平方的乘积，对整个 图形求积分，称为此图形对x轴的惯性矩，表示为同理，图形对y轴的惯性矩为(A-6)如果取微面积与其两个坐标(x, y)乘积对整个图形的积分，则称为此图 形对x与y轴的惯性积，即Ixy = xydA(A_7)当采用极坐标系时，微面积dA与其距极坐标原点O的距离0(见图A-1)的 平方乘积对整个图形的积分，称为此图形对坐标原点O的极惯性矩，表示为I p

7、=p2dA(A-8)由图A-1可以看出p2 = x2 + yS将此式代入式(A-8)IAIp = f p2dA = f (x2 + y 2)dA = (x 2dA + f y 2dAP JAJAJAJA1P = Jy + 1式(A-9)表明：图形对其所在平面内任一点的极惯性矩Ip, 等于此图形对过此点的一对正交轴x、y的惯性矩厶、厶之 和。因此，尽管过任一点可以作出无限多对正交轴，但图 形对过该点任一对正交轴的惯性矩之和为常数，其值等于 图形对该点的极惯性矩。由式(A-6)、式(A-7)、式(A-8)可以得到下列结论：惯性矩厶、厶和极惯性矩Ip恒为正值，惯性积& 可能为正值、负值，也可能为零。

8、如果图形有一个(或一个以上)对称轴，则图形对包含此对称轴的正交轴系的惯性积为零。如图A-5的图形关于y轴对称，图中左 方的与右方的站，数值相等，符号相反，由于所有的都成对存在， 故其总和为零。惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位均为m4、cm4或mm4。例A-3求图A-6所示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩厶、 厶和惯性积解：平行于x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，代入式（A-6）Ix =卜 2dA = J” y 2(bdy) = 3 y3h/2 = bh_-”/2 = 12(A-10)同理可得(A-11).=世 y = 12又因为x、y轴皆为对称轴，故厶y=0。例A-4求图A-7所

9、示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩厶、Iy 以及对圆心的极惯性矩Ip。解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心0为p处作宽度为dp的薄圆环，其 面积dA=2np dp,代入式（A-8）得d/2nd452(A-( d / 2p 41 p =JpdA = Jop2(2npdp) = 2U由于圆形的任意直径轴都是对称轴，故厶=厶。注意到式（A-9）,并利用式（A-12） 的结果，得到(A-13)当一个平面图形是由若干简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可以先算出 每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和，即得到整个图形对此轴的惯 性矩。可用下式表达为Ix =tIx，Iy =tIy(A-14)i

10、=1i=1例如对图A-8所示的空心圆，可以看作是山直径刀的实心圆减去直径d的圆, 由式（A-14）,可以得到nD4nd4nD4 门 4、=(1 -a )646464cs1iJdA !1csci i i ib/2 i b/2y*图A-6例题A-3图(A-16)式(A-15)、式(A-16)中的a = d/D。力学计算中，有时将惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即(A-17)或者改写为(A-18)式中?x和&分别称为图形对X轴和y轴的惯性半径，其单位为m cm或mm。第三节平行轴定理同一平面图形对两对平行的坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同。当其中一对 轴是图形的形心轴时，它们之间有较简单的关系

11、。现在介绍这种关系的表达式。图A-9表示一任意平面图形，xc、yc轴为过 形心C的一对正交轴(形心轴)，x、y轴分别与 xc、yc轴平行，C点在x、y坐标系中的坐标为(b, a),则按惯性矩定义=a2 J dA + 2aJ yc dA +Ix =y 2dA = (a + yc)2dA上式中的皿4 = A ,儿dA = 0 (因为丸过形心)，yCdA = I心 故Ix = Ixc + a2 A、同理Iy = I”c + b2 A (A-19)Ixy = Ixcyc + abA式(A-19)即为惯性矩和惯性积的平行轴定理。使用平行轴定理时要注意：xc、yc轴是形心轴，即已知图形对形心轴的惯性矩和惯

12、性积，求图形对与 形心轴相平行的任意轴的惯性矩和惯性积。不难发现，在所有的平行轴中，图形 对形心轴的惯性矩最小。和。是图形的形心C在如坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。 常见载面的形心及对形心轴的惯性矩如表A-1所示。例A-5求图A-4所示图形对过形心的xi、yi轴的惯性矩及惯性积。解：按例A-2将图形分成I、II、III三个矩形，先求出每个矩形对各自形心 轴X0、xo的惯性矩bh312200 x103 _12_4mm=1.667 x 104 mm410 x3003 _12_4mm=2.25 x 107 mm4然后采用平行轴定理计算每一矩形对整个图形的形心轴X1的惯性矩，形心位置利 用例A-

13、2的结果有厶x =厶x。+ aI2AI = 1.667 x 104 + (5 + 150 - 38.75)2 x (200 x 10)mm4 =2.704 x 107 mm4Iiix1 = Iiiix1 = Iiix0+ aii2An = 2.25 x 107 + 38.752 x (300 x 10)mm4=2.7 x 107 mm4相加即得组合图形对X1轴的惯性矩1x1 =厶 X1 +1 ii X1 + 厶 ii X1 = 8.104 x 107 mm4 同理，求组合图形对y1轴的惯性矩+ I ii y1+ I iii y110 x2003 _12_300 x 10312+ (100 5)

14、2 x (300 x 10)mm4由于截面关于yi轴对称，故惯性积IXiyi = 0。例A-6已知图A-10所示三角形对底边（xi 轴）的惯性矩为弘3/12,求其对过顶点的与底 边平行的X2轴的惯性矩。解：由于xi、X2轴均非形心轴，所以不能直 接使用平行轴定理，需先求出三角形对形心轴 XC的惯性矩，再求对X2轴的惯性矩，即使用两 次平行轴定理xcx12 A 一 理 _ h 丫 bh 一 bhLai = 12 _l3丿 2 = 362 A = bh ( 2h Y bh = bh乜 r + a2=36 +l 3 丿 2=4表A-1常见截面的形心及对形心轴的惯性矩截面形状面积形心位置惯性矩11nx

15、A = bh矩形中心r bhIX =x 12 hb1 = IT2A = - bh2hyc =C 3r bh lx =x 363tB - IwzrA = -1(a + b)hh(2a + b) yy： = 3(a + b)ih3(a2 + 4ab + b2)x =36(a + b)(续)截面形状面积形心位置惯性矩4n d 24圆心厶=ly旦x y 645xA,nD2nd2A =44= 畔(1-伉2)4(a = d / D)圆心Ii兀 D4 nd4x = y = 6T - 6T nD4 “4、64d6A 2nRQt圆心1 x = 1 y 总 nR0t7y4ixAnR2A =24Ryc =-：3nl

16、x =P-邑r4x (89n 丿总 0.109 8R4nR4* =I8ytxA = aR22R sin a,r4(.K =(a + sin a cos a -x 4 16sln2 a、yc3a9aIy = R- (a - sin a cos a)9Jsba j axA = nab椭圆中心nab3lx =x4nba3 1=ri第四节 转轴公式 主惯性矩上节讨论的平行轴定理，表示了图形对两对相互平行坐标轴的惯性矩和惯性 积之间的关系。现在讨论一对正交轴绕其原点在图形平面内转过一个角度后，平面图形对旋转前后两对正交轴的惯性矩和惯性积之间的关系。一、转轴公式图A-11所示平面图形对以0点为原点的仏y轴

17、的惯性矩和惯性积分别为1 =1XA 1 =卜 A g =用必现将x、y轴绕0点旋转a角（规定逆时针旋转的a为正），转到xi、刃轴位置，则 由图可知微面积dA在新坐标系Oxiyi下的坐标x1 = oc=0E+bD = x cos a + y sin aJi = AC = AD - FBI = y cos a 一 x sin a所以=J y； tdA =J (y2 cos2 a - 2xy sin a cos a + x2 sin2 a)dA =Ix cos2 a - 2Ixy sin a cos a + Iy sin2 a将上式进行三角变换得到同理可得= d +2cos 2a 一 Ixy sin 2a2 xyyicos 2a + Ixy sin 2axy(A-20)(A-2I)式（A-20）式（A-22）称为转轴公式。二、主轴、主惯性矩由式（A-22）可以看出，惯性积厶iyi是转 角a的函数，当a在0。3