七年级数学培优竞赛培训(32讲)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业七年级数学培优竞赛培训（32讲）（初中生数学报）特别说明：本试卷为最新七年级数学培优竞赛教材培训。全套培训共32讲。培训内容如下：第1讲-走进美妙的数学世界第2讲-跨跃从算术到代数第3讲-创造的基石观察、归纳与猜想第4讲-数轴数与形的第一次碰撞第5讲-解读绝对值第6讲-计算工具与算法的变迁第7讲-物以类聚话说同类项第8讲-一元一次方程第9讲-绝对值与一元一次方程第10讲-列方程解应用题有趣的行程问题第11讲-列方程解应用题设元的技巧第12讲-社会、生活、经济情境应用题第

2、13讲-一次方程组第14讲-一次方程组的应用第15讲-倾斜的天平由相等到不等第16讲-不等式(组)的应用第17讲-整式的乘法与除法第18讲-乘法公式第19讲-丰富的图形世界第20讲-线段第21讲-角第22讲-平行线的判定与性质第23讲-简单的面积问题第24讲-质数、合数与因数分解第25讲-奇数、偶数与奇偶分析第26讲-整数整除的概念和性质第27讲-不定方程、方程组第28讲-计数方法第29讲-最值问题第30讲-创新命题第31讲-代数式的值第32讲-最大公约数与最小公倍数第一讲 走进美妙的数学世界 从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人

3、类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系 走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念； 走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案； 走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息； 走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我

4、赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构”例题【例1】 (1)我们平常用的数是十进制数，如26392103+6102+3109，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中1011 22+0 21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数 (浙江省金华市中考题)(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某

5、种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称之为数字“黑洞” (青岛市中考题) 思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律 【例2】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是( ) AC队 BD队

6、CL，队 DF队 (第18届江苏竞赛题) 思路点拨 用算术或代数方法解，易陷入困境用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形(如图后来，又用它们分别拼出了X、Y、Z等字母模型(如图，图，图)，如果每块塑料板保持图的标号不变，请你参与： (1)将图中每块塑料板对应的标号填上去； (2)图中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号，(3)在图中，请你适当画

7、线，找出7块塑料板，并填上标号(2002年烟台市中考题) 思路点拨 动手实验、操作从对图形分割人手 链接 数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常有助于问题的解决 【例4】 根据图和图回答问题： (1)1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业?(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技术产业工业总产值比1997年增长率是多少?(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业?(2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表

8、中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】 一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由 (重庆市竞赛题)思路点拨 设所求的四位数为，由题意可得关于、的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出、的值 注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标链接 阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是

9、语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力读数学书，要边读书边思考对于概念，要抓住关键词句推敲，从概念间的相互联系中去掌握概念；对于公式、法则、性质等，要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用的范围；对于例题，要自己先动手做一做，再与书上的解答对照，找出知识上的缺陷、错误，并从中总结适用知识的规律 学力训练 1观察下列顺序排列的等式：90十11，91+2=11， 92+321， 93+431， 9 4+5=4l，猜想：第年n个等式应为 (2003年北京市中考题)2如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上

10、摆20(即n=20)时，需要的火柴棍总数为 根 (河北省中考题)3世界杯中，中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在C组。赛前，50名球迷就C组哪支球队将以小组第二名进入十六强进仃猜测，统计结果则图，认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比为 ( “希望杯”邀请赛试题) 4自然数、e都大于1，其乘积，则其和的最大值为 ，最小值为 5若一个正整数被2，3，9这八个自然数除，所得的余数都为l，则的最小值是 ，的一般表达式为为 63个质数、满足，且，那么等于( ) A2 B3 C 7 D13 (第18后江苏省竞赛题)7如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，l，2，

11、3，4，3，2，的规律报数，那么第2003名学生所报的数是( )A 1 B2 C3 D48如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直 角三角形的两条直角边不相等)，把两个三角形相等的边靠在 一起(两张纸片不重叠)，可以拼出若干种图形，其中，形状不同 的四边形有( )A3种 B4种 C5种 D6种9下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是( )10设“”、“”、“曰”表示三种不同的物体，用天平比较 它们质量的大小，两次情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( )A、 B、C、 D、(江西省中考题) 11用一个两位数去除2003，余数是8

12、，这样的两位数有 个，其中最大的两位数是 12如果是任意2个不等于零的数，定义运算如下(其余符号意义如常)：=，那么1（23） 一（12）3的值是 13如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去试利用图形揭示的规律计算： (南宁市中考题)14观察下图，三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱由此可推测n棱柱有(n+2)个面 个顶点 条棱15某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10，三月份比二月份减少10，那么三

13、月份比一月份( ) A增加10 B减少10 C不增不减 D减少1 (河南省中考题)16三进位制数201可用十进位制数表示为232+031+129+0+119； 二进位制数1011可用十进位制数表示为123+022+12+18+0+2+1=11现有三进位制数=221，二进位制数10111，则与的大小关系为( ) A B= Ca原售价：800元，台甲商场用如下办法促销：购买台数15台610台1115台1620台20台以上每台价格760元720元680元640元600元乙商场用如下办法促销：每次购买18台，每台打九折；每次购买916台，每台打八五折；每次购买1724台，每台打八折；每次购买24台以上

14、，每台打七五折； (1)请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；(2)现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C 单位要买20台VCD问他们到哪家商场购买花费较少? (第14届“希望杯”邀请赛试题) 22如图是一张“3 5”(表示边长分别为3和5)的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同 (1)能否分成5张满足上述条件的纸片? (2)能否分成6张满足上述条件的纸片?若能分，用“ab”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由(江苏省竞

15、赛题) 第一讲 走进美妙的数学世界参考答案第二讲 跨越从算术到代数 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用 例题【例1】观察下列等式 9l=8， 16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等

16、式表示出来： (河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律注：从个别事物中发现一般性规律这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。【例2】 某商品2002年比2001年涨价5，2003年又比2002年涨价10，2004年比2003年降价12，则2004年比2001年( ) 九涨价3 B涨价164 C涨价12 D降价12 (“TRUIY信利杯”竞赛题) 思路点拨 设此商品2001年的价格为元，把相应年份的价格用的代数式表示，由计算作出判断 例3】 计算 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母

17、，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算【例4】 有张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经次分割后，共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？1913思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引

18、进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件注： 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求” 学力训练1给出下列算式：

19、l2+1=12，22+2=23， 32 +3=34， 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： (福州市中考题)2已知：，若 (为正整数)，则a+b= (2003年武汉市中考题)3若（m十n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要 天 (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)4某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 (河南省竞赛题)5一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天 A B C. D6某专卖店在统计20

20、03年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10，三月份比二月份减少10，那么三月份比一月份( ) A增加10 B减少10 C不增不减 D减少1 (河南省中考题)7如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( ) Abc-ab+ac+c2 Bab-bc-ac+c2 Ca2 +ab+bc-ac Db2-bc+a2-ab(河北省中考题) 8为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是( ) AS1S2 BSl0)，用表示三角形ABC

21、的面积为 (“希望杯”邀请赛试题)13已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 14用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第n个图案中有白色地面砖 块 (2003年南昌市中考题)15下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ) A,t950 B C D (江苏省竞赛题)16给出两列数：l，3，5，?，9，2001和1，6，1l，16，21，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( ) A199 B200 C 201 D202 (重庆市竞赛题)17种商品每件进价为a元，按进价增加2

22、5定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( ) A0.125a B0.15a C0.25a D1.25a (山东泰安市中考题)18如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小时数是( ) A B C D19已知 (n=l，2，3，2002)求当时， 的值20在次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛培训书为一份奖品则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛培训书为一份奖品则可买80份奖品问这 笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛培训书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)，21阅读下列材料：十六大

23、提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各类家庭的思格尔系数如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕6050n604050304030 根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元 求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? (2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系

24、数为（rn为正整数）请用rn的代数式表示该乡平均每户当年的思格尔系数，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)(3)按这样的发屉，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)第二讲 跨越从算术到代数参考答案第三讲 创造的基石观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长

25、达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石例题【例1】 (1)用表示实圆，用表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： 问：前2001个圆中，有 个空心圆 (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的

26、差为 (舟山市中考题)思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A40个 B45个 C50个 D55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系是解本例的关键 【例3】化简 (第18届江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确 【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干

27、有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解 注： 观察是解决问题的先导，发现往往走从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径： (1)数与式的特征观察

28、；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律嘎证明通过归蚋所猜测的规律的正确性图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图图顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d) (1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好) (2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边? ( “华杯赛”

29、决赛试题)思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键学力训练1(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是 (2001早浙江省绍兴市中考题) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 (第1题)(2)观察列数：3，8，13，18，23，28，依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是 (2003年金华市中考题)2如图是2002年6月份的日历现用一矩形在日历中任意框出4个数 ，请用，一个等式表示之间的关系： (安徽省中考题)3下面由火柴棒拼出

30、的一列图形中，第个图形由个正方形组成通过观察可以发现；(1)第4个图形中火柴棒的根数是 ；(2)第个图形中火柴棒的根数是 (江西省中考题)4小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是8时，输出的数据是( )输入12345输出A B C D (2003年重庆市中考题)5，在以下两个数串中： 1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，1990，1993，19961990同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个 A333 B334 C335 D336 (“希望杯”邀请赛试题)6图是一个水平摆放的小正方体木块，图、是由这样的

31、小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )A25 B66 C91 D120 (2003年宁波市中考题)7一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是l，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前100个数中(包括第100个数)，有多少个偶数? (“华杯”赛试题)8自然数按下表的规律排列(1)求上起第10行，左起第13列的数； (2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题)9(1)观察下列各式，你会发现什么规律? 3515， 而15=42一1，5

32、735， 而3562一l， 1ll3143， 而143=122一l 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 (2000年济南市中考题)（2）将l，按一定规律排成下表： 从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是，第5行中从左向右第2数是，那么第199行中自左向右第8个数是 ，第1998行中自左向第11个数是 (希望杯”邀请赛试题)10有一列数，其中； ；则第个数 ；当2001时，n (江苏省竞赛题)11一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为 (重庆市竞赛题)12用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个

33、正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n3)盆花那么所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示为 ( “希望杯”邀请赛试题)13如果一个序列满足, (n为自然数)，那么是( ) 9900 B9902 C9904 10100 E10102 (新加坡数学竞赛题)14将正偶数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根据上面排列规律，则2000应在( ) A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 (2001年湖北省荆州市中考题)15(1)设n

34、为自然数，具有下列形式的数是不是两个连续奇数的积，说明理由 (2)化简，并说明在结果中共有多少个奇数数字? 16(1)图是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图、的木块 我们知道，图的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图、图顶点数棱数面数8126中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：2观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是： (3)图是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 17怎样的两个数，它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+222其实这样的两个数

35、还有很多，例如： (1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗? (2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究18观察按下列规则排成的一列数： ，（） (1)在（）中，从左起第个数记为F(m)，当时，求的值和这个数的积 (2)在（）中，未经约分且分母为2的数记为，它后面的一个数记为d是否存在这样的两个数和d，使，如果存在，求出和d；如果不存在，请说明理由。(湖北省竞赛题)第三讲 创造的基石观察、归纳与猜想参考答案第四讲 数轴数与形的第一次碰撞 为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所

36、具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象 数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想数形结合思想 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： 1运用数轴直观地表示有理数； 2运用数轴形象地解释相反数； 3运用数轴准确地比较有理数的大小；4运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题例题 【例1】(1)数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是一2，且

37、A、B两点的距离为3，那么点D对应的数是 (江苏省竞赛题)(2)在数轴上，点A、B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是 (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)确定B点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系 【例2】 如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( ) 思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF的长度 【例3】比较与的大小 思路点拨 因为表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由无意义得出，据此3个数把数轴分

38、为6个部分【例4】（1）阅读下面材料并回答问题28(02南京市) (1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图1，ABOBb=ab当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边ABOBOAb|a|= b a=|a b|；如图3，点A、B都在原点的左边，ABOBOAb|a|= b a=|a b|；如图4，点A、B在原点的两边，ABOBOAb|a|= b (a)=|a b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|ab| (2)回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表

39、示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3的两点之间的距离是 ； 数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是 ,如果AB2用么x为； 当代数式x+1十x2取最小值时，相应的x的取值范围是 (2002年南京市中考题) 注： 有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求 从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括： (1)数轴上堵塞点所表示的数是正负性； (2)数轴上的点到原点的距离 (1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予宇母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程(2)纯粹

40、的代数的方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化(2)试求x-1十x2+x3+x1997的最小值 (天津市竞赛题) 思路点拨 对于(1)，阅读理解从数轴上看，的意义；对于(2)由于x的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助(1)的结论解题 【例5】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短? (2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走

41、的路程之和最短? (3)当流水线上有n个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型数轴，将问题转化为例4的形式求解学力训练1在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则 2在数轴上的位置如图所示，则中最大的是 3有理数在数轴上的位置如图所示，若 ，则，则1000m ( “希望杯”邀请赛试题)4如图，工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人，且ABBCCD1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是 5有理数在数轴上的位置如图，化简的结果为( ) Aa+c B-a-2b+c Ca+

42、2b-c D-a-c 6如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数，且=10，那么数轴的原点应是( ) AA点 BB点 CC点 DD点 (第15后江苏省竞赛题)7的最小值是( ) A2 B0 C1 D一l8数所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是( ) A B= C D不确定的 (江苏省竞赛题)9已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3求所有满足条件的点B与原点O的距离的和 (北京市“迎春杯”竞赛题)10已知两数，如果比大，试判断与的大小11有理数满足，用“”将连接起来 12的最小值是 13已知数

43、轴上表示负有理数的点是点M，那么在数轴上与点M相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是 (山东省竞赛题)14若，则使成立的取值范围是 (武汉市选拔赛题)15如图，A、B、C、D、E为数轴上的五个点且ABBC=CD=DE，则图中与P 点表示的数比较接近的一个数是（ ） (河南省竞赛题)A一l B1 C 3 D5 16设，则下面四个结论中正确的是( ) A没有最小值 B只有一个使y取最小值 C有限个(不止一个)y取最小值 D有无穷多个使y取最小值17不相等的有理数在数轴上对应点分别为A、B、C，若，那么点B( ) A在A、C点右边 B在A、C点左边 C在A、C点之间 D以上均有可能18试求的

44、最小值19电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到Kl，第二步由Kl向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到，第四步由K3向右跳4个单位到K4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，试水电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数20如图，在数轴上（未标出原点及单位长度）点A为线段BC的中点，已知点A、B、C对应的三个数之积为负数，这三个数之和与其中一数相等，设为三数中两数的比值，求的最大值和最小值21某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：A1、A2、A3、A4、A5，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各校的电脑数

45、相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数(湖北省荆州市竞赛题) 第四讲 数轴数与形的第一次碰撞参考答案第五讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l去绝对值的符号法则：2绝对值基本性质非负性：；3绝对值的几何意义 从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离例题【例1】(1)已知，且，那么 (北京市“迎春杯”

46、竞赛题)(2)已知是有理数，且，那么 ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+1625这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解【例2】 如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( ) A0 B 1或一l C2或一2 D0或一2 (山东省竞赛题) 思路点拨 根据的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键【例3】已知互为相反数，试求代数式：的值 (“五羊杯”竞赛题)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值 【例4】化简 (1)； (2)； (3) 思路点拨 (1)就两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一

47、数轴上表示出来，就，1x”号连接)； (3)求证：32002+42002是5的倍数 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：乘方意义；乘方法则；与的奇偶性相同；在中(，r为非负整数，0r4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，? 的个位数字与的个位数字相同注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到： （1）证明：可以得到22；（2）证明；可以得到学力训练1

48、（1）计算：211（-455）+365455-211545+545365+ ； （2）若，则的大小关系是 （用“”号连接）2计算：（1） ；（2）= ；（3）= ；（4） 3在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立：6 3 2 12=2441999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的 又得到一个数，依次类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是 5根据图所示的程序计算，若输入的x值为，则输出的结果为（ ）A B C D (北京市海淀区中考题)6已知，则abc=（ ）A 一1 B3 C 一3 D1 ( “希望杯”邀请赛试题)7如果有

49、理数满足关系ab0”、“=”、“”号) 12 23； 23 32；34 43；45 54； 56 65；(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是 (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小 15如果，则的值为( ) A一1 B1 C土1 D不确定 (2003年河北省竞赛题)16如果ac1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣第七讲 物以类聚话说同类项参考答案第八讲 一元一次方程 早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，

50、把所有的代数问题转化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性 一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论 解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论： 1当时，方程有惟一解；2当时，方程无解； 3当时，方程有无数个解例题 【例1】 (1)已知关于I的方程和有相同的解，那么这个

51、解是 (北京市“迎春杯”竞赛题)（2）如果，那么n (江苏省竞赛题)思路点拨 (1)设法建立关于a 等式，再解关于a的方程求出a的值；(2)恰当地解关于n的一元一次方程注： 对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础，后者是机智只有真正掌握一般步骤，才能“热能生巧” 方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用： (1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题；(2)代解：将方程的解代入原方程进行解题当地解关于n的一元一次方程 【例2】 当b=1时，关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a等于( ) A2 B一2 C

52、D不存在 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 将b=1代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建立a的等式 【例3】 是否存在整数k，使关于k的方程(k一5)x+6=15x；在整数范围内有解?并求出各个解 思路点拨 把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k【例4】 解下列关于x的方程 (1)4x+b=ax-8； (a4) (2)mx-1nx； (3) 思路点拨 首先将方程化为ax=b的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论 【例5】已知都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p十101q+4的值 (“希望杯”邀请赛试题) 思路

53、点拨 用代解法可得到的关系式，进而综合运用整数相关知识分析 注：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本性质化成整数；(4)逼用整体思想，即把含有求知数的代数式看作一个整体进行变形学力训练1已知x=一1是关于x的方程7x3一3x2+kx+5=0的解，则k3+2k2

54、-11k-85= (“信利杯”竞赛题)2方程的解为 ；解方程，得x= 3已知关于x的方程2a(x一1)(5一a)x+3b有无数多个解，那么a (“希望杯”邀请赛试题)4和方程x一33x+4不同解的方程是( )A7945911 BC(a2+1)(x一3)(3x+4)(a2+1) D(7x一4)(x1)(5x一11)(x一1)5已知a是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1； (2)方程axa的解是x1(3)方程ax=1的解是x； (4)方程的解是x1，结论正确的个数是( ) A0 B1 C 2 D3 (江苏省竞赛题)6方程的解是（ ）A B C D7已知关于x的一次方程（3a+8

55、b）x+7=0无解，则ab=( ) A正数 B非正数 C负数 D非负数 8解关于x的方程：（1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)9A为何值时，方程有无数个解？无解？10已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解为 11已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = 12已知，那么代数式的值为 13若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则x = 14有4个关于x方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x

56、=0 (4)其中同解的两个方程是（ ）A（1）与（2） B（1）与（3） C（1）与（4） D（2）与（4）15方程的解是（ ） A1995 B（1996 C1997 D 199816已知，且，那么的值为（ ）A B4 C D417若k为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000 x的解也是整数的k 值有（ ）A4个 B8个 C12个 D16个 (“希望杯”邀请赛试题)18若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本，每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几个?有多少本书?19下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x的值(上海市竞赛题)5AB

57、CDEFXGHE1020如果a、b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的值 (山东省竞赛题)21将连续的自然数11001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：(1)1988；(2)1991；(3)2000；(4)2080这是否可能?若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数(河北省竞赛题) 22(第12届“希望杯”竞赛试题)若k为整数，则使得方程(k1999)x=20012000 x的解也是整数的k值为( ) A4个 B8个 C 12个 D16个第八讲 一元一次方程参考答案第九讲 绝

58、对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解前者是通法，后者是技巧 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法 例题【例1】方程的解是 (重庆市竞赛题) 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解【例2】 适合的整数a的值的个数有( ) A5 B4

59、C 3 D2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径 注：形如的绝对值方程可变形为且，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验【例3】解方程：；思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程(天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1) (北京市“迎春杯”竞赛题) (2) (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解 【例5】已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这

60、个方程的解进行讨论 思路点拨 方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究学力训练 1方程的解是 ；方程的解是 2已知，那么x 3已知，那么19x99+3x+27的值为 4关于x的方程的解是x=0，则a的值 ；关于x的方程的解是x=1，则有理数a的取值范围