2022年东北三省四市高三模拟考试即长春三模

1、2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数 学(文科 ) 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分， 满分 150 分.考试时间为 120 分 .考试结束后，将试卷和答题卡 钟，其中第卷 22 题 24 题为选考题，其它题为必考题 一并交回 . 注意事项：1 答题前， 考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条在形码区域内 . 2 选择题必须用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；草稿

2、纸、试题卷上答题无效. 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第卷 （选择题，共60 分）一、选择题（本大题包括12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.若3z2 i1i，则 zA.15iB. 1 25iC.15iD.15i22222222.若集合A 2, 1,0,1,2，则集合 y yx1 ,xA A. 1,2,3B.0,1, 2C.0,1,2,3D. 1,0,1,2,33.直线 l ：xmy2与圆 M ：x22xy22y0相切，则 m 的值为4.A.1 或-6 B.1 或-7 n中，C.-

3、1 或 7 D.1 或1 7a 10a 12各项都是正数的等比数列a3a ，1a，2a 成等差数列，则2a 8a 10A. 1B. 3C. 6D. 95.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r6.A. r 2r 40r 3r 1B. r 4r 20r 1r 3C. r 4r 20r3r 1D. r 2r 40r 1r 3函数f x ( )3cos2xlog2x1的零点个数为27.A.2 B.3 C.4 D.5 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是8.1 ，则判断框内应填入的条件是 63A. i 4 C

4、.i 5 函数f x ( )Asin(x6)(0) 的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为2g x ( ) A cos x 的图像只需将的等差数列，要得到函数 f x 的图像9.10.11.12.A.向左平移6B.向右平移3C.向左平移2 3D.向右平移2 3若满足条件AB=3 ，C=3的三角形 ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是A. 1,2B.2,3C.3,2D.2,2现有 2 名女教师和1 名男教师参加说题比赛，共有2 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A.1 3B.2 3C.1 2D.3 42 2x y双曲线 2 2 1

5、( a 0, b 0)，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于a bM 、 N 两点，O是坐标原点，满足 OM ON ，则双曲线的离心率为A.127B. 125C.123D.122四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心O在同一平面内， 当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于44 3 ，则球 O的体积等于A.432B.832C.1632D.32 32第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22 题 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题 (本大题包括 4

6、 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ). 13. 平面区域 1 x y 1的周长为 _. 6 51 x y 1正视图 侧视图14. 某长方体的三视图如右图，长度为 10 的体对角线在正视图中的长度为 6 ，在侧视图中的长度为 5 ，则该长方体的全面积为 _. 俯视图15. 等差数列 a n 的首项为 a ，公差为 d ，其前 n 项和为 S ，则数列 S n 为递增数列的充分必要条件是 _. x 116. 如果直线 2 ax by 14 0 ( a 0, b 0) 和函数 f ( ) m 1 ( m 0, m 1) 的2 2图像恒过同一个定点，且该定点始终落在

7、圆 ( x a 1) ( y b 2) 25 的内部或圆上，那么 b 的取值范围是 _. a三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分 12 分）ur r在 ABC 中，向量 m (2 cos B ,1)，向量 n (1 sin B , 1 sin 2 B )，且满足ur r ur rm n m n . 求角 B 的大小；求 sin A sin C 的取值范围 .18.（本小题满分 12 分）2012 年 2 月份， 从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率 . 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示

8、：求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差；求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20 年的概率；求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限19.（取过剩近似整数值）. AA 1底面ABCD, 2. A 1D1C 1（本小题满分12 分）已知四棱柱ABCDA B C D 中，ADC90 o ， ABCD ，ADB1CCDDD12AB求证：AD 1B C ；求四面体A BDC 的体积 . ADB20.（本小题满分 12 分）2 2已知 F 1 , F 分别为椭圆 x2 y2 1 ( a b 0) 的左右焦点，M N 分别为其左右顶a b点，过 F 的直线 l 与椭圆相交于 A B 两点 . 当直线

9、l 与 x 轴垂直时，四边形 AMBNuuuur uuur uuuur的面积等于 2，且满足 MF 2 2 AB F N . 求此椭圆的方程；uuur uuur uuur uuur当直线 l 绕着焦点 F 旋转但不与 x 轴重合时，求 MA MB NA NB 的取值范围 . 21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x ( ) x ln x . 讨论函数 f x 的单调性；对于任意正实数 x ，不等式 f x ( ) kx 1恒成立，求实数 k 的取值范围；2求证 :当 a 3 时，对于任意正实数 x ，不等式 f a x ) f a ( ) e 恒成立 . x请考生在 22、23、24 三

10、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 . 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为A，M为PA的中点，过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B C 两点，且BMP 100 o，BPC 40 o. 求证：MBP 与 MPC相似；求 MPB 的大小 . 23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲 . 在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 x sin cos( 为参数 )，若以该y sin 2直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为：sin

11、( ) 2 t （其中 t 为常数） . 4 2若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点，求 t 的取值范围；当 t 2 时，求曲线 M 上的点与曲线 N上点的最小距离 . 24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 . 已知函数 f x ( ) | x 1| | 2 x 2|.解不等式 f x ( ) 5；若关于x的方程 1 a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 . f ( ) 42012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试数学( 文科) 参考答案及评分标准一、选择题 ( 本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.

12、C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：3 2 i 1 51. C 由已知 z i . 故选 C. 1 i 2 22. C 将 x 2 , ,1 0 ,1, 2 逐一带入 y x 1 ,得 y=0,1,2,3 ，故选 C. 3. B 圆的方程化为 ( x 1) 2( y 1) 22，由直线与圆相切，可有 mm 2 31 2 ,解得 m 7 或 . 故选 B. 4. D 由已知 a 3 3 a 1 2 a 于是 q 23 2 q ,由数列各项都是正数，解得 q 3 , a 10 a 12 2q 9 . 故选 D. a 8 a

13、 105. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r 2 r 4 0 r 3 r . 故选 A6. B 在同一坐标系内画出函数 y 3cos x 和 y log 2 x 1的图像，可得交点个数2 2为 3. 故选 B. 7. C 初始值 i ,1 T 0 , P 15，第一次循环后 i 2, T 1, P 5，第二次循环后i 3, T 2, P 1，第三次循环后 i 4, T 3, P 1，第四次循环后 i 5, T 4, P 1，7 63因此循环次数应为 4 次，故 i 5 可以作为判断循环终止的条件 . 故选 C. 8. A 由条件知函数 f x 的周期为，可知 2 ，即函数 f

14、 x ( ) A sin(2 x )，6g x ( ) A cos2 x ，可将 g x 化为 g x ( ) A sin(2 x )，由此可知只需将 f x 向2左平移 个单位即可获得 f ( x ) A sin 2 ( x ) A sin( 2 x ) A cos 2 x .6 6 6 6 2故选 A. 9. C 若满足条件的三角形有两个，则应 3sin C sin A 1，又因为2BC AB 2，故 BC 2 sin A，3 BC 2 . 故选 C. sin A sin C110. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为 . 故选 C. 2211. B 由题意可有：c b，由此求得 e

15、1 5 . 故选 B.a 212. B 由题意可知四棱锥 S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径 R ，且四棱锥的高 h R ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为 2R 的正三角形，底面为边长为 2R的正方形，所以该四棱锥的表面积为 2 R 24 ( 1 2 R 2 R sin60 )o (2 2 3) R24 4 3，2于是 R2 2 , R 2，进而球 O 的体积 V 4R 3 42 2 8 2. 故选 B. 3 3 3二、填空题 ( 本大

16、题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 3 413. 4 2 14. 4 6 5 15. d 0 且 d a 0 16. 4 3 , 简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为 2 的正方形，故其周长为 4 2 . 14. 由体对角线长 10 ，正视图的对角线长 6 ，侧视图的对角线长 5 ，可得长方体的长宽高分别为 5 ，2， 1，因此其全面积为 2( 5 1 5 2 1 2) 4 6 5 . 15. 由 S n 1 S n，可得 ( n 1) a ( n 1) n d na n n 1) d ，整理得 dn a 0，而2 2n N，所以 d 0 且 d a 0 . 因此

17、数列 S n 单调递增的充要条件是 : d 0且 d a 0 . x 116. 根据指数函数的性质，可知函数 f ( ) m 1( m 0, m 1) 恒过定点( 1,2). 将点 ( 1,2) 代入 2 ax by 14 0，可得 a b 7 . 由于 ( 1,2) 始终落在所给圆的内部或圆上，所以 a 2b 225 . a b 7 a 3 a 4由 2 2，解得 或，这说明点 ( , ) a b 在以 A (3, 4) 和 B (4,3) 为a b 25 b 4 b 3b端点的线段上运动，所以 的取值范围是a三、解答题 ( 本大题必做题 5 小题，三选一选17. ( 本小题满分 12 分)

18、 3 4 , . 4 31 小题，共 70 分 )【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识 . 【试题解析】解：由 urm n rm urn r，可知 urm rn ur rm n 0 . ur r然而 m (2cos B ,1), n (1 sin B , 1 sin 2 )，所以有m n ur r2cos B sin 2 B 1 sin 2 B 2cos B 1 0，得 cos B 12 , B 60 o .(6 分) sin A sin C sin A sin( 120 A ) 3 sin A 3 co

19、s A 3 sin( A 30 ) .(9 分)2 218.又 0oA120o ，则 30oA30o150o，1 2sin(Ao 30 )1，,3.（ 12 分）所以3sinAsinC3, 即 sinAsinC 的取值范围是(322( 本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、19.平均值的求取以及概率的初步应用. 【试题解析】 解：贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值x20.s2(1020)2(1520)2(2020)2(2520)2(3020)250，5所以标准差s5 2. (4 分) 所求概率PP 1P 2P 3101

20、0259. (8 分) 80808016平均年限n10 10 10 1520 2525 2015 3022(年 ). 80(12 分) ( 本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以20.及几何体体积的求法. 【试题解析】 解：由四边形ADD1A 1是正方形，所以AD1A 1D. 又AA 1平面ABCD ，ADC90，所以AA 1DC,ADDC，而AA 1IADA，所以DC平面AA1D1D，AD1DC. 又A DIDCD，所以AD1平面A 1DCB1，从而AD1B 1C. (6分) 设所给四棱柱的体积为V，则VS ABCDAA 16，又三棱

21、锥A1ABD的体积等于三棱锥BA 1D1C 1的体积，记为V ，三棱锥DA 1D 1C1的体积又等于三棱锥C1CBD的体积，记为V .而V1112122，V 2112224，323323所以所求四面体的体积为V2 V 12 V 22. (12 分) ( 本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识12a.b2,2【试题解析】 解：当直线 l 与 x 轴垂直时，四边形AMBN 面积 : 22a得b21. 又uuuur MF 2auuur c AB2 b2,uuuur F Nac，于是

22、ac2b2ac，得2aa2ac 2，又 a 2c 21，解得 a 2 .因此该椭圆方程为 xy 21 . (4 分) 2x my 1(2) 设直线 l : x my 1，由 x 22 消去 x 并整理得：( m 2 2 ) y 2 2 my 1 0 . y 12设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )，则有 y 1 y 2 2 2 m, y 1 y 2 2 1. (6 分) m 2 m 2由 MA ( x 1 2 , y 1 )，MB ( x 2 2 , y 2 )，NA ( x 1 2 , y 1 )，NB ( x 2 2 , y 2 )，可得 MA MB NA

23、NB 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 4 . (8 分) 2x 1 x 2 y 1 y 2 ( my 1 1 )( my 2 1 ) y 1 y 2 ( m 21 ) y 1 y 2 m ( y 1 y 2 ) 1 2 m2 1 , m 2所以 MA MB NA NB 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 4 102 . (10 分) m 2由于 m R,可知 MA MB uuur uuur uuur uuurNA NB 的取值范围是 (0,5 . (12 分) 21. ( 本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数

24、的单调性、极值以及函数零点的情况 . 【试题解析】 解：令 f () x ln x 10 ,得 x 1. e1 1当 x (0, ) 时，f ( ) 0；当 x ( , ) 时，f ( ) 0 . e e所以函数 f x 在 (0, 1 ) 上单调递减，在 ( 1 , ) 上单调递增 . (3 分 ) e e1 1由于 x 0，所以 fx ( ) xxk x k ln x . 2 2 x1 1 1 2 x 1 1构造函数 k x ( ) ln x，则令 kx () 2 2 0，得 x . 2 x x 2 x 2 x 2当 x (0, 1 ) 时，k x ( ) 0；当 x ( 1 , ) 时，

25、k x ( ) 0 . 2 2所以函数 k x 在点 x 1处取得最小值，即 k x min k () 1ln 11 1 ln 2 . 2 2 2因此所求的 k 的取值范围是 ( ,1 ln 2) . (7 分) f a x ) f a ( ) e x( a x )ln( a x ) a ln a e x ( a x )ln(a x a x ) a lna a. e e22.构造函数g x ( )xlnx，则问题就是要求xg ax)g a 恒成立 . (9 分 ) ex对于g x 求导得( )(lnxx 1) exlnx exlnx1xlnx. g2 eex令h x ( )lnx1xlnx ，

26、则1 h x ( )x，从而函数lnx1，显然h x 是减函数 . 当x1时，h x ( )h(1)0h x 在 (1,) 上也是减函数 . 从而当x3时，h x ( )h e ( )lne1elne2e0，即g( )0，即函数g x ( ) x lne x x 在区间 (3,3 时，对于任意的非零正数) 上是减函数 . 3，进而有g ax)g a 恒成当ax ，axa立，结论得证 . (12 分) ( 本小题满分10 分) 【命题意图】 本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容. （5 分）（10 分）【试题解析】 解：因为 MA 为圆的切线，所以MA2MB MC又 M 为 PA 中点，所以MP2MB MC . 因为BMPPMC ，所以BMP 与PMC 相似 . 由中BMP与PMC相似，可得MPBMCP. 在MCP 中，由MPBMCPBPCBMP180o，得MPB180oBPCBMP20o . 223.( 本小题满分10 分) 【命题意图】 本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容. 【试题解析】对于曲线M, 消去参数，得普通方程为yx2,