数列考题分类整理

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数列考题分类整理（含答案）（一）等差数列及其前n项和一、题点全面练1等差数列an中，a3a9=10，a10=6，则公差d=()A.eq f(1,2) Beq f(1,4) C4 Deq f(1,2)解析：选B由a3a9=2a6=10，得a6=5，所以4d=a10a6=1，解得d=eq f(1,4).2.在等差数列an中，若Sn为an的前n项和，2a7=a85，则S11的值是()A50 B11 C55 D60解析：选C设等差数列an的公差为d，由题意可得2(a16d)=a

2、17d5，得a15d=5，则S11=11a1eq f(1110,2)d=11(a15d)=115=55，故选C.3等差数列an中，a2a4a6=39，a1a6a11=27，则数列an的前9项和S9等于()A66 B99 C144 D297答案：选B4设等差数列an的前n项和为Sn，若ak=4，Sk=0，Sk2=14(k2，且kN*)，则a2 019的值为()A2 020 B4 032 C5 041 D3 019解析：选B5等差数列an中，已知|a6|=|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时n的值为()A5 B6 C7 D98解析：选D由d0可得等差数列an是递增数列，又|a6|=|a1

3、1|，所以a6=a11，即a15d=a110d，所以a1=eq f(15d,2)，则a8=eq f(d,2)0，a9=eq f(d,2)0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选D.6设等差数列an的前n项和为Sn，若a6=2a3，则eq f(S11,S5)=_.解析：eq f(S11,S5)=eq f(f(11,2)a1a11,f(5,2)a1a5)=eq f(11a6,5a3)=eq f(22,5).答案：eq f(22,5)7等差数列an中，已知Sn是其前n项和，a1=9，eq f(S9,9)eq f(S7,7)=2，则S10=_.解析:eq f(S9,9)eq f(S7,7)=2，eq

4、f(91,2)deq f(71,2)d=2，d=2，a1=9，S10=10(9)eq f(109,2)2=0.答案：08(2018广元统考)若数列an是正项数列，且eq r(a1)eq r(a2)eq r(an)=n2n，则a1eq f(a2,2)eq f(an,n)=_.解析：当n=1时，eq r(a1)=2a1=4，又eq r(a1)eq r(a2)eq r(an)=n2n， 所以当n2时，eq r(a1)eq r(a2)eq r(an1)=(n1)2(n1)=n2n， 得eq r(an)=2n，即an=4n2，所以eq f(an,n)=eq f(4n2,n)=4n，则eq blcrc(a

5、vs4alco1(f(an,n)构成以4为首项，4为公差的等差数列所以a1eq f(a2,2)eq f(an,n)=eq f(44nn,2)=2n22n. 答案：2n22n9(2018大连模拟)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn=aeq oal(2,n)n4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：当n=1时，有2a1=aeq oal(2,1)14，即aeq oal(2,1)2a13=0，所以a1=3(a1=1舍去)当n2时，有2Sn1=aeq oal(2,n1)n5，又2Sn=aeq oal(2,n)n4，所以两式相减得2an

6、=aeq oal(2,n)aeq oal(2,n1)1，即aeq oal(2,n)2an1=aeq oal(2,n1)，即(an1)2=aeq oal(2,n1)，因此an1=an1或an1=an1.若an1=an1，则anan1=1.而a1=3，所以a2=2，这与数列an的各项均为正数矛盾，所以an1=an1，即anan1=1，因此数列an为等差数列(2)由(1)知a1=3，数列an的公差d=1，所以数列an的通项公式为an=3(n1)1=n2.10已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a1=1，S2S3=36.(1)求d及Sn; (2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam

7、1am2amk=65.解：(1)由题意知(2a1d)(3a13d)=36，将a1=1代入上式，解得d=2或d=5.因为d0，所以d=2.从而an=2n1，Sn=n2(nN*)(2)由(1)得amam1am2amk=(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)=65.由m，kN*知2mk1k11，故eq blcrc (avs4alco1(2mk113，,k15，)解得eq blcrc (avs4alco1(m5，,k4.)即所求m的值为5，k的值为4.二、分类专项培优练(一)易错专练1若an是等差数列，首项a10，a2 018a2 0190，a2 018a2 0190，则使前n项和Sn0成立的

8、最大正整数n是()A2 017 B2 018 C4 034 D4 036选D2(2019武汉模拟)设等差数列an满足a2a8=36，a4a6=275，且anan1有最小值，则这个最小值为()A10 B12 C9 D13解析：选B3设数列an的通项公式为an=2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|=_.答案：130(二)交汇专练融会巧迁移4与方程交汇若等差数列an中的a4，a2 018是3x212x4=0的两根，则=_.答案：eq f(1,2)5与不等式恒成立交汇设等差数列an的前n项和为Sn，且S5=a5a6=25.(1)求an的通项公式；(2)若不等式2Sn8n27(1)nk(an4)

9、对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围解：(1)设公差为d，则5a1eq f(54,2)d=a14da15d=25，a1=1，d=3.an的通项公式an=3n4.(2)由题意知Sn=neq f(3nn1,2)，2Sn8n27=3n23n27，an4=3n，则原不等式等价于(1)nkn1eq f(9,n)对所有的正整数n都成立当n为奇数时，keq blc(rc)(avs4alco1(n1f(9,n)恒成立；当n为偶数时，kn1eq f(9,n)恒成立又n1eq f(9,n)7，当且仅当n=3时取等号，当n为奇数时，n1eq f(9,n)在n=3上取最小值7，当n为偶数时，n1eq f(9,n

10、)在n=4上取最小值eq f(29,4)，不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(7，f(29,4).（二）等比数列及其前n项和一、题点基础巩固练1(2019武汉联考)已知an为等比数列，a4a7=2，a5a6=8，则a1a10等于()A7 B7 C5 D5解析：选B由eq blcrc (avs4alco1(a4a72，,a5a6a4a78，)解得eq blcrc (avs4alco1(a42，,a74)或eq blcrc (avs4alco1(a44，,a72.) eq blcrc (avs4alco1(q32，,a11)或eq blcrc

11、 (avs4alco1(q3f(1,2)，,a18，)a1a10=a1(1q9)=7.2设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a4=1，S3=7，则S5等于()A.eq f(15,2) B.eq f(17,2) C.eq f(31,4) D.eq f(33,4) 解析：选C设数列an的公比为q，则显然q1，由题意得eq blcrc (avs4alco1(a1qa1q31，,f(a11q3,1q)7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a14，,qf(1,2)或eq blcrc (avs4alco1(a19，,qf(1,3)(舍去)，S5=eq f(a11q5,1q)=

12、eq f(4blc(rc)(avs4alco1(1f(1,25),1f(1,2)=eq f(31,4).3(2018邵阳二模)设Sn是等比数列an的前n项和，若eq f(S4,S2)=3，则eq f(S6,S4)=()A2 B.1或2 C.eq f(3,10) Deq f(7,3)解析：选D设S2=k，S4=3k，数列an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，又S2=k，S4S2=2k，S6S4=4k，S6=7k，eq f(S6,S4)=eq f(7k,3k)=eq f(7,3)，故选D.4(2018安庆二模)数列an满足：an=an-11(n2,nN*，R且0)，若数列an1是等

13、比数列，则的值等于()A1 B1 C.eq f(1,2) D2解析：选D5一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A10 B11 C12 D13解析：选C设该等比数列为an，其前n项积为Tn，则由已知得a1a2a3=3，an2an1an=9，(a1an)3=39=33，a1an=3，又Tn=a1a2an1an=anan1a2a1，Teq oal(2,n)=(a1an)n，即7292=3n，n=12.6(2019重庆调研)在各项均为正数的等比数列an中，若a5=5，则log5a1log5a2log5a9=_.解析：因为数列an是各项均为正数的等比

14、数列，所以由等比数列的性质可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=aeq oal(2,5)=52，则log5a1log5a2log5a9=log5(a1a2a9)=log5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log5aeq oal(9,5)=log559=9.答案：97设各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn，且S10=10，S30=70，那么S40=_.解析：易知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2=S10(S30S20)，即(S2010)2=10(70S20)，故S20=20或S20=30.又S200，所以S20=3

15、0，S20S10=20，S30S20=40，故S40S30=80，所以S40=150.答案：1508在等比数列an中，若a1a2a3a4=eq f(15,8)，a2a3=eq f(9,8)，则eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,a3)eq f(1,a4)=_.解析：eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,a3)eq f(1,a4)=eq f(a1a4,a1a4)eq f(a2a3,a2a3).在等比数列an中，a1a4=a2a3，原式=eq f(a1a2a3a4,a2a3)=eq f(15,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,9)=eq f(5

16、,3).答案：eq f(5,3)9(2018全国卷)等比数列an中，a1=1，a5=4a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm=63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得an=qn1.由已知得q4=4q2，解得q=0(舍去)或q=2或q=2.故an=(2)n1或an=2n1.(2)若an=(2)n1，则Sn=eq f(12n,3).由Sm=63，得(2)m=188，此方程没有正整数解若an=2n1，则Sn=eq f(12n,12)=2n1.由Sm=63，得2m=64，解得m=6.综上，m=6.10已知数列an满足an1=eq f(3an,2an1)(nN*)，且a

17、1=eq f(2,3).(1)求证：eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)1)是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前n项和Tn. 解：(1)证明:记bn=eq f(1,an)1则eq f(bn1,bn)=eq f(f(1,an1)1,f(1,an)1)=eq f(f(2an1,3an)1,f(1,an)1)=eq f(2an13an,33an)=eq f(1an,31an)=eq f(1,3)又b1=eq f(1,a1)1=eq f(3,2)1=eq f(1,2)，所以eq blcrc(avs4alco1(f(1,a

18、n)1)是首项为eq f(1,2)，公比为eq f(1,3)的等比数列所以eq f(1,an)1=eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，即an=eq f(23n1,123n1).所以数列an的通项公式为an=eq f(23n1,123n1).(2)由(1)知，eq f(1,an)1=eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，即eq f(1,an)=eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n11.所以数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前n项和Tn=eq f(f(1,

19、2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3n),1f(1,3)n=eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3n)n.二、分类专项培优练(一)易错专练1各项均为正数的等比数列an中，若a11，a22，a33，则a4的取值范围是_答案：eq blcrc(avs4alco1(f(9,2)，8)2已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为eq f(3,2)，求这四个数解：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，eq blcrc (avs4alco1(a4q61，,aq1qf(3,2)， )得eq blcrc (avs4alco1(a2q3

20、1，,a2q21q2f(9,4). )把a2q2=eq f(1,q)代入，得q2eq f(1,4)q1=0，此方程无解；把a2q2=eq f(1,q)代入，得q2eq f(17,4)q1=0，解此方程得q=eq f(1,4)或q=4.当q=eq f(1,4)时，a=8；当q=4时，a=eq f(1,8).所以这四个数为8，2，eq f(1,2)，eq f(1,8)或eq f(1,8)，eq f(1,2)，2,8.(二)交汇专练3与方程交汇在等比数列an中，若a2，a8是方程x24x2=0的两根，则a5的值是()A2 Beq r(2) Ceq r(2) D.eq r(2)解：选D根据根与系数之间

21、的关系得a2a8=4，a2a8=2，由a2a8=40，a2a80，得a20，a80，即a50，由a2a8=aeq oal(2,5)，得a5=eq r(2).故选D.4与集合交汇设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bn=an1(n=1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则q等于()Aeq f(1,2) B.eq f(1,2) Ceq f(3,2) D.eq f(3,2)解：选Cbn有连续四项在53，23,19,37,82中且bn=an1，即an=bn1，则an有连续四项在54，24,18,36,81中an是等比数列，等比数列中有负数项，q0，且负数项为相隔两项

22、，又|q|1，等比数列各项的绝对值递增按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，24,36，54，81，相邻两项相除eq f(24,18)=eq f(4,3)，eq f(36,24)=eq f(3,2)，eq f(54,36)=eq f(3,2)，eq f(81,54)=eq f(3,2)，则可得24,36，54,81是an中连续的四项q=eq f(3,2).5与等差数列的交汇已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2S2=12，S2=b2q.(1)求an与bn；(2)设cn=3bn2 (R)，若数列cn是递增数列，求的取值范围解：(

23、1)由已知可得eq blcrc (avs4alco1(q3a212，,3a2q2，)所以q2q12=0得q=3或q=4(舍去)从而a2=6所以an=3n，bn=3n1.(2)由(1)知，cn=3bn2=3n2n.由题意，知cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n对任意的nN*恒成立由于函数y=eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n在1，)上是增函数，所以eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n)min=2eq f(3,2)=

24、3，故3，即的取值范围是(，3)(三)素养专练学会更学通6逻辑推理已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an=_(nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an=23n1.答案：23n17数学建模一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB)解析：由题

25、意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a1=2，q=2，an=2n，2n=64210=216，n=16，即病毒共复制了16次所需时间为163=48(分钟)答案：48（三）有关数列的4大难点问题突破1设函数f(x)=xmax的导函数f(x)=2x1，则数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,fn)(nN*)的前n项和是()A.eq f(n,n1) B.eq f(n2,n1) C.eq f(n1,n) D.eq f(n,n1)解析：选Af(x)=mxm1a=2x1，a=1，m=2，f(x)=x(x1)，则eq f(1,fn)=eq f(1,nn1)=eq f(1,n)

26、eq f(1,n1)，用裂项法求和得Sn=1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)eq f(1,n1)=eq f(n,n1).2设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn1=f(xn)，若x0=6，则x2 019的值为()x123456f(x)513264A1 B3 C5 D7解析：选C3中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说

27、：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()Aa，b，c成公比为2的等比数列，且a=eq f(50,7) Ba，b，c成公比为2的等比数列，且c=eq f(50,7)Ca，b，c成公比为eq f(1,2)的等比数列，且a=eq f(50,7) Da，b，c成公比为eq f(1,2)的等比数列，且c=eq f(50,7)解析：选D由题意可得，a，b，c成公比为eq f(1,2)的等比数列，b=eq f(1,2)a，c=eq f(1,2)b，故4c2cc=50，解得c=eq f(50,7)

28、.故选D.4已知数列an满足an=eq blcrc (avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1n6，,n5n6，)若对于任意的nN*都有anan1，则实数的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(7,12) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12)，1)解析：选B因为anan1，所以数列an是递减数列，所以eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)0，,01，,blc

29、(rc)(avs4alco1(f(1,2)51，)解得eq f(1,2)eq f(7,12)，故选B.5数列an=eq f(1,nn1)，其前n项之和为eq f(9,10)，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn=0在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D9解析：选B数列an的通项公式为an=eq f(1,nn1)，且其前n项和为eq f(1,12)eq f(1,23)eq f(1,nn1)=1eq f(1,n1)=eq f(n,n1)=eq f(9,10)，n=9，直线方程为10 xy9=0.令x=0，得y=9，该直线在y轴上的截距为9.6(2019郑州质检)已知数列an满足a1a2a

30、3an=2n2(nN*)，且对任意nN*都有eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)k，则实数k的取值范围为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，)答案：选D7用x表示不超过x的最大整数，例如2=2，1.6=1，1.5=2.已知数列an满足a1=1，an1=aeq oal(2,n)an，则eq blcrc(avs4alco1(f(a1,a11)f(a2,a21)f

31、(a2 019,a2 0191)=_.解析：因为a1=1，an1=aeq oal(2,n)an1，所以eq f(1,an1)=eq f(1,anan1)=eq f(1,an)eq f(1,an1)，即eq f(1,an1)=eq f(1,an)eq f(1,an1)，所以eq f(1,a11)eq f(1,a21)eq f(1,a2 0191)=eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,a3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2 019)f(1,a2 020)=1eq f(1,a2 0

32、20)(0,1)又eq f(an,an1)=1eq f(1,an1)，所以eq f(a1,a11)eq f(a2,a21)eq f(a2 019,a2 0191)=2 019eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a2 020).所以eq blcrc(avs4alco1(f(a1,a11)f(a2,a21)f(a2 019,a2 0191)=2 018.答案：2 0188数列lg 1 000，lg(1 000cos 60)，lg(1 000cos260)，lg(1 000cosn160)，的前_项和为最大解析：依题意知，数列的通项an=lg(1 000cosn160)=3(n1)l

33、geq f(1,2)，公差d=lgeq f(1,2)0，数列单调递减因为an=3(n1)lgeq f(1,2)0时，n10，所以数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大答案：109(2019济宁模拟)若数列an满足：只要ap=aq(p，qN*)，必有ap1=aq1，那么就称数列an具有性质P.已知数列an具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6a7a8=21，则a2 020=_.解析：根据题意，数列an具有性质P，且a2=a5=2，则有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=2.由a6a7a8=21，可得a3a4a5=21，则a4=2132=16，

34、进而分析可得a3=a6=a9=a3n=3，a4=a7=a10=a3n1=16，a5=a8=a3n2=2(n1)，则a2 020=a36731=16.答案：1610若Sn=sin eq f(,7)sin eq f(2,7)sin eq f(n,7)(nN*)，则在S1，S2，S2 019中，正数的个数是_解析：由于sin eq f(,7)0，sin eq f(2,7)0，sin eq f(6,7)0，sin eq f(7,7)=0，sin eq f(8,7)=sin eq f(,7)0，sin eq f(13,7)=sin eq f(6,7)0，sin eq f(14,7)=0，可得到S10，S

35、120，S13=0，S14=0，2 019=141443，S1，S2，S2 019中，正数的个数是144123=1 731.答案：1 73111为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为_解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为150%=eq f(3,2)的等比数列，混合动力型

36、公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量和为eq f(128blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)5),1f(3,2)3005eq f(54,2)a，则eq f(128blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)5),1f(3,2)3005eq f(54,2)a5 000，即10a1 812，解得a181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a的最小值为182.答案：18212(2019遂宁模拟)已知数列an的前n项和为Sn，向量a=(Sn,2)，b=(1,12n)满足条件

37、ab.(1)求数列an的通项公式；(2)设cn=eq f(n,an)，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)ab，ab=Sn22n1=0，Sn=2n12，当n2时，an=SnSn1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，an=2n.(2)cn=eq f(n,an)=eq f(n,2n)，Tn=eq f(1,2)eq f(2,22)eq f(n1,2n1)eq f(n,2n)，两边同乘eq f(1,2)，得eq f(1,2)Tn=eq f(1,22)eq f(2,23)eq f(n1,2n)eq f(n,2n1)，两式相减得eq f(1,2)Tn=eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n)eq f(n,2n1)=1eq f(n2,2n1)，Tn=2eq f(n2,2n)(nN*)13(2019安阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)=x2BxC1(B，CR)的图象上，且a1=C.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bn=an(a2n11)，求数列