2022年东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲

1、一、基本知识点： 阅读选讲 4-5 (1). 含有参数不等式的解法例 1: 解关于 x 的不等式x24 mx4m 2m3x2 m( m3 )解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x3 m3 或xm36 当m30即m3时| x6|0 x当m30即m3时x R。2)例 2、解关于 x 的不等式(cot)x23x2(,1 0解：当cot1即(0,4) 时x23 x20 x2 或 x1 当cot1即 =4时x 201x0，即(x )在（ -1，1）上是增函数。(5) 、能成立问题 (部分成立 )（存在性问题）若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 成立 , 即

2、f(x)A 在区间 D 上能成立 , f(x) m ax A ；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 成立 , 即 f(x)A 在区间 D 上能成立 , xf(x) min1 0 x1或 1xa，a若 0a1 时122xm0 x当 m=1 时(22x1 )20 x 1log2m当 0m1 时m2 2x12当 m0 时x0 （8）、反证法：但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这 时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从 正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证 明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间 接证明的一种基本方法。反证

3、法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会 p 则 q” ，而 导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“ 若 是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛 盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；于是原证不等第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，式成立。例 1、设二次函数f(x)x2pxq，求证：f,)1(f(2 ,)f( 3 )中至少有一个不小于1. f1( ,)f(2

4、 ,)f(3 )都小于1 ，则 2（1）2证明：假设f( )12f( 2 )f( 3 ).2另一方面，由绝对值不等式的性质，有f1( )2f(2)2 (f(3 )pf1( )(2f(2)f(3 )2（2）1(pq)42q)93pq)（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意 ：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式 时，通常采用反证法进行。议一议 ：一般来说， 利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指 所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛 盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有

5、什么特点？例 2、设 0 a, b, c 1, (1 b)c 1, (1 c)a 1, 444则三式相乘： ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 164又 0 a, b, c 1 0( 1a )a( 1a )a2124同理：( 1b )b1, ( 1c ) c144以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c1与矛盾64原式成立（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的 不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时

6、用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。例 1、若 n 是自然数，求证1111.22 1222 3n2证明：12 1 1 1 , k 2 , ,3 4 , , n .k k ( k )1 k 1 k1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 2 3 n 1 1 2 2 3 ( n 1 ) n= 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) = 2 1 2 .1 1 2 2 3 n 1 n n注意 ：实际上，我们在证明1 12 2 12 3 12 n 12 2 的过程中，已经得到一个更强的结论1 12 2 12 3 12 n 12 2 1n，这恰恰在一定程度上体现

7、了放缩法的基本思想。例 2、求证：1 1 1 1 1 .31 1 2 1 2 3 1 2 3 n证 明 ： 由1 2 3 1k 1 2 2 12 2 1k 1 ,（ k 是 大 于 2 的 自 然 数 ） 得1 1 1 111 1 2 1 2 3 1 2 3 n11 1 12 2 122 132 1n 1 1 11 21 n32 1n 1 3 .2（ 10）柯西不等式定理 1：（柯西不等式的代数形式）设a,b ,c ,d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（a, b

8、），B（c, d），那么它们的数量积为 ? ac bd，而 | | a 2b 2，| | c 2d 2，所以柯西不等式的几何意义就是：| | | | | ? |，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则| | | | | ? |，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 3：（三角形不等式）设x 1,y 1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：x 3)2(y 1y 3)2(x 1x2)2(y 1y 2)2(x 2x3)2(y2y 3)2(x 1分析：思考：三角形不等式中等号成立的条

9、件是什么？定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n 为大于 1 的自然数，a , ib i（ i 1，2， ，n n n2 2 2n ）为任意实数，则：a i b i ( a i b i )，其中等号当且仅当i 1 i 1 i 1b 1 b 2 b n 时成立（当 ia 0 时，约定 ib 0， i 1，2， ， n ）。a 1 a 2 a n2 2 2证明：构造二次函数：f ( x ) ( a 1 x b 1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n )n n n2 2 2即构造了一个二次函数：f ( x ) ( a i ) x 2 ( a i b i ) x b ii 1

10、i 1 i 1由于对任意实数 x ，f (x ) 0 恒成立，则其 0，n n n即：4 ( a i b i ) 2 4 ( a i 2)( b i 2) 0，i 1 i 1 i 1n n n即：( a i b i ) 2 ( a i 2)( b i 2)，i 1 i 1 i 1等号当且仅当 a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0，即等号当且仅当b 1b2b n时成立（当ia0时，约定ib0， i1，a 1a2a n2， ， n ）。如果ia （1in）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设aiR,bi0(i,12 ,n),inai2(a i)

11、2i，等号成立当且仅当1b ib ib ia i( 1in )na i(a i)2，等号成变式 2 设 ai，bi 同号且不为0（i=1，2， ， n），则：1b ia ib i立当且仅当b 1b2bn。（ 11）排序不等式排序不等式的一般情形一般地，设有两组实数：a ，a ，a ， ，a 与 b ，b ，b ， ，b ，且它们满足：a a a a ，b b b b ，若 1c，c ，c ， ，c n是 1b ，b ，b ， ，b 的任意一个排列，则和数 a 1 c 1 a 2 c 2 a nc n 在 a ，a ，a ， ，a 与 1b ，b ，b ， ，b 同序时最大，反序时最小，即：a

12、1 b 1 a 2 b 2 a n b n a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b n a 2 b n 1 a n b 1，等号当且仅当 a 1 a 2 a n 或 b 1 b 2 b n 时成立。分析：用逐步调整法2 2 2 2 2 2例 1、已知 a , b , c 为正数，求证：a b b c c a abc。a b c例 2、设 a ，a ，a ， ，a 为正数，求证：a 12a22a n12a n2a 1a2an。a2a3a na 1（12）数学归纳法数学归纳法 : 是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1( 或n 0 ) 时成立，这是递推的基础；

13、第二步是假设在 nk 时命题成立，再证明 n k1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k1 步的推证，要有目标意识。(1n)2。nx。例 1、证明：3 12333n3( 1231例 2、设x1，nN*，证明贝努利不等式：x)n二、 方法提升：三、 反思感悟：四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式：x1x11; 3x472、解下列不等式： （1）23x1（2） 1233解不等式：（1）2x1x14解不等式：（1）x1x25利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3a 有解， a 要满足什么条件？6.解关于 x 的不等式x24mx4

14、 m2m32 m( m3 )c2解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x6 x3 m3 或xm3当m30即m3时| x6|0 xcd当m30即m3时x R。7、若 a, b, c, dR +，求证：1aad cbba dcbcdbda证：记 m =aaba, b, c, dR+ bdbcacdbdacmabacdabbcacdcabdadbc1maababbccdddc21 m 2 时，求证：logn(n)1logn(n1 )10证： n 2 logn(n1 )0,logn(n1 )logn(n1 )logn(n1 )nlogn(n1 )logn(n)12logn(n21 )2229、已知n 2 时, log(nlognn221|1。211 )logn(n1 )bya2b21，x2y21，求证：|ax10、设a ,b ,c ,dR，求证：2 ab22 cd2( ac )2(bd)2。ha +11、