第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）

1、第十一届全国“华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答初一组填空 计算：=( ).答：解：原式.当时，多项式的值是0，那么多项式 .答：5. 解：根据 ，即，故原式的值为5.将假设干本书籍分给几名小朋友，如果每人分4本书，就还余下20本书，如果每人分8本书，就有1名小朋友虽然分到了一些书，但是缺乏8本, 那么共有 名小朋友.答：6.解：设共有名小朋友，由题意，推出，得.图16图16中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH拼成. 长方形ABCD的面积是120平方厘米，那么正方形EFGH 的面积等于 平方厘米. 答：10.解法1：如图16a，延长BF交DC于N点，延长EH交BC于M

2、点，由条件可知图16a，所以 CM=MBCE=EN =ND. 将长方形ABCD的长边3等分，短边2等分，如图1a所示，连接对应的等分点，分成网格图形， 数一数，长方形ABCD恰好等于12个正方形EFGH 的面积，由于长方形ABCD的面积为120平方厘米，所以正方EFGH 的面积等于10平方厘米.解法 2：设正方形EFGH的边长为，根据题意，图1中的四个三角形为等腰直角三角形，那么三角形EHC的直角边长为，三角形CGB的直角边长为，三角形ABF的直角边长为，三角形ADE的斜边长为.并且，正方形EFGH的面积，三角形EHC的面积，三角形CGB的面积，三角形ABF的面积，三角形ADE的面积三角形CG

3、B的面积.因此120=，故，即正方形EFGH 的面积等于10平方厘米.满足方程的所有的和为 .答： 4012.解：根据绝对值的性质，逐步去除等式绝对值符号，得到， ，或由表达式可以看到，有2个不同的解，它们的和是：.一个存有一些水的水池，有一个进水口和假设干个口径相同的出水口, 进水口每分钟进水3立方米.假设同时翻开进水口和三个出水口, 池中水16分钟放完; 假设同时翻开进水口与五个出水口, 池中水9分钟放完. 池中原有水 立方米.答: 288.解: 设每个出水口每分钟放出水x立方米, 池中原有水y立方米， 那么，解上面二元一次方程组，立方米，立方米.，小于S的最大的整数是 .解答：因为，因此

4、小于S的最大的整数是0.如图17，数轴上标有个点，它们对应的整数是:.为了确保从这些点中可以取出2006个，其中任何两个点之间的距离都不等于4，那么的最小值是 .图17答： 2005.解： 将数轴上的个点，自左端开始，连续8个点为一组，每组仅取右边4个点，这样就可以确保所取出的点，其中任意两点之间的距离不等于4. 从多少组中才能取出2006个点？既然，即从501组可以取出2004个点，另外，再从第502组中取出2个点，就得到2006个点. 所以，.即数轴上至少有4010个点，就能够确保从这4010个点中取出2006个，其中任意两点之间的距离不等于4.，.当n=2005时，可以取 -2005，-

5、2004，-2003，-2002，-1997，-1996，-1995，-1994，-2005+8k，-2004+8k，-2003+8k，-2002+8k，1995，1996，1997，1998，2003，2004, 共2006个，其中任何两个数所代表的两个点之间的距离都不等于4. 当时，数轴上连续点的个数是. 此时，将距离是4的2个点配对，共有2004对，另外还有单独的一个点，从每个配对中只取一个点，否那么一定有2个点的距离是4, 连同单独的一个点，一共可以取出2005个点，但是要求取出2006个点，不得不将某个配对的两个点都取出，它们的距离是4. 所以，当时，任取2006个点，一定有2个点，

6、距离是4. 当时，补足至4009个点，就可以说明的最小值是2005. 解答以下各题要求写出简要过程图18图18中，ABCD是矩形，AC和BDCD为轴旋转一周，那么阴影局部扫过的立体的体积是多少立方厘米？ 取3.14 解: 见小学组决赛第11题解答将21个整数：分为个数不相等的六组数，分别计算各组的平均值，那么这六个平均值的和最大是多少？解: 将21个整数分为个数不相等的6组，各组的个数分别为1、2、3、4、5、6个. 既然是求六组个平均值的和的最大值，应当将数值大的分在整数个数少的组中. 所以，可以如下分组：计算上述六组整数的平均值的和： 答：最大的和是.评注和说明：下面说明理由.六组数分别为

7、，那么各组数平均数的和为我们要使得这个分数最大，只要使得分子最大. 先考虑让那一个字母取10，显然是，这样能使总和最大；同理，让取8，9对总和的奉献是最大的以此类推，是我们得到的分组结果.这一过程无非就是把我们的解题过程用代数式翻译了一遍. 为了同学们能多体会字母代表数的抽象性，这里再介绍一种更为一般一些的方法.；因而有该不等式在分别取时恰好能取到等号，因此最大值为.当时，从等式可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解？解：分别取和，我们得到两个方程： 先求两个方程的公共解，把它们看作二元一次方程组，解得： . 把代入，值恒为0. 此即意味着：

8、 当时，0成立.所以，是对应的10个方程的的公共解.答：这些方程的公共解是 .平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度. 说明理由.解：在平面上任取一点O，过O点作的5条直线的平行线. 将以O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角，记为.每个小角都等于这5条直线相交的一个交角.这10个小角的和恰等于，即.，根据抽屉原理，至少有一个小角不超过.ABACA图19解答以下各题要求写出详细过程如图19，A、B和C是圆周的三等分点，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A、B、C三个点同时出发，甲和乙沿圆周逆时针爬行，丙顺时针爬行. 甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5，求出三只蚂蚁所有的会合地点. 解： 设圆周的周长为，甲的速度为，乙的速度为，丙的速度为；甲第一次追上乙时，爬行的时间和爬行的路程分别是：甲爬行的时间, 甲爬行的路程，因为圆周的周长为，即甲在k+1(是整数)次追上乙时，甲爬行的时间，甲爬行的路程因为是圆周周长的整数倍，所以，甲在B点追上乙.在时刻，(丙爬行的路程，当k1时，上式是因为丙是从C出发顺时针爬行，所以，丙爬行至B处，意味着甲、乙、丙能够在B点会合.答；甲、乙、丙仅仅在B处集合.m, n都是正整数，并且证明：A= F(m+1,m) , ； 假设 求 m和n的值.解： 同样，