《大学物理学》习题解答(第12章静电场中的导体和电介质)

1、第12章静电场中的导体和电介质12.11半径为K的金属球A位于同心的金属球壳内,球壳的内、外半径分别为尺2、尺3（血尺3）。现在使金属球A带电屋为+0,则此球壳的电势为多少?-Oe【12.1解】根据高斯定理，可求得B球壳外的电场强度：E（R3r）B球壳为等势体，其电势为V=|R、4矶广4矶*广4矶笃【12.2】一导体球半径为心,外罩一半径为心的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为0,而内球的电势为Vq.求此系统的电势和电场分布。12-2解】已知内球电势为,外球壳带电0。（1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷g。由高斯定理，有球的电势为:CDV0=Edr=E1-dr+jE2dr-q坨A他+=亠+

2、丄4兀祁24%4亦0鸟(q+0q解得：q=（4龙%-所以，球外壳内电场呂=学_%。、風rR.）广4乃心尼广壳外电场仔譽-怦（Z）（2）求各区域的电势：球外壳内电势V=?Edr=f耳dr+jdr二砒什丄（尺svE）rrk4矶鸟厂壳外电势112.3】有两个同心球而，半径分别为=10.0cm,/?2=12.0cm,两球面都均匀带电。已知两球而之间的电势差=%-%=90V,外球而的电势是V/?j=750Vo求各球而的带电量。【12.3解】设内球面带电0】，外球而带电。先用高斯定理求得空间各处场强E产。，24E厂跆（WAE厂先縈（尼/?）处放置一点电荷不计丄+出=丄+丄收“40r*4%R4兀知4%RJs

3、由此求得感应电荷总量q=r=-半g【12.6】地球和电离层可当作一个球形电容器，它们Z间相距约为100km,试估算地球电离层系统的电容,设地球与电离层之间为真空。【12.8解】地球半径为=6.37xl06m；电离层半径/?2=1.00 xlOn+Z?!=6.47xl06m根据球形电容器的电容公式，得:C=40=4.58x102F尼-K【12.7】半径分别为。和b的两个金属球，球心间距为r（rf/,rb）,今用一根电容可忽略的细导线将两球相连，试求：（1）该系统的电容；（2）当两球所带的总电荷是0时，每一球上的电荷是多少？【12.7解】由于rci,rb9可也认为两金属球互相无影响。设a球带电4,

4、b球带电的，两球电势均为V。（1）对球而言=v4矶a刈J：6球而言-=v4开少刈J：a、b两球这个系统而言4=47rsQaV=4%卓=上耳；q2=4才訥=4吨琴=Ca+bCa+b12.8两线输电线的线径为3.26mm,两线中心和距离050m,输电线位丁地面上空很高处，因而人地影响可以忽略，求输电线单位长度的电容。z4d-打*iuE1-几x0兄5（12.8解】设输电线半径为人，两线轴心和距d,单位长度分别带电2、两线电势差为o取坐标如图。输电线单位长度电容为c=（1）一根带电2的输电线在两线之间、距其轴心x处卩点的场强为另一根带电-兄的输电线在p点产生的电场强度为E_=亦（_P点的总电场强度为E

5、=E+E_=(-+-)i2%xd-xd_Rd_Rjnr两输电线的电势差为U=Ed=Edt=lnLi隔R输电线单位长度的电容C=o/In/In=4.86xlO_12FURR【12.9半径为&的导体球被围在内半径为尺j、外半径为/?3、相对电容率为6的介质球壳内，它们是同球心的。若导体带电为0，则导体内球表面上的电势为多少？【12.9解】先求各区域电场d=0(/*)Er=*(RfcRJ_4矶厂-在介质球壳区域，应用介质内的高斯定理4龙产0=0,D=如工3,(R3r)4矶广8R8(5)求金属球的电势V=jEdr=jE2-dr+j3-dr+j，E4dr%阳Rj二0(11)1Q(11门Q初勺&R-,4穴

6、眷,.R2R34开6R312.10盖革一米勒管可用來测最电离辐射，该管的基本结构是由半径为Ri的长直导体和同轴的半径为心的圆筒组成。半径为2的长直导体作为一个电极，半径为心的同轴圆柱筒为另一个电极，它们之间允以相对电容率6=1的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离，若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量。若以&表示半径为川的长直导体附近的电场强度。(1)求两极间电势差的关系式；(2)若Ex=2.0 xl06Vnr1,&=0.30mm,/?=20.00mm,两极间的电势差为多少？【12.10解】(1)利用高斯定理可得EmrL=两极间的电场强度导线表面(广=坨)电场强度两极间的

7、电势差R】Ror(2)当Ej=2.0 xl06VnrRx=0.3mm,R.=20.0mm时，7=2.52xl03V一片相对电容率=173的二氧化钛晶片，其面积为1.0cm3,厚度为010mm,把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧。求：（1）电容器的电容；（2）电容器两极加上12V电压时，极板上的电荷为多少，此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度。Q12.11解】（1）充满此介质的平板电容器的电容C=T=l53xl（）TFa（2）电容器加上的电压时，极板上的电荷e=Cf/=1.84xlOC极板上的自由电荷而密度为0-o=y=1-84xloc-m_2晶片表面极化电荷密

8、度矶=（1-）To=1.83xlO-4Cnr2（3）晶片内的电场强度f=1.2xlO5Vnr1a有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为a0=4.5xlO_5Cnr2,现将两极板与电源断开,然后再把和对电容率为6=2.0的电介质插入两极板之间，此时电介质中的DE和P各为多少?12.12解】允电后断开电源插入介质前后，极板上的电荷不变。利用介质中的高斯定理可得介质中电位移欠量的数值D=-=（y0=4.5xlO5Cnr2AS0介质中电场强度的数值为E=丄一=2.5xl06Vnr16）6介质中极化强度的数值为P=P-6-o=23xlO5Cnr2D.E.P方向相同，均由正极板指向负极板。【12.13】

9、在一半径为&的长直导线外套有氯J橡胶绝缘护套，护套外半径为心，相对电容率为耳，设沿轴线单位长度上导线的电荷密度为入，试求介质层内的D、E和氏12.3解】由介质中的高斯定理，有&D6S=D17rrL=AL,得：D=er,171Y/）212在各向同性的均匀介质中E=丄=-:P=D-qE=（1-）2兀辱jrInr12.141如题图所示，设有两个薄导体同心球壳A与B,它们的半径分别为/?1=10cm与/?3=20cm,并分别带有电荷40 x10%与1610叱，球壳间有两层介质，内层介质的相对电容率61=40,外层介质的相对电容率r2=2.0,其分界面的半径为/?2=15cm,球壳B外的介质为空气，求:

10、习题12-14图（1）两球间的电势差ab：（2）离球心30cm处的电场强度；（3）球A的电势。12.14解】（1）由介质中的高斯定理Pd5=n-W=e1得Dl=D2=er4龙厂E、=2=七(%rRJ4矶WE.=-=s(RrrR3)TOC o 1-5 h z4亦苗乜厂一RR】付两球壳间的电势差朋=jEdr=jEdr+jEydr%Ri二念骨讣念佥佥=-沖同理，由高斯定理得I絆。皿严十（3）A球的电势coRQi+4吋3=2.1x103V【12.15】如图，有一空气平板电容器极板面积为S,间距为d,现将该电器接在端电压为（/的电源上充电。当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块而积相同，厚为为5,相对

11、电容率为的电介质板；（3）将上述电介质换为相同大小的导体板时，分别求极板上的电荷0,极板间的电场强度E和电容器的电容C。112.15解】无论在极板间插入介质还是导体，插入前后电容器极板间的电压不变，但极板电荷、板间电场、以及电容都要变。丄8/t习题12-15图（1）充电后，板间场强0=电压U=Ed%得电容广QoEgoSsQScUUd电荷2=寻二竽;（2）插入介质后，可由介质中的高斯定理求得板间电位移欠鼠得各区域电场，在空气中咕沁；板间电压U=El(d-6)+Elf6=得电容c_Qi_2i_1U_(d_)+016(d_6+d电荷a-c.u-曲11w,(d-5)+5空气中的场强_a_叨1Sw,(d

12、-5)+5介质中的场强ea=jS556(d-5)+5（3）插入金属后，相当丁电容器板间距缩小了5,变为d-d。此时，电容c穴丹；电荷Q厂”胃板间空气中的场强=板间金属中的场强EJ=O-d-5-12.16有一平行平板电容器，两极板被厚度为0.01mm的聚四氯乙烯薄膜所隔开.求该电容器的额定电压.【12.16解】査表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度E=1.9xl（）7vm-】。当电容器不被击穿时，电容器中的电场强度EEhO因此，由均匀电场中电势与电场强度的关系，可得电容器最人电势差（即额定电压）为u_=Ehd=190V【12.17】空气中半径为10cm和0.10cm的长直导线上表面电荷的最人电荷而密度

13、分别为多少？【12.17解】设长直导线上单位长度所带电荷为；L则导线周闱的场强为E=2隔r心式中导体表面电荷而密度T=o显然，在导体表面附近电场强度最人。查表可知空气的击穿电场强Inr度=3.0 xl06Vnr1,只有EEb,空气才不会被击穿，故O的极限值q=cQEh=2.66xlO_5C-m_2它与导体半径无关。112.18】半径为K的导体球上带有电量+Q,其外有一与它同心的导体球壳，半径为笃，中间充满两种均匀电介质，分界面的半径为鸟，（&R2R3）,坨与鸟之间电介质的相对电容率为，/?2与人3之间电介质的相对电容率为6,。试求（1）两介质内的电场强度El、E（2）导体球与球壳间的电压V-岭

14、；（3）尽与鸟之间电场的能量。【12.18解】（1）先求两种介质内的电位移欠吊:和电场强度欠鼠:（尽rR2）0=且4厂（2）导体球与球壳的电势差RR2Ryl/-K=j，d/-=jE1dr+jE2-dr=%R】（3）储存的能量%1111+4矶1川7?16占2r22r23）八2忌场W,=-ED.dV+-iE.D.6V=-222_-24rdV+LQdV2g厂初厂（尼rR3）=号斗他気+廿命卄里（4+3）2,m*2450厂8亦061尼K2尼人312.19一平行板空气电容器，极板面积为S,板间距为d,充电至带电0后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极间距拉开到2d,求（1）电容器能量的改变；（2）在此过程

15、中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。【12.19解】断开电源后，极板上的电荷固定，拉动极板的过程中电荷仍不变，根据E=知，电场强度%也不变，因此，电容器内的能量密度也不变We=-：QE但是，极板间距增人后，电场存在的区域增人,2因此电容器储存的总能最增加。所增加的能帚应该等r拉开极板的过程中外力克服极板间的静电引力所作的功。（1）拉开后，增加的能鼠等j:能量密度乘以增加的体积AW=vv.AV=卡屛=卡屛Sd=訊（挣Sd=g（2）两导体极板带等最异号电荷。假设正极板固定，外力F把负极板缓缓拉开，此时，负极板受到Qd2S的静电力应为F严_QE,外力F=-Fe做的功为W=FAr=-FjAr=QEA