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文档简介

1、2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式 柯西(Cauchy, 17891857)是法国数学家、物理学家、天文学家。他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式、柯西中值定理。在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书。柯西不等式是由柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。柯西简介设 都是实数， 则 定理1：(柯西不等式的代数形式)柯西不等式当且仅当 时，等号成立.证明：方法：比较法定理证明当且仅当 时，等号成立.两组数：两组数平方和的乘积对应项乘积和的平方不小于温故知新已知两个非

2、零向量 和 ， 规定：零向量与任一向量的数量积为0当且仅当 时，等号成立.温故知新令：当且仅当 时，等号成立.当且仅当 时，等号成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)柯西不等式设 为平面上的两个向量， 则 ， 当且仅当 时，等号成立.例1.填空：牛刀小试（答案不唯一）牛刀小试例2.设 求 的最大值.法1：由均值不等式当且仅当 时，等号成立.牛刀小试例2.设 求 的最大值.法2：由柯西不等式当且仅当 时，等号成立.牛刀小试例2.设 求 的最大值.解：由柯西不等式变式1.当且仅当 即 时，等号成立.牛刀小试例2.设 求 最大值.变式2. 解：由柯西不等式当且仅当 时，等号成立.牛刀小试思考.设 求 的最大值.解：由柯西不等式由条件可知 ，因此 一定小于1，问题在哪？练习.求函数 的最大值.解：函数 的定义域为 由柯西不等式当且仅当 即 时，等号成立.牛刀小试平方和为定值！例3.已知 ，求：牛刀小试（1） 的最小值；（2） 的最小值.链接高考已知 证明：2017全国2理23题：法1：链接高考法2：柯西不等式已知 证明：2017全国2理23题：课堂小结柯西不等式利用柯西不等式求最值：学会构造、注意取等拓展延伸1.三维形式下的柯西不等式？2

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