2022年二次函数压轴题

1、一、猜想、探究题得到PEC，再在 AB 边上选取适当的点D，将PAD沿 PD 翻折，得到PFD，使得直线 PE、PF重合1. 已知：抛物线yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 x 轴的负半轴上，（1）若点 E 落在 BC 边上， 如图， 求点 P、 、D的坐标， 并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设OPx，ADy，当 x 为何值时， y 取得最点 C 在 y 轴的负半轴上，线段OA、OC 的长（ OAOC）是方程x25x40的两个根，且抛物线的大值？对称轴是直线x1（3）在（ 1）的情况下，过点

2、P、 、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以 PD 为直角（ 1）求 A、 B、C 三点的坐标；（ 2）求此抛物线的解析式；边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标（ 3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点A、B 不重合），过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E，连结CD ，设 BD 的长为 m， CDE 的面积为 S，求 S与 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范C y E B C y B 围 S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由y F E A O D B F D D x E O P A x O P A x

3、 图图C 2. 已知，如图1，过点E0，1作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线y1x 上的两点 A 2、B的横坐标分4. 如图， 已知抛物线y2 x4x3交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 C，?抛物线的对称轴交x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）4（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A、B分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点C、D，连接 CF、DF（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，（ 1）求点 A、 、F的坐标；请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 2

4、）求证： CFDF ；（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM 把四边形（ 3）点 P 是抛物线y12 x 对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作 PQPO交 x 轴于点 Q ，是否DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由4y存在点 P 使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由y A D B C xy 3. 已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA所在的直线为 B x 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P是OA边上的动点（与点 O、A 不重

5、合），现将POC 沿 PC 翻折A F F C O E D l x C O E D x O E （图 1）备用图5. 如图，已知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（ 3，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，17. 已知：直线 y x 1 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于 D，抛物线2两点，与 x 轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为（1，0）y1x2bxc 与直线交于A、E请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由2（3）如

6、图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标（1）求抛物线的解析式；M 的坐标（2）动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标y y （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AMMC|的值最大，求出点C C y E B M O A x B 图O A x D A B C x 图O 二、动态几何6. 如图，在梯形 ABCD 中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米， BC 的坡度i3 4 ，动8. 已知：抛物线y2 axbxc a0的对称轴为x1，与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点点 P 从

7、A 出发以2 厘米 /秒的速度沿AB 方向向点 B 运动，动点Q 从点 B 出发以3 厘米 /秒的速度沿BCD 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停C，其中A3 0， 、C0，2PBC的周长最小请求出点P 的坐标（1）求这条抛物线的函数表达式止设动点运动的时间为t 秒（1）求边 BC 的长；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得（2）当 t 为何值时， PC 与 BQ 相互平分；（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点 （不与点 O、点 C 重合）过点 D 作 DEPC 交 x 轴于点 E连接 PD 、PE 设 CD 的长为 m ，PDE 的面积为

8、 S求 S 与 m 之间的函数关系式试说明 S 是（3）连结 PQ，设PBQ的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求t 为何值时， y 有最大值？最大值是多否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由少？DCy 9. 如图 1，已知抛物线经过坐标原点O 和 x 轴上另一点 E ，顶点 M 的坐标为 (2 4) A O ， ；矩形 ABCD 的 B x QC 顶点 A与点 O 重合， AD、AB分别在 x 轴、 y 轴上，且AD2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形 ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图1 所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一

9、11. 如图，已知抛物线C1：yax225的顶点为P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点A 在点 B动点 P 也以相同的速度 从点 A出发向 B 匀速移动设它们运动的时间为t 秒（ 0 3），直线 AB 与该抛物线的交点为N（如图 2 所示）当 t 5时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；2设以 P、 、 、D 为顶点的多边形面积为 S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由C y B M y N B M 的左边），点 B 的横坐标是1C （1）求 P点坐标及 a的值；（4分）（2）如图（ 1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线C

10、2 向右平移，平移后的抛物线P 记为 C3，C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求C3 的解析式；（4 分）D O (A) E x D O AEx （3）如图（ 2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1 绕点 Q 旋转 180后得到抛物线C4抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三图 1 图 2 角形是直角三角形时，求点Q 的坐标（ 5 分）C1 y 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 M C1 ABCD 的三个顶点y (4 0)， 、C(8 0)， 、D(8 8)， 抛物线

11、Byax2 A bx 过 A、C B 两点A O B Q E F x （1）直接写出点O x A的坐标，并求出抛物线的解析式；1 210. 已知抛物线：y 1 x 2 x2（1）求抛物线 1y 的顶点坐标（2）将抛物线 1y 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线 y ，求抛物线 y 的解析式（3）如下图，抛物线 y 的顶点为 P， x 轴上有一动点 M，在 1y 、y 这两条抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，（2）动点 P 从点 A出发，沿线段 P C2 C3 AB 向终点 B 运

12、动，同时点 P Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 DC4运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E 过点 E 作 EF图 1 AD 于点 F ，交抛物线于点 G 当 t 为何值时，线段 图 2 EG 最长？连接 EQ 在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的 t 值请说明理由yax2bxc（a0） 的对称轴是xb，顶点坐标是b，4 ac4 a2 b】y A F D x G 【 提示 ：抛物线2 a2 aO P E Q y B C 5 4 P 2y3 2 1y14. 如图，矩形 ABCD 中

13、，AB = 6cm，AD = 3cm，点 E 在边 DC 上，且 DE = 4cm动点 P 从点 A 开始沿着 ABC E 的路线以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 A 开始沿着 AE 以 1cm/s 的速度移动，13. 如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（ 2，-1），且 P（-1， 2）为双曲线上 当点 Q 移动到点 E 时，点 P 停止移动若点 P、Q 从点 A 同时出发，设点 Q 移动时间为 t（s），P、的一点， Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、BQ 两点运动路线与线段 PQ 围成的图形面积为 S（cm

14、 2），求 S与 t 的函数关系式（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；D E C （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平15. 如图，已知二次函数y(xA 2Q P B 行四边形 OPCQ 周长的最小值yBQm )km2的图象与 x 轴相交于两个不同的点AOxA x， 、B x ， ，与 y 轴的交点为 C 设ABC的外接圆的圆心为点P （1）求P与 y 轴的另

15、一个交点D 的坐标；M（2）如果 AB 恰好为P的直径，且ABC的面积等于5 ，求 m 和 k 的值P图 1 yB QMAO图 2 Cx16. 如图，点 A、B坐标分别为（ 4，0）、（0，8），点 C 是线段 OB 上一动点，点 E 在 x 轴正半轴上，P四边形 OEDC 是矩形，且OE2 OC 设OEt t0)，矩形 OEDC 与AOB重合部分的面积为 S 根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形 OEDC 的顶点 D 在直线 AB 上时，求 t 的值；（2）当t4时，求 S 的值；y B D （3）直接写出 S 与 t 的函数关系式； （不必写出解题过程）（4）若 S 12，则 t解答下

16、列问题：17. 直线y3x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从 O 点出发，同时到达A 点，运动如图 2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于点 B（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2） 求 CAB 的铅垂高 CD 及SCAB；（3） 设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S PAB=9SCAB，若存48停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点P 沿路线 O B A运动在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由y C B D （1）直接写出 A、B两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为t

17、秒，OPQ的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当S48时，求出点 P 的坐标， 并直接写出以点O、 、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的5坐标y B P 1 x O 1 A 图 2 O Q A x 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为( 1 0) (0，、 ，3)，点 B 在 x 轴上已知某二18. 如图 1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC次函数的图象经过A 、 B 、 C 三点，且它的对称轴为直线x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B 、 C 不重合），过点

18、P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F的“ 水平宽 ” （a），中间的这条直线在 ABC 内部的线段的长度叫 ABC 的“ 铅垂高 ”（ h）我们可得出一种（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m，用含 m 的代数式表示线段PF 的长计算三角形面积的新方法：S ABC1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半（3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标2y B A铅垂高A O x=1F B x h C 水平宽C P a 图 1 y F 1y F 1y F1到点 D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值D F2D F2D F2P O（A）C x AC AC B OB

19、 x OB x 1 22. 如图，已知直线 y x 1 交坐标轴于 A， 两点，以线段 2点 A，D，C 的抛物线与直线另一个交点为 E AB 为边向上作正方形ABCD ，过（图 1）（图 2）（图 3）20. 如图所示，菱形ABCD 的边长为 6 厘米，B60 从初始时刻开始，点P 、 Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 ACB 的方向运动， 点 Q 以 2 厘米 /秒的速度沿 ABCD 的方向（1）请直接写出点C,D的坐标；（2）求抛物线的解析式；运动，当点 Q 运动到 D 点时，P 、Q 两点同时停止运动， 设 P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ与ABC的面积

20、为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（3）若正方形以每秒5 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止 设正方形落在 x 轴下方部分的面积为S，求 S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自（1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是秒；变量 t 的取值范围；（4）在（ 3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物（2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ是等边三角形时x 的值是秒；线弧所扫过的面积y D （3）求 y 与 x 之间的函数关系式C A D C P O B E x y1x1A

21、 Q B 2备用图23. 如图，点 A、B坐标分别为（ 4，0）、（0，8），点 C 是线段 OB 上一动点，点 E 在x轴正半轴上，四边形 OEDC 是矩形，且OE2 OC 设OEt t0)，矩形 OEDC 与AOB重合部分的面积为 S 根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形 OEDC 的顶点 D 在直线 AB 上时，求 t 的值；21. 定义一种变换： 平移抛物线F 得到抛物线F ，使F 经过1F 的顶点 A 设F 的对称轴分别交F 1，F2于（2）当t4时，求 S 的值；点 D，B，点 C 是点 A关于直线 BD 的对称点（3）直接写出 S 与 t 的函数关系式； （不必写出解题过程）

22、y （4）若S12，则 tB （1）如图 1，若F ：y2 x ，经过变换后，得到F ：yx2bx ，点 C 的坐标为 (2 0)， ，则 b 的值等于_；四边形 ABCD 为（y）PC D A平行四边形B矩形C菱形D正方形（2）如图 2，若F ：ax2c ，经过变换后，点B 的坐标为 (2，c1)，求ABD的面积；24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形O E A ABC 的空地进行生态环境改造已知x ABC的（3）如图 3，若F ：y1x22x7，经过变换后，AC2 3，点 P 是直线 AC 上的动点，求点边 BC 长 120 米，高 AD 长 80 米学校计划将它分割成AHG、B

23、HE、GFC和矩形 EFGH四部分（如图）其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC333上现计划在AHG上种草，每平米投资6 元；在BHE、FCG上都种花，每平方米投资10 元；三、说理题在矩形 EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资4 元26. 如图，抛物线经过A(4 0)，B(1 0)，C(0，2)三点（1）当 FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（2）当矩形 EFGH 的边 FG 为多少米时，ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在P 点

24、，使得以A，P，MA 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；H K G （3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D 的坐标y B E D F C O B 1 4 A x 2C 25. 已知：t 1，t2是方程t22t240的两个实数根，且t 1t ，抛物线y2x2bxc 的图象经过点27. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于3A t 1，B(0，t2)A、 、 、D四点抛物线yax2bxc 与 y 轴交于点 D ，与直线 yx 交于点 M、N，且（1）求这

25、个抛物线的解析式；MA、NC分别与圆 O 相切于点 A 和点 C （2）设点P x，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ 是以 OA为对角线的平行四边形，（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆 O 于 F ，求 EF 的长求YOPAQ的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由y （3）在（ 2）的条件下，当YOPAQ的面积为24 时，是否存在这样的点P，使YOPAQ为正方形？若D N 存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由y A O E C x Q B M B F A O x 28. 如图 1，已知：抛物线y1x2bxc 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C ，经过 B、C两2点的直线是（ 1） B、y1x2，连结 AC P 2C两点坐标分别为B（ _， _）、C（ _， _），抛物线的函数关系式为_；（2）判断ABC的形状，并说明理由；DEFC （顶点 D、 、 、G在ABC各边上）？（3）若ABC内部能否截出面积最大的矩形若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由B x