数理方程与特殊函数：3热传导 拉普拉斯方程化简

1、三维热传导方程热传导问题三类边界条件Laplace方程与Laplace算子微分方程(化简)分类方法 数理方程3高斯公式(曲面积分与三重积分的联系)取 P=ux , Q= uy , R = uz , 则 Px=uxx , Qy= uyy , Rz = uzz 其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度付里叶热传导定律:在dt时段内,通过面积元ds流入体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比, 也与 ds 和dt成正比通过曲面进入导热体的总热量:其中:通过曲面进入导热体的总热量:温度升高所需热量:Q1 = Q2记 a2 = k/(c) 一维热传导方

2、程: ut = a2uxx二维热传导方程: ut = a2uxx + uyy三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 热传导方程的初边值问题(第一类边界条件) u = u(x, y, z , t ) u = u(x, y, t ) u = u(x, t )初始条件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z)ut = a2uxx + uyy + uzz II. 第二类边界条件:III. 第三类边界条件:I. 第一类边界条件:(已知边界温度)(边界上有热流进入)(边界上有热交换)L长的细杆边界上有热流进、出u(x, t )LO1. 在 x = L 处有热流 q 流出

3、ux | x=L = q / k2. 在 x = L 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 ux | x=0 = -q / k4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 ux | x=0 = q / k 这里 为沿热流方向的方向导数边界上有热交换拉普拉斯方程与拉普拉斯算子三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。ut = 0uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程)记(Laplac

4、e算子)则有正方形区域上第一边值问题 准确解:O1x1y方程通解举例(未知函数为二元函数) u(x, y) = f(y) u(x, y) = g(x) u(x, t) = f( x at)1.2.4. u(x, y) = f(x) + g(y)3.验证: u(x, t) = g( x + at)5.6. u(x, t ) = f( x at ) + g( x + at )二阶线性偏微分方程(两个自变量)分类通过自变量的非奇异变换简化主部，进而分类求解。主部二次曲线分类回顾: a11x2 + 2a12 x y + a22 y2 +b1x + b2y + C = 0 0, 椭圆 0,称微分方程为双曲型的3. 若 a122 a11a22 0,称微分方程为椭圆型的2. 若 a122 a11a22= 0,称微分方程为抛物型的称 a122 a11a22 为判别式a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f二阶偏微分方程分类uxx+ uyy = 0utt = a2uxxut = a2uxx双曲型抛物型椭圆型习题 2.2（P.26）1、4思考