工学简单的超静定问题课件

1、简单的超静定问题第 六 章 超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁返回约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静定问题。只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。61 超静定问题及其解法2，超静定问题1，静定问题未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。3，超静定的次数5，多余未知力4，多余约束多于维持平衡所必需的支座或杆件。与多余约束相应的支反力或内力。62 拉压超静定问题一，一般超静定问题 例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图 所示 。计算约束反力。PblBACRByPB

2、RAAC这是一次超静定问题。平衡方程为PblBACBAC相容条件是：杆的总长度不变=RByPBRAACPblBAC变形几何方程为：BAC=RByPBRAACPblBAC补充方程为平衡方程为BAC=RByPBRAACPblBAC 例题：设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示、l1 = l2 = l，A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。试求在沿铅垂方向的外力 P 作用下各杆的轴力。 CABDP123xyPACABDP123解：平衡方程为xyPACABDP123这是一次超静定问题由于问题在 几何，物理 及 受力方面都是对称。

3、所以变形后A 点将沿铅垂方向下移。 相容条件是：变形后三杆仍绞结在一起xyPACABDP123CABD123 变形几何方程为CABDP123A123CABD123物理方程为补充方程为CABD123A123补充方程平衡方程CABD123A123 解得 解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。画 受 力 图列静力平衡方程画 变 形 几 何 关 系 图列 变 形 几 何关系方 程建 立 补 充 方 程

4、解联立方程求出全部约束反力虎克定律例题：图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载 G。如杆 1、2、3 的截面积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A ，l ，E。试求 1、2、3 三杆的轴力 N1，N2，N3 。ABCG123aalABCG123aalN1N2ABCG3N312x解：(1) 平衡方程这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。ABCG123aalA123BC(2) 变形几何方程(3) 物理方程ABCG123aalA123BC 补充方程ABCG123aalA123BC(4) 联立平衡方程与补充方程求解 思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根

5、杆悬挂着。 尺寸 如图所示，拉力P为已知。求各杆的轴力。ABC123408080P5075ABC123408080P5075变形相容条件变形后三根杆与梁仍绞接在一起。变形几何方程ABC123P5075补充方程N1N2N3P408080静力平衡方程例题：刚性杆AB 如图所示。已知 1、2 杆的材料，横截面积 ，长度均相同。若两杆的横截面面积 A = 2cm2，材料的许用应力 =100MPa。试求结构所能承受的最大荷载 Pmax 。 12ABCP2aa解：这是一次超静定问题(1) 列静力平衡方程取 AB 为研究对象12ABCP2aaN1N2PN2N2+N1-P=012ABCP2aaN1N2PN(2

6、) 变形几何方程12ABCP2aa(3) 列补充方程N2 = 2N12N2+N1-P=0(4) 由静力平衡方程和补充方程联立解 N1 和 N2N1N2PN12ABCP2aa强度条件为求得 P=50KN由(5) 由强度条件求 PmaxN1N2PN12ABCP2aa例题：桁架由三根抗拉刚度均为 EA 的杆 AD，BD 和 CD 在D点绞接而成，求在力 P 作用下三杆的内力。ABCD123PH解：设 AD、BD 和 CD 杆的轴力 N1，N2，N3 均为拉力。N1N2N3DPABCD123PH作节点 D 的受力图。D 点的平衡方程为这是一次超静定问题N1N2N3DPABCD123PH变形协调条件是：

7、变形后三杆仍绞接在一起。ABCD123PH123DD1D2 l2D3作变形图ABCD123PH l1FGD1D2123D l2D3 l1FGD1D2123D l2D3 l1E几何方程为FGD1D2123D l2D3 l1E几何方程为补充方程联立补充方程和平衡方程求解ABCD123PHN1 = ? N2 = ? N3 = ? ，。ABCD213l二，装配应力图示杆系，若 3 杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆将处于图中位置，因而产生轴力。3 杆的轴力为拉力，1，2 杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为 装配应力。，。ABCD213l代表杆3 的伸长代表杆1或杆2

8、 的缩短代表装配后 A 点的位移ABCD213l(1) 变形几何方程(2) 物理方程ABCD213l补充方程为ABCD213l(4) 平衡方程ABCD213l补充方程为与平衡方程联立N1，N2，N3 可解 例题 ：两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm。现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距 a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。ABC12aa l3（c)ABC12变

9、形几何方程为l3(b)代入得补充方程列平衡方程aax解三个联立方程即可得装配内力 N1，N2，N3，进而求出装配应力。三，温度应力例题 ： 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为 。试求温度升高 T时杆内的温度应力。解：这是一次超静定问题lAB变形相容条件是，杆的总长度不变。即 lNABlABA杆的变形为两部分：由温度升高引起的变形由轴向压力 P1 = P2 引起的变形 lT变形几何方程是：ABlABA补充方程是：温度内力为：温度应力为：ABlABA例题：桁架由三根抗拉压刚度均为 EA 的杆在 A

10、点绞接，试求由于温度升高 T 而引起的温度应力。材料的线膨胀系数为。132ABDCl132ABDCl132AB1C1A1解：AB1， AC1， AA1 分别为由于温度的升高引起 1，2 ， 3 三杆的伸长。132ABDCl132AB1C1A1C1B1132ABDCl132A假设装配后节点 A下降至 A2 处C2A1A2 装配后 3 杆的伸长B1B2 装配后杆 1 的缩短C1C2 装配后 2 杆的缩短A1B2A2132ABDCl132AN1，N2，N3 为各杆的装配内力AN1N2N3C1B1C2A1B2A2(1) 变形几何方程 132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2物理方

11、程关系： 132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2（2）补充方程：(3) 平衡方程 132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2（4）联立求解132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2解得132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2N1，N2，N3皆为正，说明如所设1，2 杆受压，3 杆受拉。132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2 拉压超静定1 拉压超静定263 扭转超静定问题 例题 ；两端固定的圆截面杆AB ，在截面 处受一个扭转

12、力偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP ，试求杆两端的支反力偶矩。CmabABl12ACB12m解：去掉约束，代之以支反力偶矩这是一次超静定问题。CmabABl12C 截面相对于两固定端 A 和 B 的相对扭转角相等。ACB12mCmabABl12杆的变形相容条件是：CmabABl12变形几何方程由物理关系建立补充方程ACB12m补充方程CmabABl12ACB12m联立平衡方程和补充方程即可解得支反力偶解得CmabABl12ACB12m例题：图 示一长为 l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度 GIPa ，GIPb 。

13、当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为 m 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。mmlAB解：列平衡方程这是一次超静定问题mmmlABmbma变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。变形几何方程是mmmlABmbma物理关系是代如变形几何方程，得补充方程mmmlABmbma联立平衡方程和补充方程，解得：mmmlABmbmaPAB一. 基本概念 6-4 简单超静定梁ABCPABq 二 ，求解超静定梁的步骤图示为抗弯刚度为 EI 的一次超静定梁，说明超静定梁的解法。ABq （1）将可动绞链支座作看多余约束解除多余约束，代之以约束反力 RB 。得到原超静定梁的

14、基本静定系。qAB （2） 超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的 变形相容条件。ABqqAB （3）根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程为ABqqAB （4）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程查表得qABqABBA 补充方程 为由该式解得qABqABBA求出该梁固定端的两个支反力qABABq代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系。变形相容条件为请同学们自行完成 ！方法二取支座 A 处阻止梁转动的约束为多余约束。ABq例题 ：梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的

15、弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 , 试求钢杆 AD 内的拉力 N。a2aABCq2qDADBCq2qA解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作多于约束。拉力 N 为多余反力。基本静定系如图NNADBCq2qA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即NNBCq2qN变形几何方程为根据叠加法 A 端的挠度为CBq2qBCN在例题 中已求得可算出BCq2qNBCq2qBCN拉杆 AD 的伸长为补充方程为由此解得ADBCq2qNN例题 ：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。 已知 EI = 5 103 KN.m3 。4m3m2mABDC30KN解：这是一次超静定 问题取支座 B 截面上的相对转动约束为多余约束。基本静定系为在 B 支座截面上安置绞的静定梁，如图 所示。4m3m2mABDC30KNDCAB30KN多余反力为分别作用于简支梁AB 和 BC 的 B端处的