弹性力学平面问题极坐标课件

1、同理可得各阶微分关系，如二. 极坐标系下的平衡微分方程1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系如图，根据应力状态的定义， 过P点分别以 r 方向和 方向为法线的截面上的应力 r、r r ， 作为在极坐标系下的应力分量。（1）极坐标系下的应力分量和体力分量ryOxrPrrr（2）应力分量的坐标转换 视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、r r ；视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。 由应力状态的坐标转换公式 r称为径向应力， 称为环向向应力。ryOxrPFbFbr代入计算得（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。将其分别向 x、y

2、方向投影得2. 极坐标系下的平衡微分方程由直角坐标系下的平衡微分方程推导当时ryx以此位置的直角坐标系，建立平衡微分方程。即同理代入即得三. 极坐标系下的几何方程1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系ryOxrPuuruv类似体力分量的投影关系2. 极坐标系下的应变分量 将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ，作为P点的应变分量。3. 极坐标系下的几何方程可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。同前分析，当 0 时，所以即四. 极坐标系下的物理方程 因r、 方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。即当为平面应变问题时，E1E、1 。五.

3、极坐标系下的相容方程 极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零或关于 (r ， ) 有势。（展开共8项）将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时ryx在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐标系下的相容方程得到。所以五. 极坐标系下的应力边界条件 设边界S的外法线方向与 r、 方向的方向余弦分别为 l1、l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为 pr、p 。则其应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。即当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程例6-6写出图示问题的应力边界条件（1）Oxylq0r上边：斜边：（2）rPM内侧：rrrr外侧：xOyab 0，l

4、1 0，l2 1 ，l1 0，l2 +1r a，l1 1 ，l2 0r b，l1 +1 ，l2 0r上端： 0，l1 0 ，l2 1或向O简化面力向形心简化rxOyabPMOMxy（3）半无限平面rrra当 r 0 时，上边当 r 0 时，O点受集中力偶， 但无法使用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。由半圆上的应力和外力的平衡关系，有五. 极坐标系下的基本方程总结平衡微分方程几何方程物理方程相容方程应力分量应力边界条件位移边界条件（不计体力）（无体力）（计体力）或6-6 平面问题在极坐标系下求解一. 轴对称问题的应力与相应的位移1.轴对称问题的特征（

5、1）截面的几何形状对称于中心轴，（2）荷载与约束对称于中心轴。如圆环、圆盘、圆筒。因此环向体力 Fb 0 ；在边界上 ，环向的面力和位移为零；即（3）导致物体的应力、应变和位移分布也是轴对称的。即rxyO 由于任何通过中心轴（z 轴）的平面均为对称面，故各分量均与 无关。即2.轴对称问题的基本方程平衡微分方程几何方程物理方程相容方程应力分量边界条件（不计体力）（不计体力） 计体力时3.应力函数与应力分量将相容方程展开得令同理代入常系数微分方程特征方程平面轴对称问题（不计体力），应力分量的一般表达式。其中A、B、C为待定系数，由边界条件和位移单值条件确定。平面轴对称问题（不计体力）的应力函数4.

6、位移分量由物理方程和几何方程式积分代入式积分得将ur、u 代入式，整理得欲使之成立，两端必等于同一常数。即F为常数分别解方程所以，无体力应力轴对称的位移分量其中，A、B、C、H、I、K 为待定常数， 由应力边界条件、位移边界条件（约束）和位移单值条件确定。5.几点说明（1）当物体仅几何和荷载轴对称时，只产生轴对称应力，位移不一定轴对称（从u可见）。称之为轴对称应力问题。（2）轴对称应力问题的位移不一定轴对称乃约束不一定轴对称所致。 可以证明，I、K 为物体分别沿 x、y 方向的刚体位移，H 则为绕轴心的刚体转动。（3）当位移边界条件（约束）也轴对称时，位移也轴对称， 应有 u 0，则 B H

7、I K 0（4）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件。（即位移连续性条件）。 按位移法求解时：若取位移分量为单值，由此求出的应变分量（几何方程）也为单值，求出的应力分量（物理方程）也为单值； 按应力法求解时：若取应力分量为单值，由此求出的应变分量（物理方程）也为单值，但求出的位移分量（几何方程积分）常为多值。 对于单连域，位移单值条件一般自然满足；但对于多连域一般需检验位移单值条件。1.圆环或圆筒受均布压力qaqbbaO二. 轴对称问题示例已知：求：应力分布。（1）确定应力分量的表达式：边界条件：代入应力分量表达式，有式中有三个未知常数，二个方程还不足以完全确定常数 考察多连体中

8、的位移单值条件。 是多值函数，如(r , )和(r , )同指一点，但由此计算却得出两个位移。由位移的单值条件，必有：B = 0所以qbbaO将其代回应力分量式（繁分式称为拉梅解答）讨论：（1）外压无内压： 当 a 0 时：二向等压（2）内压无外压：qaba 当 b 时：具有圆孔的无限大薄板若 a 0但 a 0 当 r a 时：（针孔问题）可见针孔处有应力集中现象，最大应力为无孔的二倍。 当 b a t R (半径) 时：薄壁圆环与材力结果相同2. 压力隧洞问题：厚壁圆筒（E， ）埋在无限大弹性体（E ， ）内 ，受内压 q 作用，求圆筒的应力。分析：相当于两个轴对称问题，（1）内外半径分别为

9、 a、b，受内压 q、外压 p 的厚壁圆筒；qpbaO（2）内半径为 b，外半径为 ，受内压 p 的厚壁圆筒；qbaOE，E ， pbO且均为平面应变问题。确定压力 p 的两个条件：径向变形连续径向应力连续求解：厚壁圆筒的应力分量及其边界条件无限大弹性体的应力分量及其边界条件将应力分量代入边界条件四个方程，五个未知量（p未知）补充位移连续条件平面应变问题欲使对任意的 成立，须有令上式整理为因与前三式联立求解 A、C、A、p，并代入得3. 圆弧曲梁的纯弯曲问题：矩形截面曲梁, rxyabMM O 为曲梁的曲率中心，内半径为 a ，外半径为 b ， 在两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用，两

10、端面间极角为 。分析： 取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原点，并按图示建立坐标系。O 由于各截面上弯矩 M 相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。求解：（1）应力分量由于是单连域，位移式中无多值项，故（2）边界条件内外侧：自然满足自然满足端面：取 = 端自然满足两式直接积分有一定困难， 可利用应力分量与应力函数的关系简化积分由满足联立求解得其中所以讨论：a）r = a 时， 取得最大值（绝对值）；b）中性轴不过截面形心，而偏于内侧；c） 关于截面不成线性分布，且挤压应力r 与同量级。三. 圆孔的孔边应力集中1. 问题的提法 无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔

11、（半径 a 远小于板的尺寸）。薄板对边均匀拉力q作用， 由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力，称应力集中问题。2a 本问题即是求解图示弹性体的应力解答。qq2. 问题的分析以孔心作为原点建立坐标yxr（1）无孔时在极坐标系下yxba(r)r = b(r)r = bqqyxa（2）有孔时b应力分布将发生变化，但在距孔边较远处，其应力分布与无孔时几乎一致。 因此用较大半径 ba ，以孔心为圆心作圆， 该圆周上的应力即与无孔时的应力相同。(r)r = b(r)r = b 由截面法，以半径为b的大圆将板截为内外半径分别为a、b的圆环。 视圆周上的应力为圆环的面力，即 将面力分解为两组，

12、即 问题转化为圆环分别在两组面力作用下应力解答的叠加。yxbaprpyxbaprpyxbapr3. 问题的求解 第一组解答 在第一组面力作用下，系圆环仅受外压应力解答的轴对称问题。=4. 问题的求解 第二组解答 在第二组面力作用下，圆环受非对称荷载，系非对称问题。用应力函数半逆解法求解。（1）应力函数由应力边界条件可知，只要 r 不接近 a ，由应力分量与应力函数的关系可知，故设代入相容方程得解该Euler方程得所以（2）应力分量（3）边界条件内边界：外边界：将应力分量代入联立解之，并令所以5. 问题的应力解答解答的此形式称为齐尔西（G. Kirsch）解6. 讨论（1）应力集中孔边（r a）

13、最大应力无孔时可见,应力集中系数（2）应力分布qqyxq3q 沿水平方向（ 0） q0.16q之后趋近于零，与无孔时的分布相同。 沿竖直方向（ 2）之后趋近于q，与无孔时的分布相同。 说明应力集中的影响范围仅限于局部区域，与力的局部作用原理（圣维南原理）相同。yx（3）结果应用 双向均匀拉压矩形薄板，距边界远处开小圆孔的计算q2q1yxrq1y1x1r1分解为两个齐尔西解叠加q2y2r2 2x2 均匀应力任意形状薄板，距边界远处开小圆孔的计算yx1212xy 由无孔时计算所得的均匀应力状态，计算任一点的主应力和主方向； 以主方向为x、y轴，以圆心为原点作矩形； 由于各点应力状态相同，所以矩形两

14、对边的面力即为主应力。 问题化为。 需注意问题转化前后研究点的坐标方位。 工程中近似计算孔边应力的方法 先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 sx 、sy 、txy ；再由应力分量求出相应的主应力和主方向； 最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力 q1 = s1 及 q2 = s2 ，从而由前述的叠加法求得孔边应力。非均匀应力状态四. 楔形体的楔顶与楔面受力1. 楔顶受集中力作用xyOPr 楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度）。 求楔顶与楔面受力时的应力分布。 设集中力P与中心线的夹角为 。（1）应力函数 量纲分析法： 问题的条件中，所有的量仅有P (Nm)、r (m)、 。 要由这

15、些量构成应力的量纲 (Nm2)，只有且仅含 Pr 的一次项。所以，应力分量 r 1应力函数比应力分量高两次 故设代入相容方程得即整理得所以xy线性项（2）应力分量（3）边界条件楔面：自然满足楔顶：截取含楔顶的脱离体建立平衡关系。以楔顶为圆心任作一圆弧 ， 取其上部建立平衡方程。xyOPr0rrab将应力分量代入自然满足积分得代入应力分量得密切尔（ Michell ）解答（4）讨论 0 ：竖向力P作用 2 ：水平力P作用Pr正对称分布反对称分布Pr 当 r 0 时：r ，不可能（？） 、 0 ：半平面体边界受法向力P作用PxyOr2. 楔顶受集中力偶作用xyOrM（1）应力函数应力分量 r 2

16、故设代入相容方程得 注意到集中力偶矩应为单位厚度的矩，即M 的量纲为(N) 。因此若受分布力作用，可由叠加法对上式积分。（2）应力分量 考虑到反对称载荷下，对称体的应力分布应反对称。即r 应是 的奇函数，r 应是 的偶函数。所以，A 0（3）边界条件楔面：自然满足楔顶：以楔顶为圆心任作一圆弧 ， 取其上部建立平衡方程。自然满足自然满足联立求解得xyOr0rrabM代入应力分量英格立斯（Inglis）解答3. 楔面受分布力作用Oxyrq（1）应力函数应力分量 r 0 故设 注意到分布力q 的量纲为(Nm2) 。因此，代入相容方程得（2）应力分量（3）边界条件竖面：斜面：联立求解回代应力分量（3）特例当 时，半平面体之半受均布力作用。qxyOr为便于应用，将其转换到直角坐标系：五. 半平面体在法向力作用下的位移PxyOr1. 受集中力作用（1）应力分量（2）应变分量（3）位移分量由几何方程由物理方程积分第一式代入第二式积分得将 ur、u 代入第三式，并整理得式中，H、I、J、K为任意常数由对称性所以所以常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。 工程所关注的是边界上的铅垂位移（地面沉陷），即（4）边界沉陷由于常数 I 无法确定，所以只能求