九年级《角平分线、线段的垂直平分线、尺规作图的应用》复习整合

1、复习课角平分线 线段的垂直平分线 尺规作图应用潮安区庵埠镇华侨中学 苏俊伟1.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.2.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.3.能用尺规完成以下基本作图：作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线.1.角平分线(1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等(2)逆定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2.线段的垂直平分线(1)性质:线段的垂直平分线

2、上的点到这条线段的两端点距离相等(2)逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3.尺规作图及基本作图两种基本作图：(1)作一个角的平分线；(2)作线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线例1：如图 ，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E.若ABC 与EBC 的周长分别是 40cm,24 cm，则 AB_cm.解析：DE 是 AB 的垂直平分线，AEBE.ABC 的周长ABACBC，EBC 的周长BEECBCAEECBCACBC，ABC 的周长EBC 的周长AB.AB402416(cm).答案：16思想方法运用转化思想是解决本题

3、的关键，即利用垂直平分线的性质将EBC 的周长转化为ACBC.例 2：如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2，则BCD 的面积是_.解析：CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC， DEDF2.答案：4易错陷阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意必须是垂直距离，否则不成立.【试题精选】1.(2016 年湖北黄石)如图 ，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A50，则BDC（ ）A.50B.100C.120D.130答案：B2.(2016 年浙江湖州)如图，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC

4、和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直.若 AD8，则点 P 到 BC 的距离是()A.8B.6C.4D.2答案：C作图与证明例3：如图，点 D 在ABC 的边 AB 上，且ACDA(1)作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系.(不要求证明)解：(1)如图，(2)DEAC.【试题精选】3.如图，在ABC 中，ABAC，DAC 是ABC 的一个外角.实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母.(保留作图痕迹，不写作法)(1)作DAC 的平分线 AM；(2)作线段 A

5、C 的垂直平分线，与 AM 交于点 F， 与 BC 边交于点 E，连接 AE，CF.猜想并证明：猜想四边形 AECF 的形状并加以证明.解：(1)如图，(2)四边形 AECF 的形状为菱形.理由如下：ABAC，ABCACB.AM 平分DAC，DAMCAM.DACABCACB.CAMACB.EF 垂直平分 AC，OAOC，AOFCOE.AOFCOE.OFOE，即 AC 和 EF 互相垂直平分.四边形 AECF 为菱形.作图与计算例4：(2016 年广东深圳)如图，在ABCD 中，AB3,BC5，以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，以大于1/2

6、PQ的长为半径作弧，两弧在ABC 内交于点 M，连接 BM 并延长交 AD于点 E，则 DE 的长为_.解析：依题意，可知，BE 为角平分线， 所以ABECBE. 又 ADBC， 所以AEBCBE. 所以AEBABE，AE AB3.因为 ADBC5，所以 DE532.答案：24.(2016 年广东)如图，已知ABC 中，D 为 AB 的中点。(1)请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)条件下，若 DE4，求 BC 的长.【试题精选】解：(1)如图，(2)由三角形中位线定理，知 BC2DE8.演练巩固提升1.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明)（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由解答：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：EF垂直平分BD， BE=DE，DEF=BEF， ADBC， DEF=BFE， BEF=BFE， BE=BF， BF=DF， BE=ED=DF=BF， 四边形BEDF为菱形2.如图，在RtABC中，C=90，BD是ABC的一条角平分线点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形求证：点