2019版年高中数学 第一讲 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练 新人教A版选修4(考试专用

1、1.1.3三个正数的算术几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1正实数x，y，z满足xyz2，则()Axyz的最大值是323Bxyz的最大值是32Cxyz的最小值是323Dxyz的最小值是3233解析：由三个正数的算术几何平均不等式，得xyz3xyz32，当且仅当x33yz2时，xyz取得最小值32.答案：D1x2已知xR，有不等式：x214xx43xx4x2xx2，x222x232x23，.a启发我们可能推广结论为：xxnn1(nN*)，则a的值为()AnnB2nCn2D2n1b（ab）axxxa解析：xxnnnn,sup6(,n个)xn，要使和式的积为定值，则必须nna.答案：A13若ab0

2、，则a的最小值为()A0C2B1D3b（ab）b（ab）解析：因为a11(ab)bb（ab）b（ab）33（ab）b3，当且仅当a2，b1时取等号，所以a111的最小值为3.答案：D4设x，y，zR，且xyz6，则lgxlgylgz的取值范围是()A(，lg6Clg6，)B(，3lg2D3lg2，)xyz3而xyz23，解析：因为lgxlgylgzlg(xyz)，3所以lgxlgylgzlg233lg2，当且仅当xyz2时，取等号答案：B5已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()3A36C12B223D125abc31解析：设这三个正数分别是a，b，c，则abc1，所以abc，当且仅当a

3、bc时，abc取得最大值.3解析：2x4y8z2x22y23z32612.当且仅当x2y3z2时等号成立答案：C二、填空题6将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是_32711327答案：12757函数f(x)x(52x)20 x的最大值是_解析：f(x)4x(52x)(52x)21414x52x52x34325027，当且仅当4x52x，即x时，等号成立5250故函数f(x)x(52x)20 x的最大值为.56227227当且仅当x2，即x1，y2时取等号1124解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2).250答案：8若实数x，y满足x，y0，且x2

4、y2，则xyx2的最小值是_2解析：由x2y2，得yx2，代入xyx2，得2211xyx2xx2x2xx2xxx23，1x答案：3三、解答题9为锐角，求ysincos2的最大值3223273当且仅当2sin21sin2，即sin3时取等号23所以ymax9.3(abc).2又3(abc)39(abc)22763，2当且仅当3(abc)39(abc)时，式等号成立111210已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c2abc63，并确定a，b，c为何值时，等号成立2证明：因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式，得a2b2c23(abc)3，1111abc311122所以abc9(abc)3.

5、111222故a2b2c2abc3(abc)39(abc)3.23所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立234即当且仅当abc3时，原式等号成立3B级能力提升1已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()CVDVAV18BV18解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h，所以圆柱的体积为Vr2hr2rr32r3.2若a2，b3，则ab的最小值为_64r64r22r2(32r)3当且仅当r32r，即r1时取等号答案：B1（a2）（b3）解析：因为a2，b3，所以a20，b30，（a2）（b3）（a2）（b3）则ab11(a2)(b3)（a2）（b3）58.5331（a2）（b3）当且仅当a2b3，即a3，b4时等号成立光源的距离r的平方成反比，即Eksin，这里k是一个和灯光强度有关的常数那么1（a2）（b3）答案：83.如图，在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到r2应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？sincos2所以Ek0，2解：因为r，cos424sin2cos4所以E2k2k21632(2sin2)cos2cos2323k2k22