2022年河北省藁城市高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）A100B1000C90D

2、902在中，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数的图象大致是( )ABCD4是的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要5如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）ABCD6若函数，在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）ABCD7已知是定义在上的奇函数，且当时，若，则的解集是（ ）ABCD8如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，则与面所成角的正弦值等于（ ）ABCD9已知集合，则（ ）AB

3、C或D10要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位11函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）ABCD12已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为_.14函数的定义域为_.15已知四棱锥，底面四边形为正方形，四棱锥的体积为，在该四棱锥内放置一球，则球体积的最大值为_16正四棱柱中，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为_.三、解

4、答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在，角、所对的边分别为、，已知.（1）求的值；（2）若，边上的中线，求的面积.18（12分）设函数，（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.19（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.20（12分）已知三点在抛物线上.（）当点的坐标为时，若直线

5、过点，求此时直线与直线的斜率之积；（）当，且时，求面积的最小值.21（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右准线方程为x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且ON=62OM，求OB的长；若原点O到直线l的距离为1，并且OAOB=，当4556时，求OAB的面积S的范围22（10分）已知函数（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）讨论函数的单调性参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小

6、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.2C【解析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，由，可得，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时

7、也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.3B【解析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，则的定义域为.，当，单增，当，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.4B【解析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。【详解】设对应的集合是，由解得且 对应的集合是 ，所以，故是的必要不充分条件，故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方

8、法集合关系法。设 ，如果，则是的充分条件；如果B则是的充分不必要条件；如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件。5A【解析】设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得，由，解得，方程为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.6D【解析】利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据

9、三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.7B【解析】利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数，.当时，为奇函数，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式

10、；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.8A【解析】首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，设中点为，连接，可知，同时易知，所以面，故即为与面所成角，有，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.9D【解析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：，解得，.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.10D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图

11、象，只需将函数的图象向左平移个单位故选：D【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题11B【解析】根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.【详解】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，则有，可得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为1，故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.12D【解析】由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得

12、取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立. .令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据递推公式，以及之间的关系，即可容易求得，再根据数列的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求.【详解】当时，解得.所以.因为，则，两式相减，可得，即，则.两式相减，可得.所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.令，则.当时，数列单调递减，而，故，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】

13、本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.14【解析】由题意可得，解不等式可求【详解】解：由题意可得，解可得，故答案为【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题15【解析】由题知，该四棱锥为正四棱锥，作出该正四棱锥的高和斜高，连接，则球心O必在的边上，设，由球与四棱锥的内切关系可知，设，用和表示四棱锥的体积，解得和的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值.【详解】设，由球O内切于四棱锥可知，则，球O的半径，当且仅当时，等号成立，此时.故答案为：.【点睛】本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的

14、填空压轴题.162.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (1) (2)答案不唯一，见

15、解析【解析】（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本关系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分别由三角形面积公式可得答案【详解】解：（1）在中，因为，又已知，所以，因为，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，当时，的面积，当时，的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题18（1），；（2）；（3）不能，证明见解析【解析】（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；（3）构

16、造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】（1），曲线在点处的切线方程为，解得.（2）记，整理得，由题知，对任意恒成立，对任意恒成立，即时，解得，当时，对任意，即在单调递增，此时，实数的取值范围为.（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记，则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，当时，记，则，在单调递增，即，在单调递增，至多有一个零点；当时，记，则，在单调递增，即在单调递增，至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.因此，不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调

17、性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.19（1）；（2）【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为，转换为直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），转换为标准式为（为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，.【点睛】本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化，及求三角形面积需要熟记极坐标系与参数方程的公式，及与解析几

18、何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路20（）；（）16.【解析】（）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；（）利用，的斜率，求得的坐标，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值【详解】解：（）设直线的方程为. 联立方程组，得，故，. 所以；（）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），设，的斜率为，又，则， 因为，所以由 得，（且）从而当且仅当时取“”号，从而，所以面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题21（1）x22+y2=1；（2）OB=173；106,225.【解析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2

19、；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a=2c，又由右准线方程为x=2，得到a2c=2，解得a=2,c=1，所以b2=a2-c2=1 所以，椭圆C的方程为x22+y2=1 （2）设B(x1,y1)，而A(0,1)，则M(x12,1+y12)， ON=62OM， N(6x14,6(1+y1)4)因为点B,N都在椭圆上，所以x122+y12=13x1216+3(1+y1)28=1，将下式两边同时乘以83再减去上式，解得y1=

20、13，x12=169 所以OB=x12+y12=169+(13)2=173 由原点O到直线l的距离为1，得|m|1+k2=1，化简得：1+k2=m2 联立直线l的方程与椭圆C的方程：y=kx+mx22+y2=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2，且=8k20 OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m2-21+2k2-4k2m21+2k2+m2=2m2-2+2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m21+2k2 =3m2-2-2k21+2k2=1+k21+2k2=，所以k2=1-2-1OAB的面积S=121AB=121+k2|x1-x2|=121+k2(x1+x2)2-4x1x2=121+k28k2(1+2k2)2=2(1+k2)k2(1+2k2)2=2(1-)，因为S=2(1-)在45,56为单调减函数，并且当=45时，S=225，当=56时，S