2012美国建模A题

1、 PAGE - 19 -2012年美国大学生数学建模A题如何计算树上树叶的 重量1摘要 众所周知，树的 叶片在光合作用中起到的 重要作用，它是 用来与外界交换信息的 重要场所。不同的 树有不同类型的 树叶。相同的 树木，我们提出了分类的 想法，然后建立样品分类为不同类型的 树叶，树叶的 不同类型的 聚类分析模型是 相似的 。然后得到的 样品在同一种树，我们可以得到不同类型的 叶片生长的 信息。因此，可以知道阳光会影响叶片的 分布是 如何的 。自然界中的 大多数物体都可以利用分型所描述，分型，是 由美国数学家BBMandelbort首次提出的 ，已经被用来描述肺，肾，血管，花卉，海浪和云彩。树是

2、 相似分形最常见的 例子之一。从树的 树枝树干，各分支的 结构与树的 整体结构是 相似的 。它还回答了这个问题,树的 轮廓与分支结构,是 通过测量树的 树干直径、长度和分支的 角度来确定的 ，也可以是 能够建立结构模型。所以建立两个分形模型 ，构造出一树的 分形结构。可以计算模拟树的 树干和分行。使用假设的 方法，假设生长在外面的 树枝、树叶，树的 个别分支的 重量是 可以测量，我们可以计算出整个树的 叶片重量的 近似值，当得到树叶的 重量，我们可以联系树的 高度，质量和数量。我们建立了比较不同样本的 叶形为基础的 模型来描绘树叶形状和树的 外形的 相关性。关键词：分型，聚类分析，线性回归，树

3、叶的 重量，树叶形状2问题概述 “树叶有多重？”怎么估计树叶的 实际重量？如何分类树叶？建立了一个数学模型来描述和分类的 树叶。考虑并回答下列问题：树叶为什么有各种形状？形状的 “最小化”投影重叠，以便有最大限度地阳光照射吗？树叶及其分支机构在“量”的 分布效应的 形状？说到树叶的 轮廓，是 树叶的 形状/分支结构吗？你将如何估计树叶质量？树叶的 质量和树的 大小特点之间有关系吗？3模型假设假设1：树结构的 分形特征。详细模式复制从树木的 分支然后到叶脉。 假设2：树叶的 质量大致确定由最外层枝叶（即是 最好的 分支机构），内叶的 整体质量几乎没有影响。假设3：树干直径定期更换。主干直径与不同

4、点的 位置密切相关，。假设4：本地分型和整个树的 形状满足自相似性的 特点。假设5：每片树叶的 形状是 轴对称的 。假设6：在实验中测得的 数据是 实际和有效的 。4符号D树干的 直径M躯干的 长度P在一定的 高度，树干的 直径，作为一个直径-高度函数在父分支（或主干）及其支行之间的 长度减少的 因素(Xi, Yi)叶片的 边缘点该点(Xi, Yi)到对称轴的 距离an维向量和Xi 作为一个组成部分R向量a的 系数AV标准化模数的 向量aR1树的 指标R2树叶的 指标5术语分形：一个粗略的 或小几何形状可分为几部分,每一部分是 降低整体形状,这是 自相似的 形状。准自相似或统计自相似。图1：曼

5、德拉博设置 图2：分形树直径缩小率：树干直径下降，从根到尖。直径缩小率是 用来描述直径减少的 因素，作为一个函数的 底部的 距离。长度减少率：其树枝和它的 分支长度减少的 因素。聚类分析：指将物理或抽象对象的 集合分组成为由类似的 对象组成的 多个类的 分析过程。它 是 一种重要的 人类行为。聚类分析的 目标就是 在相似的 基础上收集数据来分类。6.分析6.1为什么树叶有不同的 形状6.1.1叶脉直接决定树叶的 形状和大小各不相同是 植物区系的 主要特点显着。一些几何术语，如椭圆形（椭圆形），椭圆（椭圆）或钻石（菱形），已经由植物学家介绍，描述各叶的 形状。千姿百态的 树叶外表特征不同。叶脉可

6、以揭示植物的 大量信息。例如，打开植物叶片上的 洞（即“叶孔”），以吸收更多的 二氧化碳，进行光合作用，树叶会失去蒸腾水的 数量（这个与天气和气候因素密切相关）。这个过程需要很多导管来运输水，这意味着需要大量较大的 叶脉。另一个例子是 ，如果一种植物不断需要大量的 水，这将为叶脉的 特殊几何分布奠定了基础，即整个叶片的 形状。因此，它是 树叶的 最主要的 部分，确定它们是 否是 古典枫叶或刀片柳树叶形状或其他的 叶脉。在一般情况下，叶脉决定一切叶片，包括提供给树叶的 支持，抵抗侵略，运送营养，甚至帮助传递化学信号（植物在这方面，像动物的 神经叶脉）。6.1.2基因决定众所周知，树分支的 形象是

7、 一个典型的 分形结构，分支配置重新出现在规模较小的 分支。叶脉，树枝，整个树的 结构是 类似的 。植物形态多样性由先天或遗传控制决定；因此，叶脉纹理的 参数，如分枝的 数目，分枝角度，减少的 幅度，和迭代次数的 参数，可以用来确定树分析剖面的 资料。树分形的 轮廓，主要是 由基因决定。6.1.3环境的 影响然而，它也可以受到环境因素的 影响。例如，同一品种在不同环境中可能有不同的 叶型，亚麻叶的 形状受到太阳光线的 影响。（如图3所示）热带树的 树叶比那些从寒冷气候的 树叶更可能是 圆，厚，平滑的 边缘。在干旱条件下的 植物的 树叶一般都比较小，针状，以维持水植物失水，因为90是 通过叶片蒸

8、发。其中在同一棵树上的 树叶，顶端的 树叶与在底部或内部的 相比会更小，由于更多的 太阳光线照射的 树冠的 是 形状。此外，树冠顶部的 树叶一般有锯齿，促进散热。虽然在底部有较少的 阳光照射，而树冠叶通常有较大的 表面积和平滑的 边缘，以增加吸收太阳光。A b c d e图3.亚麻叶的 形状或型材的 太阳光线的 影响A：实验对照组B：每天8小时的 轻处理，处理一个月C：每天8小时光照处理，处理2个月D：每天6小时光照，每个月一天E：每天6小时光照，处理2个月6.2阴影的 影响在不同的 树种上这个位置的 树枝,树叶和花是 不同的 。它们的 定位是 按一定的 顺序排列的 ,这就是 所谓的 叶序。叶

9、序分为交替,相反的 ,螺纹和成束的 。图4 不管树叶在茎,枝的 排列方式,相邻两个从未重叠的 叶片却以mosaidy排列垂直于阳光中. 这种现象被命名为”叶镶嵌”。 叶镶嵌，可以使所有的 树叶，以获得最大的 效率做光合作用的 光照。阳光是 最重要的 因素，影响叶形。由于光照强度和照明面积的 不同，树叶的 形状有相应的 不同。一棵树的 树叶可以通过聚类分析模型之一归类，然后叶片各种传播可以被认识。 与太阳光的 投影分析相结合，可以得到一定程度受到阳光的 影响的 各种叶片。6.3叶片的 形状和树和分支结构的 轮廓之间的 关系根据分形理论，树的 轮廓和分支结构相似，因此，叶片的 轮廓和分支结构之间的

10、 关系，类似于叶片和结构的 形状和树的 轮廓之间的 关系。假设有N = 7 。然后，我们使用聚类分析，分类采样的 树叶。6.4 一棵树叶片的 重量使用分形理论去建立两个模版. 自然界中的 许多植物显然是 分形形式。主要的 分支机构一再划分为更小的 子技能.使用适当的 规模，观察到的 一些树木和根和其他一些植物。（尤其是 最原始的 植物，如农业用地，苔顺，海藻）看起来都是 分形特征，这意味着他们是 分形生长的 形式。当计算一个树叶的 重量，根据分形理论，它是 比较容易计算，一棵树的 一些基本参数，例如，分行数目，分支直径等. 我们可以成功地估算叶片的 平均数量在过去的 分行等级，所以，我们可以计

11、算出树的 树叶数量.有了叶数，很容易计算一棵树的 树叶重量。6.5一棵树的 叶片重量和高度，质量，体积之间的 关系如果我们改变模型 II 中减少率的 直径，我们将得到不同的 树木和不同的 树高、 质量、 体积重量的 叶片重量。然后我们使用的 回归分析在 SPSS 软件获取它们之间的 相关系数。7模型设计及解决方案7.1模型一：树叶的 分类7.1.1 叶分类的 原则：首先，轴的 距离是 边界点的 距离（x,y）对称轴。图形的 旋转不会改变从边界点到对称轴的 距离。对称轴平均分为N个部分。 N的 值越大，我们的 结果会更精确。图片5在这里，我们使用的 最短距离的 方法，在系统聚类分析方法进行分类。

12、最短距离的 方法是 使用下面的 公式系统聚类的 类之间的 距离。图片67.1.2叶片分类计算步骤我们假设，轴的 距离已知： ,看到轴的 距离为一个n维向量，这是 7维向量。=(,)。恐怕各类叶片的 大小，可能会影响叶形分类。我们得到的 7维向量的 标准化。=().我们使用归向量代表的 两片树叶的 亲和力之间的 欧几里德距离。然后使用SPSS软件。我们用最短距离法，系统聚类分类i叶片。| iR.分类的 特点是 ，欧几里德的 类之间的 距离是 长的 ，一类是 由欧氏距离短。也就是 说,同一类型的 树叶是 相似的 。但不同类型的 不知道。7.1.3不同树种的 分类叶不同的 树种有不同的 树叶，这是

13、由两个基因决定，后天的 环境，因此，不同的 树的 树叶的 分类是 不同树种的 分类。所以归入类似的 树叶，他们的 血管当然是 相似的 ，因为静脉直接决定了树叶的 形状。同样地伸出，他们是 在提供结构支撑和保护，不受侵犯，输送养分，化学信号类似。它为我们提供一个新的 概念，了解不同品种的 树木。7.1.4同一棵树上的 树叶的 分类根据相同的 树叶分类，我们可以得到不同类型的 刀片分布， samply不同类型的 树叶。同时，我们纪念的 取样位置，所以叶片的 样本，可以恢复到一棵树，就可以知道不同类型的 树叶的 树木分布。因为没有真正的 数据，我们假定可以分为两大类，小树叶和大叶的 树叶。其分布可能

14、是 两种。1，是 在顶部的 小树叶，在底部的 大树叶图7 ：红色小树叶，大叶黄在阳光的 照射下，通过上面的 树叶产生的 阴影是 小，从而有更多的 阳光照射在底部的 大叶，大叶中含有较多的 叶绿体，因此比小树叶，下面的 树叶可以更好地吸收太阳能，从而能更好地进行光合作用，吸收二氧化碳。2，在顶部的 大叶，在底部的 小树叶。图8 ：红色小树叶，大叶黄在阳光的 照射下，在树的 顶端，叶大，因此，将有很多阴影，下面的 树叶不能获得更多的 太阳能，而下面的 叶所含的 叶绿体少，所以下面的 树叶吸收的 光线越少的 能源，它的 作用将是 较小的 ，不再有必要的 ，因此这种类型的 树被淘汰。7.2模型二：分形

15、主干模型7.2.1模型的 建立理论:一棵树上的 树叶重量=每片叶片的 平均重量一棵树上的 树叶数量。一棵树上叶片的 数量=每个最小分支的 叶片数量最小分支的 数量根据树木的 分形理论，可以得到最小分支的 数量。根据平均采样数据，可以得到每个最小分支和每片叶片的 平均重量。7.2.2分析步骤如下（1）由于某种树，得到以下的 数据可以通过测量：主干AO的 直径是 .主干AB的 直径是 .主干AD的 直径是 .分支点和最低点之间的 距离是 OA ，OD， AB和AE 。因此，减少系数和减少每个分支点的 系数，可以计算出（如图9所示） 。（2）我们可以计算出其他分支的 长度,通过降低利率计算第一步(图

16、9)（3）根据直径减按步骤之一。我们可以计算出每个节点（图9）的 直径。（4） 为直径指定的 最低值，当,继续构建模型树，重复计算过程of.steps 2和3， （例如，图10 ）（5）当,计算分支机构的 总数。（6）多次称量最小分支树叶的 重量，然后计算平均值（7）计算树的 树叶的 重量7.2.3模型的 解决方案（1）电脑处理如下（系统流程图）（2）数据存储形式计算机数据存储的 形式是 一个树状结构，根据树木的 实际情况，多个分支机构的 几个树在每个节点中存储的 数据，数据包括了D （直径） ，L（距离，这给它的 节点是 父节点，根是 0 ） ，N（下一个子节点） 。最后只需要确定叶节点的

17、数量，将能够确定最低数量的 树枝。D,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,NOADCFEB图片12（3）数据分析Trunk diameterD1/1D2/2D3/3NNumber of branchesLeaf weight 4530/0.6624/0.53258435843*g2515/0.6015/0.60220482048*g2316/0.7012/0.5210/0.4436147261472*g4030/0.7524/0.626489364893*g157/0.479/0.6030.2315131513*g5037/0.7430/0.627949979499

18、*g表1注：G的 平均体重的 树叶上最小的 分支D1，D2和D3是 第一级分支的 直径1 ， 2 ， 3是 狭隘的 第一级分支树树干图片13这张图片是 由C + +创建。我们可以得到的 分行数目，如果我们在其中输入数据7.3模式三：树叶和树模型的 原理：树索引=树高/冠冠=(东西冠的 直径+南北冠的 直径)/2叶长/叶宽以下是 10个9岁的 短枝型红星的 例子，numTree index r1Leave index r211.231.821.221.8131.051.8941.181.8351.211.861.061.8771.341.7681.511.791.081.88101.121.8表

19、2模型的 解决方案：通过使用SPSS软件和t-统计量显著，结果是 ：, 。图14：线性相关上述模型展示的 树指标和树叶面积指数是 负相关，并且有着显著相关性。8.优点和缺点8.1 优点8.1.1 模型优点1A) 通过对不同类型的 树叶进行的 分类，我们可以得到不同类型的 树叶之间的 相似性。这为研究不同树木种类的 共性奠定了基础。B)我们还可以探讨光对树木的 影响和树叶的 空间分布对树木的 影响。8.1.2 模型优点2A)分形模型对树木和树枝之间的 相似特征做出了各个层次的 解释。通过分形模型，我们可以得到一个更现实的 树模型，它提供了一种来估计树叶重量的 方法 。 B)根据分形特征来模拟植物

20、,然后模拟实体树的 树叶，计算模拟树的 树叶的 重量。这样可避免为了求真正的 树的 树叶的 复杂计算。8.1.3 模型优点3 取样后，它很容易操作，这样我们就可以迅速得到树叶和树之间的 相关性。8.2缺点8.2.1 模型缺点1聚类分析，阈值将直接影响分类的 结果。分类错误与对称轴的 数目和其上面相等的 点有关，点越多越准确。8.2.2 模型缺点2 树的 结构是 理想化的 ：树木的 分形结构是 根据不同的 情况，如光照，温度，湿度，等。它们会影响树木生长和发展。模型树和实体树有很大的 不同。 B) 降低利率：我们认为降低利率是 不变的 ，但实际上降低率可能与其他因素，不是 一成不变的 。8.2.

21、3 模型缺点3因为样品树是 特殊的 ，所以，结果可能不会与实际完全吻合。因此我们需要得到大量的 其他树木，收集相关的 数据来计算。从而得出有关结论。9.模型改进9.1 改进1在现实生活中，并不是 所有的 树木都符合分形结构，因此使用上述模型，其结果可能会出现比较大的 错误。例如，当树木被人工剪枝时，就不满足树的 分形结构了。为了解决这些问题，我们可以将树木划分成几个小部分，虽然整个一棵树不符合分形结构，但是 ，划分之后的 每个部分是 满足分形结构，然后我们就可以使用该模型计算出每一部分的 重量。最后，对各部分的 求和。9.2 改进2这棵树,模拟了第二个模型，满足分形结构,但它缺乏真实感。为了解

22、决这个问题，我们可以使用L-系统创建模型树，实际上，它是 一个字符串重写系统。我们解释了字符串转换成曲线(或者更准确的 说,作为图形),所以生成字符串相当于生成图。 这种改进有两个优点。首先,这种方法可以生成一个经典分形。第二,它可以模拟植物形态学，尤其是 能很好地表达植物的 分支结构。 树叶的 模拟可以使用IFS系统的 理论，其基本思路是 ，在全局和局部的 意义自相似结构的 仿射变换的 对象，下面是 L系统模拟树的 照片（图15）和叶IFS系统模拟。（图16） 图15 图16 参考文献1 T.S. Ni, C. C. KING and Y. W.TANG THE EFFECT OF SHOR

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27、 biomass and dynamics, J. Veg. Sci.11 .Awal MA;Ishak W Determination of specific leaf area and leaf area-leaf mass relationship in oil palm plantation附录#include #include using namespace std;typedef double ElemType;typedef struct LNode ElemType data; struct LNode *next;LinkList;void InitList(LinkList *&L) L=(LinkList *)malloc(sizeof(LinkList); L-next=NULL;int ListLength_L(LinkList *L) int n=0; LinkList *p; p=L-next ; while(p!=NULL) n+; p=p-nex