第六章偏导数与全微分(专升本微积分)课件_第1页
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1、一 、基本概念及结论1.多元(二元)函数的定义：二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域D表示,記为D(f)。第六章 偏导数与全微分10对应关系的求法同一元函数注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路径趋向于 时，均有若能找到两条不同的路径使沿此两路径 时，f(x,y)具有不同的2.二元函数的极限3.二元函数连续性定义：4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。5.二元函数偏导数定义 同样可定义关于y的偏导数:注：二元函数的二阶偏导数12若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。6.二

2、元函数的全微分:三元函数的全微分:多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.12347.连续、偏导数存在与可微之间的关系二、基本问题及解法问题(一): 一般函数 偏导数与全微分的计算 解： （1）搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。问题(二):复合函数偏导数求法解:变量关系如图:“抽象”的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留“抽象”的形式

3、。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。另解：注：也可引进中间变量，令例7 设f(u)具有二阶连续偏导数，且解：先求一阶、二阶偏导数，再代入由三元方程F(x,y,z)=0所确定的z是x,y的函数z=f(x,y)称二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边);问题(三)：多元隐函数偏导数的求法两边求导法:公式法：问题(四): 求二元函数的极值(1)定义：(3)极值存在的充分条件：步骤条件极值及解法求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值(2)拉格朗日乘数法求极值步骤：123无须判定，直接根据实际问题下结论例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元和9万元，生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时,两种产品的产量各是多少?答:企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为70件和30件.例3.某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费 （万元）及报纸广告费用 (万元)之间有关系式：(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;解:（1）无条件极值利润函数(2)求条件极值拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时利润最大此为最优

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