线性代数课件：第1章 线性方程组

1、-1-线 性 代 数-2- 代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。 线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。-3- 线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于

2、现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。-4- 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和

3、理论化学所不可缺少的代数基础知识。-5- 因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。-6-1.1 线性方程组1.2 矩阵及其初等变换1.3 线性方程组的矩阵解法第一章线性方程组 -7-若干典型问题线性方程组它的解取决于系数和常数项故对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究。引例1-8-引例2 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示的四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B。四城市间的航班图情况常用以下表格来表示:0010D1001C0101B0110A

4、DCBA 到站 发站1表示有航班,0表示没有航班-9-线性代数研究对象线性方程组线性代数研究工具矩阵线性代数研究方法矩阵的初等变换-10-1.1 线性方程组1.2 矩阵及其初等变换1.3 线性方程组的矩阵解法第一章线性方程组-11- 矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(P.S.Laplace) 进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶

5、段。2 矩阵及其初等变换-12- 为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。定义-13-(1) 11的矩阵就是一个数。 (2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵称为行矩阵或 n 维行向量。ai 称为A的第 i 个分量。称为列矩阵或 m 维列向量。 ai 称为A的第 i 个分量。(4) 只有一列的矩阵-14-(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。(6) 矩阵(约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。(7) 矩阵称为对角矩阵。记作-15-定义设 ，如果(此时称A与B是同型矩阵) 且则称 A 与 B 相等，记作 A = B。问

6、： 与 相等吗？-16- 称矩阵的下面三种变换为初等行变换(1) 交换矩阵的某两行，记为(2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为类似定义三种初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换定义-17-初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换-18-初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简形就是所谓的最简单的“代表”) 书P5 定义4行阶梯形矩阵-19-行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形(

7、1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。-20- 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。（P 9定理1.1）定理 例1-21-化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。-22-(等价关系)定义 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 。等价满足：自反性：(2) 对称性：(3) 传递性：-23-1.1 线性方程组1.2 矩阵及其初等变换1.3 线性方程组的矩阵解法第一章线性方程组-24-3 线性方程组的矩阵解法讨论有n个未知数m个方程的线性方程组 是否有解？ 若有解

8、，解是否唯一？ 如何求出所有的解？-25-若B=(b1, b2, bm)TO，则称(1)为非齐次线性方程组若B=(b1, b2,， bm)TO，即： 则称(2)为(1)对应的齐次线性方程组（或(1)的导出组） -26-系数矩阵增广矩阵-27-解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得 例1-28-(2)-(1)2, (3)-(1)4(3)-(2)-29-(3) (-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”。-30-(2) (-1/3)(1)-(3)2，(2)+(3)2-31-所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1) (2)原方程组的解为：-32-解线性方程组解：增广矩阵 例2-33-即则原方程组的解为有何特点？-34-解：同解方程组最后一个方程0= -2是矛盾方程，所以方程组无解。 例3特点-35- 例4求解齐次线性方程