141_全称量词与存在量词

1、1.4.1全称量词与存在量词思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3； (2)2x+1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ，2x+1是整数。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有“对一切” “对每一个” “任给” “所有的”等 。 全称命题举例：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 通常，将含有变量x的语句用p

2、(x), q(x), r(x),表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。解：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题。例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。小 结： 需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可 （举反例）练习：1.用全称量词表示下列语句,并判断真假。（1）抛物线与x轴都有两个交点；（2）三角函数都是周期函数；（3）菱形的对角线垂直且相互平分；思考：下列语句

3、是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0R，使2x+1=3；(4)至少有一个x0Z，x能被2和3整除。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等 。 特称命题举例：特称命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。 通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),

4、表示，变量x的取值范围用M表示，那么，特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。解：（1）假命题； （2）假命题； （3）真命题。例2 判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。小 结：需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 （举例证明）练 习：2.判断下列特称命题的真假：（1）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）解：（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题。 （2）存在这样的实数它的平方等于它本身。 （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数； （4）存在实数x，x3x2； 3.用符号“ ”与“ ”表达下列命题： （1）实数都能写成小数形式；同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题全称命题特称命题所有的xM，p(x)成立对一切xM，p(x)成立对每一个xM，p(x)成立任选一个xM，p(x)成立凡xM，都有p(x)成立存在x0M，使p(x)成立至少有一个x0M，使p(x)成立对有些x0M，使p(x)成立对某个x0M，使p(x)成立有一个x0M，使p(x)成立表述方法小结：2、全称命题的符号记