2013年高一数学立体几何

1、高一数学同步教程(上)高一数学同步教程(上)空间几何体精讲空间几何体的结构和视图（一）柱、锥、台、球的结构特征1、柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什

2、么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；2、锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。3、台棱台：用一个平

3、行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。4、球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。5、组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。（二）空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。具

4、体包括：1、正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；2、侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；3、俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；（三）空间几何体的直观图1、斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的、，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的，使（或），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去轴

5、、轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点精导空间几何体的定义例1 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上斜二测画法例3是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么的面积为_（三）平行投影与中心投影例4 （1）如图，在正四面体中，、分别是三角形、的中心，则在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号

6、是（ ） A B C D（2）如图1，、分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是图2的（要求：把可能的图的序号都填上）三视图例5 （1）画出下列几何体的三视图（2）（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）精讲空间几何体的表面积和体积一、要点透析（一）多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体 积()棱柱棱柱直截面周长直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和正棱台表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长名称圆柱圆锥圆台球(即)（二）旋转体的面积和体积公式精导柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积

7、是，所有棱长的和是，求长方体的对角线长例2如图1所示，在平行六面体中，已知，（1）求证：顶点在底面上的射影在的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A B C6 DPABCDOE锥体的体积和表面积例4在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积？例5是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于正方形所在的平面，且，求点到平面的距离？棱台的体积、面积及其综合问题例6如果棱台的两底面积分别是、，中截面的面积是，那么（ ）A BCD例7已知正六棱台的上、下底面边长分别为和，高为，则其

8、体积为（ ）ABCD圆柱的体积、表面积及其综合问题例8（全国理）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是ABCD例9如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则圆锥的体积、表面积及综合问题例10在中，（如图所示），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）ABCD例11若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ）ABCD例11(1)例11（2）例12如图所示，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D球的体积、

9、表面积例13已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。例14如图所示，球面上有四个点，如果两两互相垂直，且，求这个球的表面积例15如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）ABCD例16半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。精炼【双基训练】1说出下列三视图表示的几何体是（ ）A.正六棱柱 B.正六棱锥 C.正六棱台 D.正六边形2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为A. B. C. D.3（

10、2009山东卷文理4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几 俯视图 何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 4等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底边取轴则直观图ABCD的面积为_6题图5题图5如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为4的正三角形，D是BC的中点，A1D平面ABC.(1)求证：BCA1A； (2)若A1A6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积6如图，已知ABC中，BAC90，ABm，ACn将ABC以BC边为轴旋转一周，得到一个几何体(1)求此几何体的体积；(2)设ABC的面积为，求该几何体体积的最大值挑战高考1（2012

11、年上海卷 理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 2（2012年上海卷 文5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 空间中的平行关系精讲平面概述1、平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面三公理三推论：公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：，公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3：经过不在同一直线上的三

12、点，有且只有一个平面推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面空间直线：1、空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点； 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点；相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有下列三种：2、平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行3、异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模

13、式：与是异面直线直线和平面的位置关系1、直线在平面内（无数个公共点）；2、直线和平面相交（有且只有一个公共点）；3、直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）1、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两

14、个平面平行。 定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推论模式：2、两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行精导共线、共点和共面问题例1（1）如图所示，平面平面直线，、分别为线段、上的点，四边形是以、为腰的梯形，试证明三直线、共点DCBAEFHG（2）如图所示，在四边形中，已知，直线，分别与平面相交于点，求证：，四点必定共线例2已知：，是不共点且两两相交的四条直线，求证：，,共面.异面直线的判定与应用例3已知：如图所示，求证

15、：直线、为异面直线例4（1）已知异面直线，所成的角为，则过空间一定点，与两条异面直线，都成角的直线有( )条 A1 B2 C3 D4 （2）异面直线，所成的角为,空间中有一定点，过点有3条直线与，所成角都是，则的取值可能是（ ） A B C D线线平行的判定与性质例5关于直线、及平面、，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，且，则 D若，则例6两个全等的正方形和所在平面相交于，且，求证：平面（四）线面平行的判定与性质例7如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，求证：面例8已知正四棱柱，点在棱上，截面，且面与底面所成的角为，（1）求截面的面积；（2）求异面直线与之间的距离；面面平

16、行的判定与性质例9如图，正方体的棱长为，证明：平面平面例10是所在平面外一点，、分别是、的重心（1）求证：平面平面；（2）的值精练1下列命题正确的是( ）A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2若直线与平面的一条平行线平行，则和的位置关系是( ) A B C D 3若直线a在平面内，直线a,b是异面直线，则直线b和平面的位置关系是 ( ) A 相交 B 平行 C 相交或平行 D 相交且垂直4下列各命

17、题：经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( )A 0 B 1 C 2 D 35E、F、G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱的条数是 （ ） A0 B 1 C 2 D3 6直线与平面平行的充要条件是 （ ） A直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线不相交 C直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直线平行7若直线上有两点P、Q到平面的距离相等，则直线l与平

18、面的位置关系是 ( ) A 平行 B相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内8a,b为两异面直线，下列结论正确的是( ) A 过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行 B 过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交 C 过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行 D 过a可以并且只可以作一个平面与b平行9. 设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D410已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若；若；若m、n是异面直线，。其中真命

19、题是（ ）A和B和C和D和11已知直线及平面，下列命题中的假命题是 （ ） A若，则. B若，则. C若，则. D若，则.12下列命题中，正确的是（ ）A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行13对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（ ）（A）若则 （B）若则（C）若则（D）若、与所成的角相等，则14在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点求证：直线EF平面ACD； 15.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1. (

20、1)求证：AF平面BDE； 空间中的垂直关系精讲（一）线线垂直判断线线垂直的方法：所成角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式： 注意：1、三垂线指，都垂直内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理2、要考虑的位置，并注意两定理交替使用（二）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线

21、，平面叫做直线的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线与平面垂直记作：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行（三）面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面注：“中间向左找，到头要互换”精导线线垂直问题例1如图所示，已知正

22、方体中，、分别为，的中点，求证：例2在直三棱柱中，、分别为、的中点，证明：为异面直线与的公垂线线面垂直问题例3（1）如图，是正四棱柱，求证：平面（2）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（I）证明平面；（II）设证明平面例4如图，直三棱柱 中，是中点（1）求证平面；（2）当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论面面垂直问题例5为正三角形，平面，是的中点，求证：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面例6如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，、分别为棱、的中点，（）求证：平面平面；（）求点到平面的距离；（）求三棱锥的体积精练1如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一

23、点，PA平面ABC. （1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.求证：APEF；求证：平面APE平面APF.3如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 4如图，在正方体中，E是的中点，求证：5如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60,（1）证明：C1CBD； （2）当的值为多少时，可使A1C面C1BD

24、？6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点. （1）求证：CDPD； （2）求证：EF平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？ 直线与方程精讲1、直线的倾斜角的概念，倾斜角范围：0180.2、斜率的概念，ktan.(0180且90).3、过两点的直线的斜率公式k.4、两条直线平行与垂直的判定：直线与直线平行 .或与重合.注意：若直线，可能重合时，得到 直线与直线垂直 .精导例1。直线的倾斜角的度数是（ ） A. B. C. D.例2已知直线l的倾斜角为，且0135，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A

25、.0，) B.(，) C.1，+) D.（，1）0，)例3直线xcosy1=0的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D.例4已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A.或 B. C. D.例5已知直线l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0,ab)，则下列各示意图形中，正确的是( )例6已知直线的倾斜角是，且，则直线的斜率等于_例7若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则的值等于_例8过点（，）、（）的直线的倾斜角为钝角，那么实数m的取值范围是 例9经过点与点的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值为 例10已知A(-3，2)、B(a,3)，求直线AB的斜率与倾斜角.例11已知直线l：,求直线l的倾斜角的取值范围.例12已知直线l1的倾斜角1=15，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到