2014年高考数学文科（高考真题+模拟新题）分类汇编：推理与证明

1、 数 学推理与证明 M1合情推理与演绎推理16，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_16201解析 (i)若正确，则不正确，由不正确得c0，由正确得a1，所以b2，与不正确矛盾，故不正确(ii)若正确，则不正确，由不正确得a2，与正确矛盾，故不正确(iii)若正确，则不正确，由不正确得a2，由不正确及正确得b0，c1，故正确则100a10bc10021001201.142014全国新课标卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市乙说：我没去过C城市丙说：我

2、们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14A解析 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市142014陕西卷 已知f(x)eq f(x,1x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2014(x)的表达式为_14.eq f(x,12014x)解析 由题意，得f1(x)f(x)eq f(x,1x)，f2(x)eq f(f(x,1x),1f(x,1x)eq f(x,12x)，f3(x)eq f(x,13x)，由此归纳推理可得f2014(x)eq f(x,12014x).M

3、2直接证明与间接证明21、2014湖南卷 已知函数f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)eq f(2,3).21解： (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)0，得xk(kN*)当x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时f(x)0; 当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)

4、，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，故x1eq f(,2).当nN*时，因为f(n)feq blcrc(avs4alco1(（n1）)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当n1时，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(4,2)eq f(2,3)；当n2时，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq o

5、al(2,2)eq f(1,2)(41)eq f(2,3)；当n3时，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值；(2)证明：对任意的nN*，等式eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(2),2)都成立23解

6、： (1)由已知，得f1(x)f0(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x)eq f(cos x,x)eq f(sin x,x2)，于是f2(x)f1(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(cos x,x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x2)eq f(sin x,x)eq f(2cos x,x2)eq f(2sin x,x3)，所以f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,2)，f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(2,)eq f(16,3).故2f1eq blc(rc)(

7、avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1.(2)证明：由已知得，xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2).类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alc

8、o1(xf(n,2)对所有的nN*都成立(i)当n1时，由上可知等式成立(ii)假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2).因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，eq blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，所以(k1)fk(x)xfk

9、1(x)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，因此当nk1时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(n,2)对所有的nN*都成立令xeq f(,4)，可得nfn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(,4)fneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(n,2)(nN*)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(r

10、c)(avs4alco1(f(,4) (nN*) M4 单元综合52014湖南长郡中学月考 记Sk1k2k3knk，当k1，2，3，时，观察下列等式：S1eq f(1,2)n2eq f(1,2)n，S2eq f(1,3)n3eq f(1,2)n2eq f(1,6)n，S3eq f(1,4)n4eq f(1,2)n3eq f(1,4)n2，S4eq f(1,5)n5eq f(1,2)n4eq f(1,3)n3eq f(1,30)n，S5eq f(1,6)n6eq f(1,2)n5eq f(5,12)n4An2，由此可以推测A_5eq f(1,12)解析 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和

11、为1，所以eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(5,12)A1，解得Aeq f(1,12).62014日照一中月考 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Veq f(4,3)r3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.62r4解析 因为W8r3，所以W2r4.72014甘肃天水一中期末 观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此规律，第n个等式为_7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解

12、析 观察等式规律可知第n个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌调研 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是_8(2，10)解析 由题意，发现所给序数列有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)92014福州模拟 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论eq f(ax1ax2,2)aeq f(x1x2,2)成立运