23幂函数 (2)

1、(1,1)(-1,1)(-1,-1)2.3 幂函数0平川中学高一数学备课组 2011.9.29 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _w 元(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _ (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=_是_的函数a a V是a的函数t km/s v是t 的函数我们先来看几个具体的问题:(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1_是_的函数Sa

2、问题引入 以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。y=x y=x2 y=x3y=x1/2y=x-1思考：这些函数有什么共同的特征？一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，为常数。定义:问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y = 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为，只有项”指数函数：解析式 ，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量x；幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数，

3、 R；注意:幂函数中的可以为任意实数.判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 判一判回顾：已学过的幂函数有哪些？幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数. (1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究 y=x x-3-2-1012 3y=x2941014 9 x-3-2-1012 3y=x3-27-8-1018 27 x 0 1 2 4 0 1 2x

4、-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而上升。当k0时,图象还都过点(0,0)点(1,1)(-1,1)(-1,-1)0幂函数的图像从图象能得出它们的性质吗? y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域值域奇偶性单调性 公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在R上增在（-，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在0，+）上增，在（-，0上减,在0，+）上增，在(0，+)上减(1) 所有的幂函数在(

5、0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数；(3) 如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4) 当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数幂函数的性质应用举例：例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实数m的值。解:依题意,得解方程,得 m=2或m=-1检验:当 m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2说一说判断正误1.函数f(x)=x

6、+ 为奇函数.2.函数f(x)=x2,x-1,1)为偶函数.3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0上是递增的,则f(x)在0,+ )上也是递增的.4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0上是递减的,则f(x)在0,+ )上也是递减的.例2. 利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 (3)解:(1)y= x0.8在(0,+)内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+)内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+)内是减函数2

7、.52.7-2/5练一练1）2）3）4） 解:设f(x)=xa由题意得例3. 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式并判断其单调性，并证明.证明：任取x1,x2 0,+)，且x1x2，则除了作差，还有没有其它方法呢？方法技巧:分子有理化 证法二: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 ； 证明幂函数 在0，+）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出(x1)(x2)。即所以练习2.若幂函数yxa，在第一象限内的图像如图所示，已知a取2，3，1/2，-1，则曲线C1，C2，C3，C4的值依

8、次是_.oxy11C1C2C3C4-1，1/2，2，3a取何值时为正比例函数，反比例函数二次函数，幂函数问题探究 2.是幂函数吗？补充练习 小结今天你有什么收获？(1) 幂函数的定义；(2) 幂函数的性质；(3) 利用幂函数的单调性判别大小我们主要掌握下列五种幂函数. (1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1(1,1)(-1,1)(-1,-1)0幂函数的图像(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数；(3) 如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4) 当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函