1.4.1 曲边梯形面积与定积…1

1、曲边梯形的面积与定积分教学设计一、教学内容分析：本节课选自人教B版教材选修2-2第一章 导数及其应用 ，本节课是第四节定积分与微积分基本定理的第二课时从知识体系上看，本章介绍了微积分中最基本的两个概念：导数与定积分，并通过微积分基本定理将这两个概念联系起来，使学生对微积分学有一个最基本的了解从思想方法上看，本章通过对导数和定积分的概念的学习，让学生体会以直代曲，无限逼近的思想方法，感受从直观到抽象，从实例到概念的学习方式从教材内容安排和课程标准上看，本章的教学的重点并不是让学生掌握严格标准的定义方式与定理推导，而是借助几何直观和具体实例，体会微积分学的基本思想和应用背景，因此概念形成的过程以及

2、应用更加重要在本章中，导数及其应用是重点，而定积分的概念是在学习了导数之后，进一步感受以直代曲，无限逼近的思想，使得学生对微积分学知识框架和思想方法有一个比较完整的了解二、教学目标：知识与技能：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义以及应用会用定义与几何意义计算简单的定积分过程与方法：通过实例，体验“分割，近似代替，求和，取极限”的过程，感受以直代曲，无限逼近的思想方法情感态度与价值观：通过定积分概念的形成过程与定积分的应用，渗透将数学理论与实际问题相结合的思想；在无限逼近的极限思想中感受量变与质变的对立统一三、学情分析：定积分概念的形成过程与“以直代曲，无限逼近”的思想方法是本节课的重点也是

3、难点本节课授课对象是高二学生，在必修三算法部分，教材中介绍过割圆术，学生对“以直代曲，无限逼近”的思想方法有过一些了解，在本章前面导数的学习过程中，学生通过对切线与导数的学习，再一次接触到以直代曲的思想方法与极限的运算，这些都为本节课的学习奠定了基础但是，算法案例在教学中只是一般性的介绍，没有定量的计算对于极限，本册教材中也没有给出明确的定义与计算方法，学生也只是通过对数字和函数的直观印象来确定极限因此，学生对极限思想的理解还有很多模糊不清的地方根据学生的基础与理解能力，结合本节课的教学目标，在教学中多利用几何直观，利用学生已有的经验，强调对思想方法的理解另外，学生对数学符号语言的理解与使用还

4、不是很熟练，对于定积分概念的抽象表达也会有一定的障碍，如何处理好从具体到抽象的表达，也是本节课的关键三、重点难点：重点：定积分的概念与几何意义，“以直代曲，无限逼近”的思想方法难点：1定积分概念的形成，以直代曲，无限逼近的思想方法；2使用数学符号语言表达定积分的概念四、教学过程：教学环节教学内容与师生活动设计意图上节内容回顾上节内容回顾：1求曲边梯形的步骤：分割，近似替代，求和，取极限2的几何意义：函数y=f(x)的图像与直线x=a,x=b以及x轴所围成的 “正面积”与“负面积”的代数和复习上节课研究的内容与结论，为引入定积分的概念以及学习定积分的几何意义做铺垫形成概念（一）例2：变力做功弹簧

5、在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量）求弹簧从平衡位置拉长b所做的功教师引领学生仿照曲边梯形面积的求法，用分割，近似替代，求和，取极限的方法解决变力做功问题，并在黑板上板书其中计算部分有学生自己完成并结合此问题和上节课研究的曲边梯形的面积抽象得出定积分的概念（二）定积分的概念：设函数y=f(x)定义在区间a,b上用分点把区间a,b分成n个小区间，其长度依次为记在每个小区间上任取一点，作和式 当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫被积式此时称函数

6、f(x)在区间a,b上可积【注】1若函数f (x)在区间a,b上连续，则一定可积2用定义计算定积分一般分为四个步骤：分割，近似替代，作和，求极限定积分的运算结果只与被积函数和积分上下限有关，与分割和取值无关3定积分的几何意义：被积函数与直线x=a,x=b,y=0所围成的“正面积”与“负面积”的代数和4定积分和应用：解决有关变量的“乘法”的问题4定积分思想方法：用常量代替变量（以直代曲），无限逼近1教师在归纳得到定积分概念之后，对定积分的符号的含义加以解释，并让学生讲曲边梯形的面积与变力做功用定积分的符号表达2对概念中“任取一点”加以解释，强调可积的条件举反例说明并不是取定某一点（比如说取端点）

7、所得到的和式有极限，这一极限就是函数的定积分必须是无论如何取值，计算出的和式都有相同的极限值，才能说明函数可积，这一极限值才可以称作函数的定积分例如：若取为有理数，则；若取为无理数，则；若n为奇数时取为有理数，n为偶数时取为无理数，则 没有极限3分析曲边梯形的面积和变力做功问题的共性，总结定积分的思想方法与应用意义1变力做功问题在曲边梯形的面积的基础上，抽象得到定积分的概念做铺垫2在解决两个问题的基础上，引导学生用数学符号语言描述定积分的概念，并分析定积分符号的含义，对学生理解和使用数学符号语言的能力是个训练同时也让学生感受数学符号的简洁美3函数的可积性并不是高中阶段的研究重点只要求学生掌握连

8、续函数的积分即可之所以举反例分析函数的可积性，是为了让学生正确的掌握定义，避免曲解定义同时也要对概念的一般性有所了解巩固概念练习：变速运动的位移一质点沿着一条直线做变速运动，速度为v(t)，求运动开始后1秒内的位移如果，位移是多少？如果位移是多少？如果位移是多少？要求学生直接将结果写成积分形式让学生自己计算积分的结果（利用定积分的几何意义）讲变速运动的位移直接表达成定积分的形式，有利于学生加深对定积分的应用的理解通过求具体函数的定积分，巩固定积分的几何意义归纳总结1定积分的定义与计算：分割，近似替代，作和，取极限；2定积分的几何意义：被积函数的图像与直线x=a,x=b以及x轴所围成的“正面积”与“负面积”的代数和；3定积分的应用：涉及变量的“乘法”；4定积分运算的主要思想方法：“以直代曲”“无限逼近”让学生总结本节课的收获，预计学生可以说出前三条如果学生没有总结出第4条，教师进行补充引导学生不仅要关