1-2 比大小问题（高考热点）----学生版

1、MST 二轮复习 第 2 讲 高考热点 -比大小问题从最早2017 年全国卷出现构造六大同构函数比大小开始，比大小问题成为了高考的热点，之前比大小 【专题综述】问题更多涉及不等式，目前的考题又以构造函数为主，在这种类型题当中，体现了函数方程不等式综合思想，本节我们系统分析比大小的一些常见方法.题型一：构造中间变量比大小在比较大小的题型中，对数是最为常见的，通常也是logab 对比logcd，指数和真数都不相等时，我们要么构造指数相等，要么选择中间变量进行比大小。对数同步升(降) 次法：根据logab = logambm 可知log23 = log49 = log827 = log1213 ；注

2、意：一般出现在以2 或者3 为底数的对数比大小当中，底数真数次方一起同升同降，我们先看一道例题： 【例1】. 比较a = log43，b = log52，c = log85 的大小.通常我们需要把底数和真数的分数转化为整数，再进行比大小，选取必要的中间变量，比如 0 或者 1.【例2】. (2021 天津) 设a = log20.3，b = log 0.4，c = 0.40.3，则三者大小关系为()12A. a b c B. c a b C. b c a D. a c b【例3】. (2021 新高考) 已知a = log ，则下列判断正确的是()52，b = log83，c = 12A. c

3、 b a B. b a c C. a c b D. a b c-0.8【例4】. (2020 天津) 设a = 30.7，b = 1，c = log0.70.8，则a，b，c 的大小关系为() 3A. a b c B. b a c C. b c a D. c a b【例5】. (2020 新课标) 设a = log ，则()32，b = log53，c = 23A. a c b B. a b c C. b c a D. c a b【例6】. (2019 新课标) 已知a = log20.2，b = 20.2，c = 0.20.3，则()A. a b c B. a c b C. c a b D.

4、 b c b 0，m 0，则一定有 b + ma + m ba，或 者 a + mb + m 0；a a2 + am a2 + ama + m = ab + bm ab am (a b)mab + m b b2 + bm b2 + bm= 0【例7】. (2019 天津) 已知 a = log27，b = log38，c = 0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为 ()A. c b a B. a b c C. b c a D. c a b【例8】. (2020 新课标) 已知 55 84，134 85设 a = log53，b = log85，c = log138，则 ()A. a b c

5、 B. b a c C. b c a D. c a b【例9】. 已知 a = 2- 420,c = log312，则 ( )1A. b c a B. a c b C. b a c D. a b 0 b B. a b 0 C. b a 0 D. b 0 a2MST 二轮复习函数【例11】. 已知2a = 3,3b = 2,5c = 2 2，则( )A. a b c B. c a b C. b a c D. a c b题型三：构造函数比大小1. 由 f (x)= lnxx引出的大小比较问题如上图，f x = lnx图像性质，有以下结论：x(1)f x = lnx 在区间0,e 上单调递增，在区间

6、e,+ 单调递减；当x = e 时，取得最大值 1 x e(2) 极大值左偏，且f 2 = f 4 ；(3) 当e a b 0 时 ，b lnb , 当a b e 时，b b ，当e a b 0 时 ，ab ba，当a b e 时，ab a b 0 时，lna lnb 故 b lnb ，同理当a b e 时 ，b b ，即比较blna 与alnb 的大小，同除以ab 得到 lna 与 lnb ，根据函数f x = lnx的单a b x调性，即可判断。1 1 1 11 13 大小时，即比较 ln2关于函数x x 和函数xx 比大小问题，都可以按照构造对数来比较，例如在比较22 ，ee ，32ln

7、e 大小，在比较 1 , ln3, ln31 1 11 115 ，即比较 ln2 , ln55 ，即构造2 2 ，3 3 ，5 大小。e 3 2 3 5 2 3 5【例12】. (2017 新课标) 设x、y、z 为正数，且2x = 3y = 5z，则()A. 2x 3y 5z B. 5z 2x 3y C. 3y 5z 2x D. 3y 2x 5z,3MST 二轮复习【例13】. 下列四个命题： ln5 ； 2 11 4 2；其中真命题的个数是e ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例14】. 已知 a = 6ln,b = 2ln3,c = 3ln2，则 ( )A. c a b B.

8、 c b a C. a b c D. b a (t + 2)ln(t + 3) B. (t + 1)t+2 (t + 2)t+1 C. 1 + 1 t logt(t + 1) D. logt+1(t + 2) logt+2(t + 3)【例16】. (已知 a，b 1, 则下列关系式不可能成立的是 ( )A. eblna ab B. eblna ab C. aeb blna D. aeb blna2. 构造同构函数比大小【例17】. (2020 新课标) 若 2a + log2a = 4b + 2log4b，则 ()A. a 2b B. a b2 D. a b24MST 二轮复习函数【例18】

9、. 已知 a = 2ln3 - 2,b = ln5 - 5 + 1,c = 3ln2 - 2 2 + 1，则 a,b，c 的关系是 ( )A. a c b B. c b a C. a b c D. b c c a B. a c b C. c b a D. c a b1 11【例20】. 已知 a = 32 ,b = (1 + e)e ,c = 43 ，则 ( )A. b a c B. b c a C. c a b D. a b c题型四：利用泰勒展开比大小高考常考函数在 0 处的泰勒展开式：ex = 1 + x + x + + x + o(xn) 1 2 + x3 +.2 n2 + x3 +.

10、2! n!1 - x = 1 + x + x 1 2 - x3 +. ln(1 + x) = x - x + x + + (-1)n-1 x1 + x = 1 - x + x2 3 n2 3 n ( - 1) ( - 1) ( - n + 1)(1 + x) = 1 + x + x2 + + xn + x (-1，1) 2! n!sinx = x - x + x - x +. cosx = 1 - x + x - x3 5 7 2 4 6+.3! 5! 7! 2! 4! 6!tanx = x + 1 x3 + 2 x5 + 17 x7 + 0(x7) |x| 3 15 315 2+ (xn)我

11、们能根据泰勒展开进行放缩，ex = 1 + x + x + + x + ex 1 + x + x ; e-x 1 - x + x2 n 2 2；2! n! 2 2 【例21】（. 2022 新课标 1 卷）设 a = 0.1e0.1，b = 1，c = ln0.9，则9 a b c B c b a C c a b D a c b a B. b a c C. a b c D. a c b【例23】. (2021 乙卷理) 设 a = 2ln1.01，b = ln1.02，c = 1.04 - 1，则 ()A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b注意：考试中不一定记得

12、住这个泰勒展开式 (1 + x) 1 + x +( - 1)2!x2 +( - 1) ( - 2)3!x3, 就可以尝试构造函数.【例24】. 若 a = ln1.01,b = 1.0130e ,c = 101 , 则 ( )1A. a b c B. a c b C. c a b D. c b b c B. b c a C. c a b D. c b a题型五：利用飘带函数放缩和三角不等式放缩比大小1. 对数函数与飘带函数 2(x - 1)如图，根据飘带函数，当 x 1 时， x + 1 lnx 2(x - 1)12当 0 x lnx x 1 恒成立，x12x 1 恒成立x2. 指数函数特殊放

13、缩： ex 0 时 ，有 sinx x，当 x x;3x（2）当 x (0, 6 ) 时， 4x （3）当 x (0, 4 ) 时， sinx tanx x证明（：1）略（2）构造函数 h(x) = sinx,h(x) = xcosx - sinx, 令 g(x) = xcosx - sinx,g(x) = -xsinx 0, 所以 g(x) 在区间x x23 (0, (x) h( 6 ) 单调递减，由于 g(0) = 0, 所以 h 6 ) =, 3x所以当 x (0, 6 ) 时， sinx 0, 所以 h(x) 单调递增，所以 h(x) h( 4 ) =4 x x2cos2x 2x2co

14、s2x 4x 所以当 x (0, 4 ) 时， tanx x 【例26】. 若 a,b，c (0, 2 )，满 足 a = cosa，b = sin(cosb),c = cos(sinc), 则 ( ) A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c7MST 二轮复习【例27】. 设 a = 150 ,b = 2ln(sin 100 + cos 100 ),c = 50 则 ( )1 1 6 51A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c【例28】. 已知 a = sin20o,b = 720 ,c =1A. c a b B. a c b C

15、. c b a D. b c a【例29】. 设 a = 12 106 + 102 ,b = e10.01 - 1,c = ln1.02则 ( )A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b【例30】. 已知 a = tan(1 + - 3 ),b = tan0.1,c = 0.4 ，则 ( )A. a b c B. b a c C. c a b D. a c b同步训练1. (2019 天津) 已知 a = log52，b = log0.50.2，c = 0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为 ()A. a c b B. a b c C. b c a D. c

16、a b c B. b a c C. c b a D. c a b3. (2018 天津) 已知 a = log2e，b = ln2，c = log1213，则 a，b，c 的大小关系为 ()A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b8MST 二轮复习函数14. (2017 天津) 已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数若 a = -f log ，b = f (log24.1)，c = f (20.8)，则 a，b，c25的大小关系为 ()A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b5. 已知 a = log32,b = log115,c

17、 = lg4, 则 ( )A. a c b B. c a b C. a b c D. b c a6. (2015 山东) 设 a = 0.60.6，b = 0.61.5，c = 1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是 ()A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a7. (2018 新课标) 设 a = log0.20.3，b = log20.3，则 ()A. a + b ab 0 B. ab a + b 0 C. a + b 0 ab D. ab 0 a + b8. 已知 a,b,c (0,1)，且 a - 4 = ln a b4 ,b - 5 = lnc6 ，

18、则 ( )A. a b c B. a c b C. b c a D. c b c b B. a b c C. c a b D. c b a10. 已知 a = ln,b = e ,c = ln8 8 ，则 ( )A.b a c B.a b c C.c a b D.a c b9MST 二轮复习11. 若 0 x1 x2 1, 下列说法错误的是 ( )A. x2ex1 x1ex2C. ex2 - ex1 lnx2 - lnx1 D. ex2 - ex1 lnx2 - lnx112. 设 1 a b e, 则 ab,ba,e e ，的大小关系为 ( )abA. ab ba e e B. ba ab

19、e e C. e e ab ba D. ab e e baab ab ab ab13. 已知 a - 1 = lna,b - e = ln be ,c - = ln c ，其中 a,b，c (0,+)，且 b e,c ，则 ( )A. a c b B. c a b C. a b c D. c b 0,b 0, 且 a 1b + lnab 成立，则下列不等式不可能成立的是 ( )A. ab b 1 B. 1 b ab C. b ab 1 D. ab 1 b15. 已知 a,b 满足 0 a b b b B. a a = b b C. a a 1.92 B. 22.9 2.92 C. 22ln2

20、- 1 ln22 22 2 - 1D. log74 log12717. 设 a = 15ln13,b = 14ln14 ，c = 13ln15, 则 ( )A. c b a B. b a c C. c a b D. a c 0,b 0)，则 ( )b = e2 aA. a 2b B. a b2 D. a b219. 若 a = sin1 + tan1,b = 2,c = ln4 + 12 ，则 ( )A. c b a B. c a b C. a b c D. b c a20. 已知 a = e0.05,b = ln1.12 + 1,c = 1.1，则 ( )A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b21. 已知 a = 20 e,b = 1.1,c = sin 64 + cos 64 ，则 ( )A. a b c B. c b a C. c a b D. b c a22. 设 a = 150 ,b =ln7 51100 ,c = 2ln 50 ，则 ( )A. c b a B. b a