甘肃省高台2022年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，则输出的（ ）A3B4C5D62欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知全集，集合，则阴影

3、部分表示的集合是（ ）ABCD4已知集合，则的真子集个数为（ ）A1个B2个C3个D4个5某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A收入最高值与收入最低值的比是B结余最高的月份是月份C与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D前个月的平均收入为万元6已知函数，则下列结论中正确的是函数的最小正周期为；函数的图象是轴对称图形；函数的极大值为；函数的最小值为ABCD7设点，不共线，则“”是“”（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件8已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）ABCD9如图所示是某年第一季度五

4、省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元10在的展开式中，含的项的系数是（ ）A74B121CD11正三棱柱中，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD12已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内

5、作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、以及、一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为_参考数据：；）14过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是_.15在的展开式中，项的系数是_（用数字作答）16函数的值域为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.18（12分）已知等差数列中，数列的前项和.（1）求；（2）若，求的前项和.19（12分）2019年底，

6、北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:()试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;()从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以

7、频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)20（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.21（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22（10分）在ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的

8、次数即可.详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.2A【解析】计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.3D【解析】先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由，可得或，又所以.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，

9、属于基础题.4C【解析】求出的元素，再确定其真子集个数【详解】由，解得或，中有两个元素，因此它的真子集有3个故选：C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集5D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误综上，故选6D【解析】因为，所以不正确；因为，所以，所以，所以函数的图象是轴对称图形，正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数

10、在上的极大值与最小值即可当时，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，正确；因为，所以，所以函数的最小值为，正确故选D7C【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得. 当a1时，所以函数f（x）在单调递减， 因为对区间内的任意实数，

11、都有， 所以， 所以 故a1，与a1矛盾，故a1矛盾. 当1ae时，函数f(x)在0,lna单调递增，在(lna,1单调递减. 所以 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 即 令， 所以 所以函数g(a)在（1，e）上单调递减， 所以， 所以当1ae时，满足题意. 当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增, 因为对区间内的任意实数，都有， 所以, 故1+1， 所以 故综上所述，a.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性

12、和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.9D【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.10D【解析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，11C【解析】取中

13、点，连接，根据正棱柱的结构性质，得出/，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【详解】解：如图，取中点，连接，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则/，即为异面直线与所成角，设，则，则，.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.12D【解析】由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得，所以，又，所以，得，所以椭圆的方程为.故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后

14、使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；因为，且由诱导公式可得，所以最短距离为，故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.14【解析】由切线的性质，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可设，进而表示，由图像观察可知

15、进而求出x的范围，再用的式子表示，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.【详解】由题可知，设，由切线的性质可知，则显然，则或（舍去）因为令，则，由双勾函数单调性可知其在区间上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.15 【解析】的展开式的通项为：.令，得.答案为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通

16、项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.16【解析】利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.【详解】函数的定义域为所以函数的值域为 故答案为：【点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）的最小值为1，此时直线：【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得注意取值范围；（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，设，则可得，由求出，将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.【详解】（1）设，则，即整理

17、得（2）设：，将其与曲线的方程联立，得即设，则，将直线：与联立，得设.显然构造在上恒成立所以在上单调递增所以，当且仅当，即时取“=”即的最小值为1，此时直线：.（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求18（1），；（2）.【解析】（1）由条件得出方程组

18、，可求得的通项，当时，可得，当时，得出是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得的通项；（2）由（1）可知，分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】（1）由条件知， ，当时，即，当时，是以1为首项，2为公比的等比数列， ；（2）由（1）可知，当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上，【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n项和，注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.19 ()万；()分布列见解析， ；()【解析】()根据比例关系直接计算得到答案.() 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.【详解】()样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.() 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，.故分布列为：.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，求导，令，用导数法求