数学第一册第二章-函--数课件

1、第二章 函 数第一节函数的概念一、映射我们考察如下例子:某一部门共5人,他们的基本工资分配方案如下: 上面的基本工资分配方案给出了一个确定的相应法则,通过这一对应法则,对于集合A中的每一元素,B中都有唯一确定的元素与它对应。一般地,设A,B是两个非空集合,如果通过某一个确定的对应法则f,使得对于A中的每一元素a,B中都有唯一确定的元素b与它对应(通常记为),那么这个对应叫做集合A到集合B的映射,记作:f:AB。元素b称为元素a的象。例1设A:所有矩形组成的集合,B:所有圆组成的集合,对应法则为“对于一个矩形,令它的外接圆与它对应”,判断集合A是否是集合B的映射。答这个对应是集合A到B的映射。例

2、2判断图2-1中从集合A到集合B的对应f是不是映射。图2-1解(1) 由于集合A中b元素在B中没有象,所以f不是映射。(2) A中的元素都有象,并且都唯一,所以f是映射。(3) A中的每一个元素都有象,但由于集合A中b元素在B中对应3、5,即在B中的象不唯一,所以f不是映射。二、函数的概念1.函数的定义我们在初中已学过正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数,初步了解了常量与变量的概念。同时知道:在某个变化过程中有两个变量x,y。例3设,求。解 2.确定函数的两个要素由函数的定义可以知道:如果有两个函数,它们的定义域相同,对应关系也相同(从而它们的值域也相同),那么这两个函数是同一个函数。因

3、此,常把函数的定义域和函数的对应关系作为确定函数的两个要素。两个函数,只有当它们的两个要素完全相同时,这两个函数才是同一函数。例4判断函数与是否为同一函数。解它们的定义域均为实数集合,但y=|x|=。在x0时,两者的对应关系不同,所以不是同一函数。又如:y=与y=x+1的定义域不同,前者为x|x1,xR,后者定义域是实数集R,所以这两个函数不相同。3.函数的定义域如果只给出函数的关系式,而未指明定义域,那么这个函数的定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。例5求下列函数的定义域:(1) y=;(2) y=。解(1) 函数的定义域由不等式 所以,函数y=的定义域是x3。(2) 函数的定义域由不

4、等式 解得-3x-2或-2x0或0 x2。所以,函数y=的定义域是。4.函数的图像通常可以通过解析式、列表,或用图像来表示一个函数。有些实际问题中的对应关系很难用一个解析式来表示,也无法列表一一列举所有点的对应关系,但可以通过图像来表示,例如图2-2记录了某地区某天24h内电压的变化情况。 图2-2由函数的定义可知,函数图像有以下特征:经过函数定义域中任何一个点x,作垂直于x轴的直线,它与函数的图像有且仅有一个交点。例6作函数的图像。解这个函数的定义域为(-,+),在自变量x的不同取值范围内,函数有不同的表达式,这样的函数叫做分段函数,如图2-3所示。 图2-3习题2-11.设规定以下的对应法

5、则:1对应a,2对应c,3对应d,4对应a这个对应是不是A到B的映射?2.下列两个函数是否是同一个函数?为什么?(1) (2) (3) (4) (5) 3.求下列函数的函数值:(1) 求:。(2) (3) 。4.图2-4所示图像中哪些是函数的图像?哪些不是?为什么? 图2-45.求下列函数的定义域:(1) 第二节函数的性质一、函数的奇偶性我们知道函数的图像(如图2-5)关于y轴对称,可以发现: 图2-5对于的定义域R中的任意一点a,都有的特征。一般地,如果对于函数的定义域D内的任意实数a,都有,那么就把函数叫做偶函数。由偶函数的定义可得,偶函数的图像关于y轴对称。例1求证函数是偶函数。证函数的

6、定义域是(-,0)(0,+),在定义域中任意一个a有 得,因此,函数是偶函数。同样,对于具有另一特征的函数,我们也有如下定义,对于函数,若其定义域D内的任意实数a,都有,那么就把函数叫做奇函数。由奇函数的定义,易得奇函数的图像关于原点对称。例2求证是奇函数。证函数的定义域是R,在R中任意取一个实数a, 所以,因此函数是奇函数。由奇函数和偶函数的定义可知,奇函数和偶函数的定义域必关于原点对称。对于奇函数或偶函数的作图,可采用描点法先画出在y轴右边(或左边)的一部分图像,再利用奇函数或偶函数的对称性,作出函数在y轴左边(或右边)的另一部分图像。例3判断下列函数的奇偶性。(1) ;(2) 解(1)

7、因为函数的定义域关于原点不对称,所以这个函数既不是奇函数,也不是偶函数(简称为非奇非偶函数)。(2) 函数的定义域为R,因为,由此得,且,所以这个函数是非奇非偶函数。二、函数的单调性我们观察函数y=x2在定义域(-,+)内的图像时(图2-6),不难发现,当内时,函数值随着x值的增大而减少;而当时,函数值随着x值的增大而增大,函数的这两种性质都叫做函数的单调性。我们给出下面的定义。图2-6定义如果函数在区间(a,b)内随着自变量x的增大而增大,即对于(a,b)内任意两点x1,x2,当x1x2时,有,那么,函数叫做在区间(a,b)上的增函数,区间(a,b)叫做函数的单调递增区间(如图2-7a);如

8、果函数在区间(a,b)内随着自变量x的增大而减少,即对于(a,b)内任意两点x1,x2,当x1x2时,有,那么,函数叫做在区间(a,b)上的减函数,区间(a,b)叫做函数的单调递减区间(如图2-7b)。图2-7例4证明函数在区间(-,+)上是增函数。证设x1,x2是区间(-,+)内的任意两个实数,并且x1x2,那么 即,因此函数在区间(-,+)上是增函数。例5证明函数在区间(-,0)上是减函数。图2-8证设x1,x2是区间(-,0)内的任意两个实数,并且x1(B) a(C) a(D) a 2.函数的值域为()。(A) 3.函数y=log(2x-1)的定义域是()。(A) (1,+)(B) (1

9、,+)(C) (D) 4.已知=0,那么等于()。(A) (B) (C) (D) 5.定义在R上的函数对任意两个不相等实数a,b,总有成立,则必有()。(A) 函数是先增加后减少(B) 函数是先减少后增加(C) 在R上是增函数(D) 在R上是减函数6.已知,则 (A) 105(B) 510(C) lg10(D) lg5 二、填空题1.若loga2=m,loga3=n,a2m+n=。2.若,则。3.已知,则。4.化简log2(1+)+log2(1+-)=。三、判断下列函数的奇偶性(1) 四、一次市民英语等级考试中,随机抽取30名市民的考试成绩如下:64,42,70,61,56,43,38,51,

10、58,45,46,72,65,47,51,50,44,54,34,83,71,55,48,60,67,53,52,63,56,28,求样本的平均数和中位数。五、 观察某地区中学毕业生的身高,随机地抽取一个学校进行调查。该校毕业班的80名男生的身高的实测数据(单位:cm)如下:171,170,165,169,167,167,170,161,164,167,171,163,163,169,166,168,168,165,160,168,158,160,163,167,173,168,169,170,160,164,171,169,167,159,151,168,170,174,160,168,164,172,163,156,161,167,172,163,170,165,165,168,174,161,167,156,157,180,164,169,164,163,166,156,157,158,163,157,161,166,176,157,162,166,158,164,163,161,163,167。(1) 请填写下列频率分布表:(2) 画频率直方图。六、为了统计某区退休工人的生活状况,随机抽取25人的退休工资如下(单位:元):472,8